2014天津（理科数学）高考试题 11页

2014·天津卷(理科数学) 1．[2014·天津卷] i 是虚数单位，复数 7＋i 3＋4i ＝( ) A．1－i B．－1＋i C.17 25 ＋31 25i D．－17 7 ＋25 7 i 1．A [解析] 7＋i 3＋4i ＝ （7＋i）（3－4i） （3＋4i）（3－4i） ＝25－25i 32＋42 ＝1－i. 2．[2014·天津卷] 设变量 x，y 满足约束条件 x＋y－2≥0， x－y－2≤0， y≥1， 则目标函数 z＝x＋2y 的最小 值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组 x＋y－2＝0， y＝1， 得 x＝1， y＝1， 即点 A(1，1)． 当目标函数线过可行域内 A 点时，目标函数有最小值，即 zmin＝1×1＋2×1＝3. 图 11 3．[2014·天津卷] 阅读如图 11 所示的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为( ) A．15 B．105 C．245 D．945 3．B [解析] 第 1 次循环，i＝1，T＝3，S＝1×3； 第 2 次循环，i＝2，T＝5，S＝1×3×5； 第 3 次循环，i＝3，T＝7，S＝1×3×5×7. 执行完后，这时 i 变为 4，退出循环，故输出 S＝1×3×5×7＝105. 4．[2014·天津卷] 函数 f(x)＝log1 2(x2－4)的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 4．D [解析] 要使 f(x)单调递增，需有 x2－4>0， x<0， 解得 x<－2. 5．[2014·天津卷] 已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( ) A.x2 5 －y2 20 ＝1 B.x2 20 －y2 5 ＝1 C.3x2 25 －3y2 100 ＝1 D.3x2 100 －3y2 25 ＝1 5．A [解析] 由题意知，双曲线的渐近线为 y＝±b ax，∴b a ＝2.∵双曲线的左焦点(－c， 0)在直线 l 上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程 为x2 5 －y2 20 ＝1. 6．[2014·天津卷] 图 12 如图 12 所示，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点 E， 过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB2＝FD·FA； ③AE·CE＝BE·DE； ④AF·BD＝AB·BF. 则所有正确结论的序号是( ) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 6．D [解析] 如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平 分∠CBF，∴△ABF∽△BDF. ∵AB BD ＝AF BF ，∴AB·BF＝AF·BD.∵AF BF ＝BF DF ，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确． 7．[2014·天津卷] 设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．C [解析] 当 ab≥0 时，可得 a>b 与 a|a|>b|b|等价．当 ab<0 时，可得 a>b 时 a|a|>0>b|b|； 反之，由 a|a|>b|b|知 a>0>b，即 a>b. 8．[2014·天津卷] 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC， DC 上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE→·AF→＝1，CE→·CF→＝－2 3 ，则λ＋μ＝( ) A.1 2 B.2 3 C.5 6 D. 7 12 8．C [解析] 建立如图所示的坐标系，则 A(－1，0)，B(0，－ 3)，C(1，0)，D(0， 3)．设 E(x1，y1)，F(x2，y2)．由 BE＝λBC 得(x1，y1＋ 3)＝λ(1， 3)，解得 x1＝λ， y1＝ 3（λ－1）， 即点 E(λ， 3(λ－1))．由DF→ ＝μDC→ 得(x2，y2－ 3)＝μ(1，－ 3)，解得 x2＝μ， y2＝ 3（1－μ）， 即点 F(μ， 3(1－μ))．又∵AE·AF＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，① CE→·CF→＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－2 3.② ①－②得λ＋μ＝5 6. 9．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分 层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生 中抽取________名学生． 9 ． 60 [ 解 析 ] 由 分 层 抽 样 的 方 法 可 得 ， 从一 年 级 本 科 生 中 抽 取 学 生 人 数 为 300× 4 4＋5＋5＋6 ＝60. 10．[2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图 13 所示(单位：m)，则该几何体的体积为 ________m3. 图 13 10.20π 3 [解析] 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积 V＝π×12 ×4＋1 3 π×22×2＝20π 3 . 11．、[2014·天津卷] 设{an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1 的值为________． 11．－1 2 [解析] ∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×3 2 ×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4 成等比数列， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得 a1＝－1 2. 12．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b－c＝1 4a， 2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为________． 12．－1 4 [解析] ∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c. 又∵b－c＝a 4 ，∴a＝2c，b＝3 2c， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 9 4c2＋c2－4c2 2×3 2c×c ＝－1 4. 13．[2014·天津卷] 在以 O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交 于 A，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则 a 的值为________． 13．3 [解析] 将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为 x2＋(y－2)2＝4 与 y＝a.联立 y＝a， x2＋（y－2）2＝4， 得 x2＝－a2＋4a，且 00， 整理得 x2＋(3－a)x ＋a＝0，则Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得 a＝1 或 a＝9.故当 y＝a|x－1|与 y＝f(x) 的图像有四个交点时，09. 15．、、[2014·天津卷] 已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋π 3 － 3cos2x＋ 3 4 ，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间 －π 4 ，π 4 上的最大值和最小值． 15．解：(1)由已知，有 f(x)＝cos x· 1 2sin x＋ 3 2 cos x － 3cos2x＋ 3 4 ＝1 2sin x·cos x－ 3 2 cos2x＋ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 (1＋cos 2x)＋ 3 4 ＝1 4sin 2x－ 3 4 cos 2x ＝1 2sin 2x－π 3 ， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间 －π 4 ，－π 12 上是减函数，在区间 －π 12 ，π 4 上是增函数，f －π 4 ＝ －1 4 ，f －π 12 ＝－1 2 ，f π 4 ＝1 4 ， 所以函数 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的最大值为1 4 ，最小值为－1 2. 16．、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学．在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则 P(A)＝C13·C27＋C03·C37 C310 ＝49 60 ， 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为49 60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3. P(X＝k)＝Ck4·C3－k6 C310 (k＝0，1，2，3)， 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×1 6 ＋1×1 2 ＋2× 3 10 ＋3× 1 30 ＝6 5. 17．、[2014·天津卷] 如图 14 所示，在四棱锥 P ABCD 中，PA⊥底面 ABCD, AD⊥AB， AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点． (1)证明：BE⊥DC； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F AB P 的余弦值． 图 14 17．解：方法一：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得 B(1，0， 0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1)． (1)证明：向量 BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)， 故 BE·DC＝0， 所以 BE⊥DC. (2)向量 BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)． 设 n＝(x，y，z)为平面 PBD 的法向量， 则 n·BD＝0， n·PB＝0， 即 －x＋2y＝0， x－2z＝0. 不妨令 y＝1，可得 n＝(2，1，1)为平面 PBD 的一个法向量．于是有 cos〈n，BE〉＝ n·BE |n|·|BE| ＝ 2 6× 2 ＝ 3 3 ， 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 . (3) 向量 BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点 F 在棱 PC 上， 设 CF＝λCP→，0≤λ≤1. 故 BF＝BC＋CF＝BC＋λCP→＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由 BF⊥AC，得 BF·AC＝0，因此 2(1 －2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝3 4 ，即 BF＝ －1 2 ，1 2 ，3 2 .设 n1＝(x，y，z)为平面 FAB 的法向量， 则 n1·AB＝0， n1·BF＝0， 即 x＝0， －1 2x＋1 2y＋3 2z＝0.不妨令 z＝1，可得 n1＝(0，－3，1)为平面 FAB 的一个 法向量．取平面 ABP 的法向量 n2＝(0，1，0)，则 cos〈，〉＝ n1·n2 |n1|·|n2| ＝ －3 10×1 ＝－3 10 10 . 易知二面角 F AB P 是锐角，所以其余弦值为3 10 10 . 方法二：(1)证明：如图所示，取 PD 中点 M，连接 EM，AM.由于 E，M 分别为 PC，PD 的中点，故 EM∥DC，且 EM＝1 2DC.又由已知，可得 EM∥AB 且 EM＝AB，故四边形 ABEM 为平行四边形，所以 BE∥AM. 因为 PA⊥底面 ABCD，故 PA⊥CD，而 CD⊥DA，从而 CD⊥平面 PAD.因为 AM⊂平面 PAD，所以 CD⊥AM.又 BE∥AM，所以 BE⊥CD. (2)连接 BM，由(1)有 CD⊥平面 PAD，得 CD⊥PD.而 EM∥CD，故 PD⊥EM.又因为 AD ＝AP，M 为 PD 的中点，所以 PD⊥AM，可得 PD⊥BE，所以 PD⊥平面 BEM，故平面 BEM⊥ 平面 PBD，所以直线 BE 在平面 PBD 内的射影为直线 BM.而 BE⊥EM，可得∠EBM 为锐角， 故∠EBM 为直线 BE 与平面 PBD 所成的角． 依题意，有 PD＝2 2，而 M 为 PD 中点，可得 AM＝ 2，进而 BE＝ 2.故在直角三角形 BEM 中，tan∠EBM＝EM BE ＝AB BE ＝ 1 2 ，因此 sin∠EBM＝ 3 3 ， 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 . (3)如图所示，在△PAC 中，过点 F 作 FH∥PA 交 AC 于点 H.因为 PA⊥底面 ABCD，所 以 FH⊥底面 ABCD，从而 FH⊥AC.又 BF⊥AC，得 AC⊥平面 FHB，因此 AC⊥BH.在底面 ABCD 内，可得 CH＝3HA，从而 CF＝3FP.在平面 PDC 内，作 FG∥DC 交 PD 于点 G，于 是 DG＝3GP.由于 DC∥AB，故 GF∥AB，所以 A，B，F，G 四点共面．由 AB⊥PA，AB⊥AD， 得 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥AG，所以∠PAG 为二面角 F AB P 的平面角． 在△PAG 中，PA＝2，PG＝1 4PD＝ 2 2 ，∠APG＝45°.由余弦定理可得 AG＝ 10 2 ，cos∠ PAG＝3 10 10 ，所以二面角 F AB P 的余弦值为3 10 10 . 18．、[2014·天津卷] 设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A， 上顶点为 B.已知|AB|＝ 3 2 |F1F2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的 直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率． 18．解：(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c，0)． 由|AB|＝ 3 2 |F1F2|，可得 a2＋b2＝3c2. 又 b2＝a2－c2，则c2 a2 ＝1 2 ， 所以椭圆的离心率 e＝ 2 2 . (2)由(1)知 a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为 x2 2c2 ＋y2 c2 ＝1. 设 P(x0，y0)．由 F1(－c，0)，B(0，c)， 有F1P→ ＝(x0＋c，y0)，F1B→ ＝(c，c)． 由已知，有F1P→ ·F1B→ ＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又 c≠0，故有 x0＋y0＋c＝0.① 又因为点 P 在椭圆上， 所以 x20 2c2 ＋y20 c2 ＝1.② 由①和②可得 3x20＋4cx0＝0.而点 P 不是椭圆的顶点，故 x0＝－4 3c.代入①得 y0＝c 3 ，即点 P 的坐标为 －4c 3 ，c 3 . 设圆的圆心为 T(x1，y1)，则 x1＝ －4 3c＋0 2 ＝－2 3c，y1＝ c 3 ＋c 2 ＝2 3c，进而圆的半径 r＝ （x1－0）2＋（y1－c）2＝ 5 3 c. 设直线 l 的斜率为 k，依题意，直线 l 的方程为 y＝kx.由 l 与圆相切，可得|kx1－y1| k2＋1 ＝r， 即 |k －2c 3 －2c 3 | k2＋1 ＝ 5 3 c，整理得 k2－8k＋1＝0，解得 k＝4± 15， 所以直线 l 的斜率为 4＋ 15或 4－ 15. 19．、、[2014·天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数．设集合 M＝{0，1，2，…， q－1}， 集合 A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}． (1)当 q＝2，n＝3 时，用列举法表示集合 A. (2)设 s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中 ai，bi∈M，i＝1， 2，…，n.证明：若 an0 在 R 上恒成立，可得 f(x)在 R 上单调递增，不合题意． (ii)a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝－ln a. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－ln a) －ln a (－ln a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) －ln a－1 这时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－ln a)；单调递减区间是(－ln a，＋∞)．于是，“函 数 y＝f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－ln a)>0；②存在 s1∈(－∞，－ln a)， 满足 f(s1)<0；③存在 s2∈(－ln a，＋∞)，满足 f(s2)<0. 由 f(－ln a)>0，即－ln a－1>0，解得 00.由已知，x1，x2 满足 a＝g(x1)，a＝g(x2)．由 a∈(0，e－1)及 g(x)的单调性，可得 x1 ∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)． 对于任意的 a1，a2∈(0，e－1)，设 a1>a2，g(ξ1)＝g(ξ2)＝a1，其中 0<ξ1<1<ξ2；g(η1)＝g(η2) ＝a2，其中 0<η1<1<η2. 因为 g(x)在(0，1)上单调递增，所以由 a1>a2，即 g(ξ1)>g(η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2< η2. 又由ξ1，η1>0，得ξ2 ξ1 < η2 ξ1 < η2 η1 ， 所以x2 x1 随着 a 的减小而增大． (3)证明：由 x1＝aex1，x2＝aex2，可得 ln x1＝ln a＋x1，ln x2＝ln a＋x2.故 x2－x1＝ln x2－ ln x1＝lnx2 x1 . 设x2 x1 ＝t，则 t>1，且 x2＝tx1， x2－x1＝ln t， 解得 x1＝ ln t t－1 ，x2＝tln t t－1 ，所以 x1＋x2＝（t＋1）ln t t－1 . ① 令 h(x)＝（x＋1）ln x x－1 ，x∈(1，＋∞)， 则 h′(x)＝ －2ln x＋x－1 x （x－1）2 . 令 u(x)＝－2ln x＋x－1 x ，得 u′(x)＝ x－1 x 2 . 当 x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的 x∈(1， ＋∞)，u(x)>u(1)＝0，由此可得 h′(x)>0，故 h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得 x1＋x2 随着 t 的增大而增大． 而由(2)，t 随着 a 的减小而增大，所以 x1＋x2 随着 a 的减小而增大．