2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练4(A) 6页

解答题滚动练4(A)‎ ‎1.四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2.‎ ‎(1)求cos A－cos C的值；‎ ‎(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S＋S的最大值.‎ 解　(1)在△ABD中，‎ BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝16－8cos A，‎ 在△BCD中，‎ BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝8－8cos C，‎ 所以cos A－cos C＝1.‎ ‎(2)依题意知S＝AB2·AD2sin2A＝12－12cos2A，S＝BC2·CD2sin2C＝4－4cos2C，‎ 所以S＋S＝12－12cos2A＋4－4cos2C＝16－4(cos C＋1)2－4cos2C ‎＝－8cos2C－8cos C＋12＝－82＋14，‎ 因为2－2＜BD＜4，‎ 所以8－8cos C＝BD2∈(16－8，16)，‎ 解得－1＜cos C＜－1，‎ 所以S＋S≤14，当cos C＝－时取等号，即S＋S的最大值为14.‎ ‎2.中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄(单位：岁)在[20，60]内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，并制成如下表格：‎ 年龄/岁 ‎[20，30)‎ ‎[30，40)‎ ‎[40，50)‎ ‎[50，60]‎ 性别 男 女 男 女 男 女 男 女 人数 ‎40‎ ‎10‎ ‎120‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎20‎ 比较关注所占的比例 ‎20%‎ ‎50%‎ ‎60%‎ ‎70%‎ ‎70%‎ ‎80%‎ ‎60%‎ ‎80%‎ ‎(1)填写列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车关注度有关；‎ 比较关注 不太关注 总计 男 女 总计 ‎(2)为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出3人参与电视直播节目，记3人中女性的人数为X，求X的分布列与期望.‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 解　(1)由题意得，600人中男性比较关注新能源汽车的人数为40×20%＋120×60%＋160×70%＋80×60%＝240，女性比较关注新能源汽车的人数为10×50%＋70×70%＋100×80%＋20×80%＝150，‎ 作出2×2列联表如下：‎ 比较关注 不太关注 总计 男 ‎240‎ ‎160‎ ‎400‎ 女 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 总计 ‎390‎ ‎210‎ ‎600‎ 依题意，随机变量K2的观测值k＝≈13.187>6.635，‎ 因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与对新能源汽车关注度有关.‎ ‎(2)由(1)知采用分层抽样的方法从600人中抽取6人，抽取的男性人数为400×＝4，抽取的女性人数为2，故X的所有可能取值为0，1，2.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎3.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，4a＝a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，是否存在非零的实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0，则由2a1＋3a2＝16，4a＝a2a6，可得 解得 ‎∴数列{an}的通项公式an＝2×2n－1＝2n(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝.‎ 假设存在非零实数λ，使得数列为等差数列，且公差为d，‎ 则－＝d对于任意的n∈N*都成立，‎ 即－＝d对于任意的n∈N*都成立，‎ 整理得，(1－4d)n2＋(1－λ－4d＋4dλ)n＋λ(2d－λd－1)＝0，‎ ‎∴解得d＝，λ＝－2，‎ ‎∴满足条件的非零实数λ存在，且λ＝－2.‎ ‎4.已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，若圆x2＋y2＝a2被直线x－y－＝0截得的弦长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－1)，k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)圆x2＋y2＝a2的圆心(0，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，‎ ‎∴2＝2，解得a2＝2，又＝，a2＝b2＋c2，‎ 联立解得a2＝2，c＝1＝b.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)假设在x轴上存在定点M(m，0)，使得·为定值.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立 化为(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ ·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2‎ ‎＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1·x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋m2＋k2‎ ‎＝(1＋k2)·－(m＋k2)＋m2＋k2＝，‎ 令2m2－4m＋1＝2(m2－2)，解得m＝，‎ 因此在x轴上存在定点M ，使得·为定值－.‎ ‎5.已知函数f(x)＝ln x－ax＋(a，b∈R)，且对任意x>0，都有f(x)＋f ＝0.‎ ‎(1)用含a的表达式表示b；‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x10；‎ ‎(3)在(2)的条件下，判断y＝f(x)零点的个数，并说明理由.‎ 解　(1)根据题意，令x＝1，‎ 可得f(1)＋f(1)＝0，‎ 所以f(1)＝－a＋b＝0，‎ 经验证，可得当a＝b时，对任意x>0，都有f(x)＋f ＝0，所以b＝a.‎ ‎(2)由(1)可知，f(x)＝ln x－ax＋，且x>0，‎ 所以f′(x)＝－a－＝，‎ 令g(x)＝－ax2＋x－a，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则y＝g(x)有两个不相等的正实数根，‎ 所以或 解得0h＝－2ln 2＋4－－ln 2>－3ln e>0.‎ 即当00.‎ ‎(3)因为f′(x)＝－a－＝，g(x)＝－ax2＋x－a.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.‎ 由(2)知，当00，g(0)＝－a<0，所以x2>1.‎ 又x1x2＝1，可得x1<1，‎ 此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减，‎ 所以y＝f(x)最多只有三个不同的零点.‎ 又因为f(1)＝0，所以f(x)在(x1，1)上单调递增，‎ 即当x∈[x1，1)时，f(x)<0恒成立.‎ 根据(2)可知，f >0且0<<，‎ 所以∉(x1，1)，即∈(0，x1)，‎ 所以∃x0∈，使得f(x0)＝0.‎ 由01，‎ 又f ＝－f(x0)＝0，f(1)＝0，‎ 所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，.‎ 综上所述，y＝f(x)恰有三个不同的零点.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ－kρcos θ＋k＝0(k∈R).‎ ‎(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于点A，B，且点M(1，0)为线段AB的一个三等分点，求|AB|.‎ 解　(1)由题意知，曲线C的普通方程为＋＝1.‎ 直线l的直角坐标方程为y＝k(x－1)，其一个参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程并化简得(3＋sin2α)t2＋6tcos α－9＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则①‎ 不妨设t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝＝＝.‎