2020高考数学二轮复习练习：第一部分 第1讲 选择、填空题的4种特殊解法 15页

第1讲　选择、填空题的4种特殊解法 方法一　特值(例)排除法 方法诠释 使用前提 使用技巧 常见问题 特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确的答案．‎ 满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立．‎ 找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论．‎ 求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等．而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通过排除法解决.‎ 真题示例 技法应用 ‎(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ 取特殊值x＝π，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D.‎ 答案：D ‎(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则(　　)‎ A.ln(a－b)>0　　　　　　　　 B．3a<3b C.a3－b3>0 D．|a|>|b|‎ 取a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确.‎ 答案：C ‎(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)‎ 当x＝0时，y＝2，排除A，B；当x＝0.5时，x2>x4，所以此时y>2，排除C，故选D.‎ 答案：D ‎(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝__________.‎ 取角α终边上的特殊点(1，2)，利用定义代入计算，求sin α，cos α.答案为.‎ 答案： ‎(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2]　　　　　　　　 B．[－1，1]‎ C．[0，4] D．[1，3]‎ 当x＝4时，f(x－2)＝f(2)3，则x0的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0)∪(2，＋∞)　　 B．(0，2)‎ C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)‎ 解析：选C.取x0＝1，则f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.‎ ‎2．如果a1，a2，a3，…，an为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则下列关系正确的为(　　)‎ A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4a5‎ 解析：选B.取特殊数列，不妨设an＝n，则a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8，经检验，只有选项B成立．‎ ‎3．函数f(x)＝的图象是(　　)‎ 解析：选C.因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以函数f(x)的图象过点(0，1)，排除D；因为f＝＝，所以排除B，故选C.‎ ‎4．如图，点P为椭圆＋＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C． D． 解析：选A.不妨取点P，‎ 则可计算S1＝×(5－4)＝，‎ 由题易得PD＝2，PE＝，‎ 所以S2＝×2×＝，‎ 所以S1∶S2＝1.‎ ‎5．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：(　　)‎ ‎①“影子函数”f(x)的值域可以是R；‎ ‎②“影子函数”f(x)可以是奇函数；‎ ‎③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)是“影子函数”．‎ 上述命题正确的序号是(　　)‎ A．① B．②‎ C．③ D．②③‎ 解析：选B.对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f(x1)＝0，此时不存在x2，使得f(x1)f(x2)＝1，所以①错；‎ 对于②：函数f(x)＝x(x≠0)，对任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝，则f(x1)f(x2)＝1，又因为函数f(x)＝x(x≠0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；‎ 对于③：函数f(x)＝x(x>0)，g(x)＝(x>0)都是“影子函数”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0，＋∞)，存在无数多个x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③错．综上，应选B.‎ ‎6．(一题多解)已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D． 解析：选A.由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．‎ 法一：如图1，令PQ∥BC，‎ 则＝，＝，此时，m＝n＝，‎ 故＋＝3.故选A.‎ ‎　　‎ 法二：如图2，直线BE与直线PQ重合，此时，＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋‎ ＝3.故选A.‎ ‎7．如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)‎ A．3∶1 B．2∶1‎ C．4∶1 D．∶1‎ 解析：选B.将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VCAA1B＝VA1ABC＝.因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分．‎ ‎8．已知AD，BE分别是△ABC的中线，若||＝||＝1，且与的夹角为120°，则·＝________．‎ 解析：若△ABC为等边三角形，则||＝，‎ 所以·＝||||cos 60°＝.‎ 答案： 方法二　验证法 方法诠释 使用前提 使用技巧 常见问题 验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项进行检验，从而可否定错误选项而得到正确选项的一种方法.‎ 存在唯一正确选项.‎ 可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案.‎ 题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等.‎ 真题示例 技法应用 ‎(2017·高考山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A.a＋<4，x－ay≤2}，则(　　)‎ A.对任意实数a，(2，1)∈A B.对任意实数a，(2，1)∉A C.当且仅当a<0时，(2，1)∉A D.当且仅当a≤时，(2，1)∉A 对a取数字验证．a＝0时，A错；a＝2时，B错；a＝时，C错．所以选D.‎ 答案：D ‎(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 当sin x＝0，cos x＝1时，函数值为4，所以A，C错；把x＋π代入验证，可得f(x＋π)＝f(x)，说明D错．故选B.‎ 答案：B ‎(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)‎ A.y＝ln(1－x)　　　　 B．y＝ln(2－x)‎ C.y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)‎ 函数y＝ln x的图象过定点(1，0)，而(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，将(1，0)代入选项验证.‎ 答案：B ‎(2017·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)‎ A.(0，1]∪[9，＋∞)　　 B．(0，]∪[9，＋∞)‎ C.(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)‎ 选取四个选项的差异值m＝，m＝4代入验证.‎ 答案：A ‎1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　 B．y＝－log2x C．y＝3x D．y＝x3＋x 解析：选D.y＝－在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；‎ y＝－log2x的定义域(0，＋∞)关于原点不对称，不是奇函数，故B错误；‎ y＝3x不是奇函数，故C错误；‎ 令f(x)＝y＝x3＋x，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确，故选D.‎ ‎2．下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选B.因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝()x，是非奇非偶函数．故选B.‎ ‎3．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f的一个零点为x＝－ D．f(x)在区间上单调递减 解析：选C.f(x)＝cos的周期为T＝kπ，所以A对；当x＝时，2x－＝π，cos π＝－1，所以B对；f(x＋)＝cos(2x＋)，x＝－时，2x＋＝0，cos 0＝1≠0，所以C错；x∈时，2x－∈，y＝cos x在上递减，所以D对．故选C.‎ ‎4．已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ 解析：选C.函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－，显然函数g(x)为增函数，且有g(1)＝ln 1－2＝－2<0，g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－>0，g(4)＝ln 4－>0，g(2)g(3)<0，故函数g(x)的零点所在区间为(2，3)，故选C.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(其中ω>0)图象的一条对称轴为直线x＝，则ω的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．10 D．16‎ 解析：选B.(从选项验证)若ω＝2，则当x＝时，f(x)＝sin＝，不符合题意；若ω＝4，则当x＝时，f(x)＝sin＝1，符合题意，所以ω的最小值为4.‎ ‎6．已知函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1) B．(－∞，3)‎ C．(－1，2) D．(－2，1)‎ 解析：选D.(从选项验证)若a＝1，则f(a2)＋f(a－2)＝f(1)＋f(－1)＝0，不满足f(a2)＋f(a－2)>0，所以B，C错；若a＝－2，则f(a2)＋f(a－2)＝f(4)＋f(－4)＝0，也不满足f(a2)＋f(a－2)>0，所以A错．故选D.‎ 方法三　估算法 方法诠释 使用前提 使用技巧 常见问题 由于选择题提供了唯一 针对一些复杂的、 不易准确求值的与计算有关的命题，‎ 对于数值计算，‎ 正确的答案，又不需写出过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算获得答案，这样往往可以减少运算量．估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省时间.‎ 常与特值法结合起来使用.‎ 常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等；对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.‎ 求几何体的表面积、几何体的体积、三角函数的值、离心率、参数的范围等.‎ 真题示例 技法应用 ‎(2019·高考全国卷Ⅰ)‎ 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)‎ A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890.‎ 由头顶至脖子下端的长度为26 cm，‎ 可得>≈0.618，解得n<42.071.‎ 由已知可得＝≈0.618，解得m<178.218.‎ 综上，此人身高m满足169.8901，0c>a.故选B.‎ 答案：B ‎(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为(　　)‎ A．12 B．18 C．24 D．54 ‎ 等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥体积最大时，三棱锥的高应在区间(4，8)内，所以×9×41，估算e的范围．答案为C.‎ 答案：C ‎1．已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：选D.a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e，据此可得c>a>b.故选D.‎ ‎2．某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为(　　)‎ A．2sin α－2cos α＋2 B．sin α－cos α＋3‎ C．3sin α－cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1‎ 解析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符合，故选A.‎ ‎3．P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为(　　)‎ A．a B．b C． D．a＋b－ 解析：选A.如图，‎ 点P沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a，故选A.‎ ‎4．若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则(　　)‎ A．ab　‎ C．ab<1　 D．ab>2‎ 解析：选A.若α→0，则sin α＋cos α＝a→1.若β→，则sin β＋cos β＝b→，从而b>a，结合选项分析，应选A.‎ ‎5．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)‎ A．　　 B．5　　　　‎ C．6　　 D． 解析：选D.连接BE，CE，四棱锥EABCD的体积为VEABCD＝×3×3×2＝6，多面体ABCDEF的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积V>VEABCD＝6，‎ 而四个选项里面大于6的只有，故选D.‎ 方法四　构造法 方法诠释 使用前提 使用技巧 常见问题 构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题简单化.‎ 构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从类似的问题中找到构造的灵感.‎ 所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超出原题的限制条件.‎ 对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理.‎ 比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.‎ 真题示例 技法应用 ‎(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)‎ A.8π　　 B．4π　　‎ C．2π　　 D．π 由∠CEF＝90°，可得EC，利用余弦定理可求PA＝PB＝PC＝⇒PA⊥PB⊥PC，利用外接球的直径是由该几何体补成的正方体的体对角线求R，可得球的体积.‎ 答案：D ‎(2019·高考天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.‎ 首先把待求式子的分子展开，再把已知条件代入，化简后构造使用基本不等式的条件，由基本不等式即可求解.‎ 答案：4 ‎(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　 B．　　‎ C．　　 D． 在长方体ABCDA1B1C1D1的面ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2A1B1B2A2，研究△AB2D1即可.‎ 答案：C ‎(2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 构造正方体，将有关棱与面看作问题中有关线与面，逐一判断.‎ 答案：②③④‎ ‎(2016·高考全国卷Ⅰ)若a＞b＞0，0＜c＜1，则(　　)‎ A.logaccb 构造函数y＝logcx和y＝xc，利用函数的单调性可解决.‎ 答案：B ‎(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1)∪(0，1)　 B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C.(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ 据题意构造新函数g(x)＝，先求导再解题.‎ 答案：A ‎1．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)0.故选B.‎ ‎2．已知m，n∈(2，e)，且－n B．m2＋ D．m，n的大小关系不确定 解析：选A.由不等式可得－0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)f(x)成立，则(　　)‎ A．3f(ln 2)>2f(ln 3)‎ B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)‎ C．3f(ln 2)<2f(ln 3)‎ D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小关系不确定 解析：选C.令g(x)＝，则g′(x)＝＝.因为对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增．又ln 2