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  • 2021-06-30 发布

2019年高考数学练习题汇总(九)数学归纳法

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‎(九)数学归纳法 ‎1.已知数列{an}满足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*).‎ ‎(1)若a=-1,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a=3,试证明:对∀n∈N*,an是4的倍数.‎ ‎(1)解 当a=-1时,a1=-4,an+1=(-1)an-1+1.‎ 令bn=an-1,则b1=-5,bn+1=(-1)bn.‎ ‎∵b1=-5为奇数,‎ ‎∴当n≥2时,bn也是奇数且只能为-1,‎ ‎∴bn=即an= ‎(2)证明 当a=3时,a1=4,an+1=3an-1+1.‎ 下面利用数学归纳法来证明:an是4的倍数.‎ 当n=1时,a1=4=4×1,命题成立;‎ 设当n=k(k∈N*)时,命题成立,‎ 则存在t∈N*,使得ak=4t,‎ ‎∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27·(4-1)4(t-1)+1‎ ‎=27·(4m+1)+1=4(27m+7),‎ 其中,4m=44(t-1)-C·44t-5+…-(-1)rC·44t-4-r+…-C·4,‎ ‎∴m∈Z,∴当n=k+1时,命题成立.‎ 由数学归纳法知,对∀n∈N*,an是4的倍数成立.‎ ‎2.已知数列{an}满足an+1=a-nan+1(n∈N*),且a1=3.‎ ‎(1)计算a2,a3,a4的值,由此猜想数列{an}的通项公式,并给出证明;‎ ‎(2)求证:当n≥2时,a≥4nn.‎ ‎(1)解 a2=4,a3=5,a4=6,猜想:an=n+2(n∈N*).‎ ‎①当n=1时,a1=3,结论成立;‎ ‎②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即ak=k+2,‎ 则当n=k+1时,ak+1=a-kak+1=(k+2)2-k(k+2)+1=k+3=(k+1)+2,‎ 即当n=k+1时,结论也成立.‎ 由①②,得数列{an}的通项公式为an=n+2(n∈N*).‎ ‎(2)证明 原不等式等价于n≥4.‎ 显然,当n=2时,等号成立.‎ 当n>2时,n=C+C+C2+…+Cn>C+C+C2=5->4.‎ 综上所述,当n≥2时,a≥4nn.‎ ‎3.已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0,1)上是增函数.‎ ‎(1)求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若数列{an}满足a1∈(0,1),an+1=ln(2-an)+an,n∈N*,证明:0ln 1=0,‎ ‎∴an0;‎ 当n=2时,S2-P2=4-4=0;‎ 当n=3时,S3-P3=8-9=-1<0;‎ 当n=4时,S4-P4=16-16=0;‎ 当n=5时,S5-P5=32-25=7>0;‎ 当n=6时,S6-P6=64-36=28>0.‎ 猜想:当n≥5时,Sn-Pn>0.‎ 证明如下:‎ ‎①当n=5时,由上述可知Sn-Pn>0.‎ ‎②假设当n=k(k≥5,k∈N*)时,Sk-Pk=2k-k2>0.‎ 当n=k+1时,Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2‎ ‎=2·2k-k2-2k-1=2(2k-k2)+k2-2k-1‎ ‎=2(Sk-Pk)+k2-2k-1>k2-2k-1‎ ‎=k(k-2)-1≥5×(5-2)-1=14>0.‎ ‎∴当n=k+1时,Sk+1-Pk+1>0成立.‎ 由①②可知,当n≥5时,Sn-Pn>0成立,即Sn>Pn成立.‎ 由上述分析可知,当n=1或n≥5时,Sn>Pn;当n=2或n=4时,Sn=Pn;当n=3时,Sn