2019年高考数学练习题汇总(九)数学归纳法 3页

‎(九)数学归纳法 ‎1．已知数列{an}满足：a1＝2a－2，an＋1＝aan－1＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)若a＝－1，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a＝3，试证明：对∀n∈N*，an是4的倍数．‎ ‎(1)解　当a＝－1时，a1＝－4，an＋1＝(－1)an－1＋1.‎ 令bn＝an－1，则b1＝－5，bn＋1＝(－1)bn.‎ ‎∵b1＝－5为奇数，‎ ‎∴当n≥2时，bn也是奇数且只能为－1，‎ ‎∴bn＝即an＝ ‎(2)证明　当a＝3时，a1＝4，an＋1＝3an－1＋1.‎ 下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．‎ 当n＝1时，a1＝4＝4×1，命题成立；‎ 设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，‎ 则存在t∈N*，使得ak＝4t，‎ ‎∴ak＋1＝3ak－1＋1＝34t－1＋1＝27·(4－1)4(t－1)＋1‎ ‎＝27·(4m＋1)＋1＝4(27m＋7)，‎ 其中，4m＝44(t－1)－C·44t－5＋…－(－1)rC·44t－4－r＋…－C·4，‎ ‎∴m∈Z，∴当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由数学归纳法知，对∀n∈N*，an是4的倍数成立．‎ ‎2．已知数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)，且a1＝3.‎ ‎(1)计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并给出证明；‎ ‎(2)求证：当n≥2时，a≥4nn.‎ ‎(1)解　a2＝4，a3＝5，a4＝6，猜想：an＝n＋2(n∈N*)．‎ ‎①当n＝1时，a1＝3，结论成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k＋2，‎ 则当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝(k＋2)2－k(k＋2)＋1＝k＋3＝(k＋1)＋2，‎ 即当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，得数列{an}的通项公式为an＝n＋2(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　原不等式等价于n≥4.‎ 显然，当n＝2时，等号成立．‎ 当n>2时，n＝C＋C＋C2＋…＋Cn>C＋C＋C2＝5－>4.‎ 综上所述，当n≥2时，a≥4nn.‎ ‎3．已知函数f(x)＝ln(2－x)＋ax在区间(0,1)上是增函数．‎ ‎(1)求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若数列{an}满足a1∈(0,1)，an＋1＝ln(2－an)＋an，n∈N*，证明：0ln 1＝0，‎ ‎∴an0；‎ 当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；‎ 当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；‎ 当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；‎ 当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；‎ 当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.‎ 猜想：当n≥5时，Sn－Pn>0.‎ 证明如下：‎ ‎①当n＝5时，由上述可知Sn－Pn>0.‎ ‎②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，Sk－Pk＝2k－k2>0.‎ 当n＝k＋1时，Sk＋1－Pk＋1＝2k＋1－(k＋1)2‎ ‎＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1‎ ‎＝2(Sk－Pk)＋k2－2k－1>k2－2k－1‎ ‎＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.‎ ‎∴当n＝k＋1时，Sk＋1－Pk＋1>0成立．‎ 由①②可知，当n≥5时，Sn－Pn>0成立，即Sn>Pn成立．‎ 由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，Sn>Pn；当n＝2或n＝4时，Sn＝Pn；当n＝3时，Sn