高考数学专题复习练习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 6页

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、选择题 ‎1． cos＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析 cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.‎ 答案 C ‎ ‎2．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ (　　)．‎ A．－ B. C．－ D. 解析　由于tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝.‎ 答案　D ‎3．若＝，则tan 2α＝ (　　)．‎ A．－ B. C．－ D. 解析　由＝，得＝，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝＝.‎ 答案　B ‎4．已知f(cos x)＝cos 3x，则f(sin 30°)的值为(　　)．‎ A．0 B．‎1 C．－1 D. 解析　∵f(cos x)＝cos 3x，‎ ‎∴f(sin 30°)＝f(cos 60°)＝cos 180°＝－1.‎ 答案　C ‎5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)．‎ A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－ 解析　由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，‎ 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，‎ 解得：m＝1±，又Δ＝‎4m2‎－‎16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案　B ‎6．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 (　　)．‎ A．16 B．‎72 ‎ C．86 D．100‎ 解析　由sin ＝－sin ，sin ＝－sin ，…，sin ＝－sin ，sin ＝sin ＝0，所以S13＝S14＝0.‎ 同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．已知cosα＝－，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.‎ 解析 由α是第二象限的角，得sinα＝＝，tanα＝＝－，则tan(2π－α)＝－tanα＝.‎ 答案 ‎8．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________.‎ 解析 原式＝cos α＋sin α ‎＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α＝0.‎ 答案 0‎ ‎9．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．‎ 解析　依题意得sin α－cos α＝，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋2＝2，故(sin α＋cos α)2＝；又α∈，因此有sin α＋cos α＝，所以＝＝－(sin α＋cos α)＝－.‎ 答案　－ ‎10． f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2 012)＝6，则f(2 013)＝________.‎ 解析　f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝6，∴asin α＋bcos β＝2，∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．已知＝3＋2，‎ 求cos2(π－α)＋sin ·cos ＋2sin2(α－π)的值．‎ 解析 由已知得＝3＋2，‎ ‎∴tan α＝＝＝.‎ ‎∴cos2(π－α)＋sin cos ＋2sin2(α－π)‎ ‎＝cos2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin2α ‎＝cos2α＋sin αcos α＋2sin2α ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；(2)sin2α＋sin 2α.‎ 解　法一　由sin(3π＋α)＝2sin，得tan α＝2.‎ ‎(1)原式＝＝＝－.‎ ‎(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝ ‎＝＝.‎ 法二　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝＝＝.‎ ‎13．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．‎ 解　假设存在角α，β满足条件，‎ 则由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.‎ ‎∴sin2α＝，∴sin α＝±.∵α∈，∴α＝±.‎ 当α＝时，由②式知cos β＝，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；‎ 当α＝－时，由②式知cos β＝，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．‎ ‎∴存在α＝，β＝满足条件．‎ ‎14．已知函数f(x)＝tan.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．‎ 解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.‎ ‎(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，‎ ＝2(cos2α－sin2α)，‎ 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．‎ 因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.‎ 因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.‎ 由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.‎