广西桂林市2019-2020学年高一下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析 17页

桂林市2019~2020学年度下学期期末质量检测高一年级数学 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　(　　)‎ A. B. C. - D. -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．‎ ‎【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．‎ ‎2. “二十四节气”是上古农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民族悠久文化内涵和历史沉淀.根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为（ ）‎ A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出三件相互互斥的事件，事件“某地在节气夏至当日下雨”为事件A，"某地在节气夏至当日阴天”为事件B，“某地在节气夏至当日晴天”为事件C，根据互斥事件概率的基本性质可得，进而可得答案.‎ ‎【详解】解：设事件“某地在节气夏至当日下雨”为事件A，"某地在节气夏至当日阴天”为事件B，“某地在节气夏至当日晴天”为事件C，‎ 由题意可得事件A，B，C为互斥事件，所以，‎ - 17 -‎ 又，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求互斥事件的概率，解决此类问题的关键是熟练掌握互所事件的定义，以及概率的基本性质，属于基础题.‎ ‎3. 已知向量，.若与共线，那么（ ）‎ A. B. C. 4 D. -4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标表示：，代入即可求解.‎ ‎【详解】向量，.‎ 若与共线，则，‎ 解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.‎ ‎4. 已知圆的标准方程为，则它的圆心坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的标准方程即可求解.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，‎ 所以圆心坐标是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程求圆心，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎5. （ ）‎ - 17 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用诱导公式计算余弦，属于基础题.‎ ‎6. 已知函数，下列命题正确的是（ ）‎ A. 的周期为 B. 的值域为 C. 的图像关于直线成轴对称 D. 的图像关于点成中心对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可判断A；由三角函数的值域可判断B；由正弦函数的对称轴，整体代入可判断C；根据正弦函数的对称中心，整体代入可判断D.‎ ‎【详解】对于A，，故A不正确；‎ 对于B，，故B不正确；‎ 对于C，，解得，故C不正确；‎ 对于D，，解得，‎ 当时，，所以的图像关于点成中心对称，故D正确；‎ - 17 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了正弦函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7. 对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断．‎ A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关．‎ ‎8. 若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出平移之后的解析式，再利用正弦函数的单调递增区间，整体代入即可求解.‎ ‎【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 可得，‎ - 17 -‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以函数的单调增区间是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、整体代入法求函数的单调区间，考查了基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A. 7 B. 12 C. 17 D. 34‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ - 17 -‎ ‎10. 从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 此题为几何概型．数对落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为，所以．故选C．‎ ‎11. 直线上的点到圆的最近距离为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出圆心到直线的距离，再根据圆的几何性质即可得到答案.‎ ‎【详解】由题知：圆，圆心，半径圆.‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线上的点到圆的最近距离为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于简单题.‎ ‎12. 已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 17 -‎ ‎【分析】‎ 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵||＝||＝1，且，‎ ‎∴可设，，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．‎ ‎∴的最大值．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 二进制数用十进制数表示为__________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二进制的计算方法即可得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查二进制与十进制的互化，属于简单题.‎ ‎14. ‎ - 17 -‎ 教育部明确表示，今后中小学生参加体育活动情况、学生体质健康状况和运动技能等级纳入初中、高中学业水平考试，纳入学生综合素质评价体系为更好掌握学生体育水平，制定合适的学生体育课内容，桂林市某高中对本校100名学生平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图.根据直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为_________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直方图求出这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的频率，由此能求出这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数．‎ ‎【详解】根据直方图可知：‎ 这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时频率为：‎ ‎ ‎ 所以这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为：‎ 故答案为：64‎ ‎【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15. 河水的流速大小为，一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，则小船的静水速度大小为__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量的线性运算和勾股定理的应用求出结果．‎ ‎【详解】根据河水的流速大小为,一艘小船想垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为，‎ - 17 -‎ 则小船的静水速度．‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，勾股定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎16. 港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到最小值，计算参数，再得到最大值即可.‎ ‎【详解】由图像知最小值为2，故，所以，故最大值为.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说眀、证眀过程及演算步骤.‎ ‎17. 已知，.‎ ‎（1）求和的夹角；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据向量数量积的运算，求得向量的模长，进而求得夹角．‎ - 17 -‎ ‎（2）根据向量垂直关系，得到坐标间的等量关系，进而求得λ的值．‎ 详解：（1）∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ 故，又，‎ 故.‎ ‎（2）由得，即，‎ 又，‎ 故.‎ 点睛：本题考查了向量的坐标运算，向量垂直的坐标关系，属于基础题．‎ ‎18. 已知，都是锐角，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为锐角，，先求出的值，然后再由正切的二倍角公式求解即可.‎ ‎(2)由，都是锐角，先求出的值，再根据结合余弦的差角公式可得出答案.‎ ‎【详解】（1）∵为锐角，∴，‎ - 17 -‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的关系，正切函数的二倍角公式和余弦函数的差角公式以及角的变换关系，属于中档题.‎ ‎19. 为了建设健康文明的校园文化氛围，努力全面提高同学的综合素质，桂林市某高中举行了校园“十佳歌手”大奖赛，下面是七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.‎ ‎（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；‎ ‎（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？‎ ‎【答案】（1）众数84，中位数84；（2）甲选手平均分为88，方差5.2；乙选手平均分为85，方差1.6； 乙选手的数据波动小.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图，找到众数，中位数即可；‎ ‎（2）去掉最高分和最低分后计算平均数和方差，并分析即可.‎ - 17 -‎ ‎【详解】（1）由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，‎ 所以众数为84，中位数为84；‎ ‎（2）甲选手评委打出的最低分为84，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为86，86，87，89，92，‎ 故甲选手得分平均分为，‎ ‎∴甲选手得分方差.‎ 乙选手评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，84，86，87，‎ 故乙选手得分的平均分为，‎ ‎∴乙选手得分的方差 ‎∴‎ ‎∴乙选手的数据波动小.‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图的应用，属于中档题.‎ ‎20. 已知向量，向量，函数.‎ ‎（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；‎ ‎（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先利用向量的坐标运算，二倍角公式及两角和与差公式的逆应用化简整理，再计算周期和对称轴即可；‎ - 17 -‎ ‎(2)分离参数，得的取值范围即的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 可得 ‎∵，‎ ‎∴‎ 因此，的最小正周期.‎ ‎∵，，∴对称轴方程为，.‎ ‎（2）∵，可得，‎ ‎∴，得的值域为.‎ ‎∵方程在上有解，‎ ‎∴在上有解，即得实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了向量与三角函数的综合应用，属于中档题.‎ ‎21. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“‎ - 17 -‎ ‎”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（I）6人，9人，10人；‎ ‎（II）（i）见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；‎ ‎（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；‎ ‎（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.‎ ‎【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，‎ 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，‎ 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.‎ ‎（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ‎,,‎ - 17 -‎ ‎,,共15种；‎ ‎（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，‎ 所以，事件M发生的概率.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎22. 若圆的内接矩形的周长最大值为．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，表示出矩形的周长，利用基本不等式求其最大值，根据等号的成立条件可得，进而可得圆的方程；‎ ‎(2) )设直线AB：，，联立：‎ - 17 -‎ ‎，利用韦达定理求出和，利用单调性求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，则，‎ ‎∴矩形周长 ，‎ ‎∵　， ‎ ‎∴，  ‎ ‎∴，‎ 当且仅当取“=”‎ ‎∴矩形周长的最大值为，‎ ‎∴r = 2，∴圆O的方程：‎ ‎(2)设直线AB：， ,‎ 联立：，‎ 消去y并整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ 同理： ‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴异号，‎ - 17 -‎ ‎∴ ‎ ‎　　　　　　　‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查利用韦达定理解决最值问题，是中档题.‎ - 17 -‎