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- 2021-06-30 发布
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2018-2019学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学(理)试题
一、单选题
1.数列1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:数列中正负项(先正后负)间隔出现,必有,1,3,5,7,9,……故2n-1,所以数列1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式是,故选B。
【考点】数列的通项公式。
点评:简单题,利用数列的前几项写出数列的一个通项公式,有时结果不唯一。
2.设,角的终边经过点,那么( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意有,所以,所以,故选A.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得,然后利用三角函数的定义,可直接计算得.本题由于点的坐标含有参数,要注意三角函数的正负.
3.已知是等差数列,且,则( )
A.12 B.24 C.20 D.16
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得,所以,故。选B。
4.已知等比数列 中, , 是方程 的两根,则 为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知等比数列 中, , 是方程 的两根,故
根据等比数列的性质得到
故答案为:B.
5.若,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出.
【详解】
∵logm2<logn2<0,
∴<<0,
∴lgn<lgm<0,
可得n<m<1.
故选:C.
【点睛】
本题考查了对数换底公式、对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6.设为等差数列的前项的和, , ,则数列的前2017项和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】Sn为等差数列{an}的前n项的和a1=1,设公差为d, = 因为
,所以,所以
所以数列的前2017项和为
故选A
7.小李年初向银行贷款万元用于购房,购房贷款的年利率为,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分次等额还清,每年次,问每年应还( )万元. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设每年应还万元,则, ,选.选B.
8.先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的,然后将其图象沿轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同,则的表达式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】法一:由题意变化后函数解析式为,得令,求得,即可求解;法二:由三角函数图象的平移和伸缩变换得变换前的解析式
【详解】
解法一:
,即,
所以令则,∴,即.
解法二:
据题意,
.
故选:D
【点睛】
本题考查三角函数图象的平移和伸缩变换,熟记平移和伸缩变化原则是解题关键,是中档题
9.某柱体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的侧面积(单位:)是( )
A.6 B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图还原几何体如图,该几何体为直四棱柱,底面四边形ABCD为直角梯形,且CD=CG=BC=2,AB=1,则AD=.则可求该柱体的侧面积.
【详解】
由三视图还原原几何体如图,
该几何体为直四棱柱,底面四边形ABCD为直角梯形,
且CD=CG=BC=2,AB=1,则AD=.
∴该柱体的侧面积为(2+2+1+)=,
故选:C.
【点睛】
本题考查由三视图求面积,关键是由三视图还原几何体,是中档题.
10.已知是的角平分线与边交于点,且,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:如图,过点分别作的高线,垂足分别是.过点作于点,由勾股定理可得长度,利用面积法可得,即可得.
详解:如图,如图,过点分别作的高线,垂足分别是.
∵是的角平分线,
过点作于点,
∵在直角中,
.
又
∴在直角中,由勾股定理得到
即
解得 ,
又∵在直角 中,
.
故选D.
点睛:本题考查了勾股定理、角平分的性质以及含30度角的直角三角形.根据题意作出辅助线,是解题的难点.
11.已知定义在上的函数满足:①对于任意的 ,都有 ;②函数是偶函数;③当时, , ,则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由①得 ,由②得 ,所以
因为当时, 单调递增,所以,选A.
点睛:(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去
,即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.
12.已知函数,则下列说法错误的是( )
A.的图象关于直线对称
B.在区间上单调递减
C.若,则()
D.的最小正周期为
【答案】C
【解析】∵=,
故函数的图象关于直线x=kπ+,k∈Z对称,故A正确;
f(x)在区间上单调递增,故B正确;
函数|f(x)|的周期为,若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ(k∈Z),故C错误;
f(x)的周期为2π中,故D正确;
故选:C.
二、填空题
13.已知半径为2的扇形的弦长,则该扇形的弧长是__________.
【答案】
【解析】利用勾股定理可知圆心角为直角,结合弧长公式得到结果.
【详解】
在中,,
故,故弧长
故答案为:
【点睛】
本题考查弧长公式,考查计算能力,属于基础题.
14.如图在平行四边形中, 为中点,
__________. (用表示)
【答案】
【解析】 ,故答案为
15.如图,在圆内接四边形ABCD中,BC=1,CD=2,DA=3,AB=4,则四边形ABCD的面积为__________.
【答案】
【解析】因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA,
且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos(π﹣A)=25+24cosA,
∴cosA=﹣,
又0<A<π,
∴sinA=.
∴S△BCD=S△ABD+S△CBD==.
点睛:四边形问题往往转化为三角形问题,注意四边形的对角线是解题的关键,通过余弦定理可以把两个三角形有机的结合到一起.
16.已知数列满足,则_______.
【答案】
【解析】由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式,然后分组求和求解数列的前项和即可.
【详解】
令,则,
由题意可得:,
即:,整理可得:,
令,则,由题意可得:,
且,
故,即,
,据此可知:
.
【点睛】
本题考查利用数列的递推关系求数列通项公式,数列求和,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项,是中档题
三、解答题
17.已知是等比数列,,,数列满足,,且是等差数列.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2).
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求数列的通项公式;
(Ⅱ)利用分组求和的方法求解数列的和,由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和
试题解析:
(Ⅰ)设等比数列的公比为,由题意得
,解得.
所以.
设等差数列的公差为,由题意得
.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
数列的前项和为;
数列的前项和为
所以,数列的前项和为.
18.在中,角所对的边分别为.且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】利用正弦定理表示出a,b,代入化简即可得到答案
,利用余弦定理求出ab的值即可得到的面积
【详解】
(1)由正弦定理可得
,
(2)由余弦定理得
即
又
解得或舍去
所以。
【点睛】
本题考查了运用正弦定理和余弦定理解三角形,熟练掌握公式并加以运用是解题关键,本题较为基础。
19.如图,在四棱锥中,底面是菱形,,为等边三角形,是线段上的一点,且平面.
(1)求证:为的中点;
(2)若为的中点,连接,,,,平面平面,,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)线面平行性质定理连接,平面,平面平面,平面,为的中点,∴为的中点;
(2)利用边长的倍数关系进行转化
, 平面平面,即平面,
(1)证明:如图,连接交于点,则为的中点,连接,
∵平面,平面平面,平面,
∴,而为的中点,∴为的中点.
(2)解:∵,分别为,的中点,
∴ .
取的中点,连接,
∵为等边三角形,∴,
又平面平面,平面平面,平面,
∴平面,
而,,
∴ ,
∴.
点晴:空间立体是高考必考题型,需熟练掌握平行垂直判定定理和性质定理,在求体积时运用体积公式,找出底和高即可
20.已知数列的前项和(为正整数).
(Ⅰ)求证:为等差数列;
(Ⅱ)求数列的前项和公式.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.
【试题解析】
(Ⅰ)(方法一)当时,解得
由得,
当时,有
代入上式得
整理得,
所以是以为首项,为公差的等差数列
(方法二)当时,解得
,设,则,
当时,有
代入得
整理得
所以即是以为首项,为公差的等差数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
依题意①
上式两边同乘以,得②
①-②得,
所以
21.如图, 是一块半径为 ,圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ,其中动点 在扇形的弧上,记 .
(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式;
(2)当角 取何值时,矩形 的面积最大?并求出这个最大面积.
【答案】(1) (2)时,S取得最大值
【解析】先把矩形的各个边长用角表示出来,进而表示出矩形的面积,即可得到答案
化简函数,利用角的范围,结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值
【详解】
(Ⅰ)因为
,,
所以 ,
(Ⅱ)
因为,所以
所以当,即时,矩形CDEF的面积S取得最大值
【点睛】
本题主要考查运用三角函数解答矩形面积,关键是用含有的表达式来表示出矩形的长和宽,在表示过程中运用三角函数解三角形,在求最值时将其转化为用辅助角化简题,然后求解,此类题目解答的方法还是需要掌握。
22.在平面直角坐标系中,点,圆的半径为2,圆心在直线上
(1)若圆心也在圆上,过点作圆的切线,求切线的方程。
(2)若圆上存在点,使,求圆心的纵坐标的取值范围。
【答案】(1)或
(2)或
【解析】试题分析:(1)建立方程组 圆心(2,-2),设切线方程,再由点到直线的距离公式解得或 所求切线方程为或
(2)设点,由 点在以为圆心,以为半径的圆上,由圆C与圆D有公共点 或.
试题解析:(1)解得,所以圆心(2,-2),设切线方程为,即, ,解得或,所求切线方程为或
(2)设圆的方程为,设点,因为,所以,化简得,所以点在以为圆心,以8为半径的圆上,由题意知点在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则,即,所以,解得或