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- 2021-06-30 发布
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2020届模拟04理科数学
一、选择题
1.已知全集是不大于5的自然数集,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合,根据补集和交集定义,即可求解.
【详解】
,则.
故选:B.
【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.
2.在复平面内,复数在复平面内对应的点分别为,则复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出复数,根据复数的除法运算法则,求出实部、虚部即可求解.
【详解】由题知,,
所以,
其共轭复数为,故虚部为.
故选:B.
- 25 -
【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数代数运算,以及共轭复数,属于基础题.
3.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( )
A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸
【答案】B
【解析】
【分析】
从冬至日起各节气日影长设为,可得为等差数列,根据已知结合前项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解.
【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为,
是其前项和,则尺,
所以尺,由题知,
所以,所以公差,
所以尺。
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列应用问题,考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运算,属于中档题.
4.执行如图所示程序框图输出的值为( )
- 25 -
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据循环体的运算,可得,应用裂项相消法,即可求出结论.
【详解】由程序框图知,输出
,
故选:D.
【点睛】本题考查循环结构程序框图运行结果,注意裂项相消法求和的运用,属于中档题.
5.已知函数的定义域为,满足:①对任意,都有,②对任意且,都有,则函数叫“成功函数”,下列函数是“成功函数”的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可得判断“成功函数”为定义域上单调递增的奇函数,逐项判断,即可得出结论.
【详解】由任意,都有知是奇函数,
由任意且,
都有,知是增函数,
因为在定义域上是奇函数,
但在定义域上不是单增函数,故A错;
- 25 -
因为是奇函数,,
所以在定义域上是增函数,故B正确;
因为在定义域是减函数,
故C错;
因为在上单调递减,故D错.
故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,熟练掌握初等函数单调性,以及应用导数法判断函数的单调性,属于中档题.
6.某研究员为研究某两个变量的相关性,随机抽取这两个变量样本数据如下表:
0.04
1
4.84
10.24
1.1
2.1
2.3
3.3
4.2
若依据表中数据画出散点图,则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损,将方程作为回归方程,则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为( )
A. B. 1.69 C. 1.96 D. 4.32
【答案】C
【解析】
【分析】
令,根据线性回归中心点在回归直线上,求出,得出,即可求解.
【详解】设缺失的数据为,则样本数据如下表所示:
0.2
1
2.2
3.2
1.1
2.1
2.3
3.3
4.2
- 25 -
其回归直线方程为,由表中数据可得,
,
由线性回归方程得,,
即,解得.
故选:C.
【点睛】本题考查线性回归方程的应用,换元是解题的关键,掌握回归中心点在线性回归直线上,考查计算求解能力,属于中档题.
7.已知变量满足约束条件,若恒成立,则实数的最大值为( )
A. 40 B. 9 C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
恒成立,只需,根据几何意义,结合可行域图形,求出其最小值,即为的最大值.
【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,
设,
表示可行域内点与点距离的平方减去1,
由题知,过作直线的垂线,
由图可知,垂足在线段上,
因为点到直线的的距离,
所以.
故选:D.
- 25 -
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,考查用数形结合方法求非线性目标函数的最值,解题关键要能判断出目标函数的几何意义,属于中档题.
8.已知是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点,是线段的中点,是坐标原点,若周长为(为双曲线的半焦距),,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从周长为,是线段的中点入手,结合双曲线的定义,将已知条件转为焦点三角形中与关系,求出,用余弦定理求出关系,即可求解.
【详解】连接,因为是线段的中点,
由三角形中位线定理知,
由双曲线定义知,
因为周长为,
所以,解得,在中,
由余弦定理得,
- 25 -
即,整理得,,
所以,所以双曲线的渐近线方程为.
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用,属于中档题.
9.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体的直观图,是由四棱锥和四分之一圆锥组成几何体,即可求解.
【详解】由三视图知,该三视图对应的几何体为如图所示,
由四棱锥和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体,
四棱锥可以看成是以两直角边分别为的直角三角形为底面,
高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积的棱锥得到的,
故该几何体的体积为.
故选:A
【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积,还原出几何体的直观图是解题的关键,属于中档题.
10.在四棱锥中,是边长为6的正三角形,是正方形,平面
- 25 -
平面,则该四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取BC的中点为,分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心,根据已知条件可得⊥平面ABC,AM⊥平面BCDE,过分别做的平行线交于,则为球心,求出,即可求出外接球的半径,即可求解.
【详解】取BC的中点为,是正三角形ABC的中心,
为正方形BCDE的中心,连接,则有,
,平面平面,平面平面=,
⊥平面ABC,AM⊥平面BCDE,过分别做,
,则⊥平面ABC,⊥平面BCDE,交于,
则为球心,,
所以四边形为矩形,,
所以外接球的体积为.
故选:D.
- 25 -
【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题,解题的关键是根据球的性质确定球心,考查空间想象能力,属于中档题.
11.在中,曲线上动点满足,,,若曲线与直线围成封闭区域的面积为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设,则在直线上且有,得到点在直线上,由已知解,求出,进而求出,再解,即可求出结论.
【详解】设,则在直线上,
且,,
由知,
,所以点在直线上,
故曲线与直线围成封闭区域就是,
由得,,
所以,
解得,所以,由余弦定理知,
,
解得,由正弦定理得,,
- 25 -
所以.
故选:A.
【点睛】本题以向量为背景考查解三角形,考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用,解题的关键是由向量共线的充要条件确定动点的轨迹,属于中档题.
12.若()恰有1个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令得到,问题转化为函数的图象与直线在上恰有1个交点,用导数法作出的图像,根据图像求出直线与函数只有一个交点满足的条件,即可求出结论.
【详解】由恰有1个零点,方程恰有1个解,即方程恰有1个解,即函数的图象与直线在上恰有1个交点,因为,当时,,当时,,所以在区间上都是减函数,在是增函数,当时,取极小值,直线过点,斜率为,显然是函数的图象与直线的一个交点,这两个图象不能有其他交点,作出函数与的图象,由图可知,当时,直线应在函数()的图象上方,
设,即恒成立,因为,只需
- 25 -
为减函数,所以,即恒成立,设,设,则,,当且仅当,即,即,
即时,,所以,当时,直线与
相切,也适合,故满足题意的取值范围为.
故选:B.
【点睛】本题考查函数零点问题,等价转化为直线与函数交点个数求参数,应用导数求函数的单调性、极值最值、函数图像,构造函数是解题的关键,属于难题.
二、填空题
13.已知展开式各项系数和为128,则展开式中含项的系数为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
用赋值法令,求出,根据项的结构特征,即可求出其系数.
【详解】令得,,解得,
将看成7个相乘,
要得到含项,则这7个因式中2个因式取,
余下5个因式中3个取,余下2个因式取2,
所以含项的系数为.
故答案为:
- 25 -
【点睛】本题考查赋值法求系数和,巧妙用组合思想求项的系数,减少计算量,属于中档题.
14.在梯形中,,,与相交于点,则__________.
【答案】
【解析】
因为与的夹角为钝角,,所以在方向上的投影为,在直角中,所以,所以
15.已知函数图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为,则在区间的值域为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,求出的解析式,再利用二倍角公式、降幂公式、以及辅助角公式,将化为正弦型函数,即可求出结论.
【详解】由题知,,,所以,解得,
由,,解得,所以,
,因为,
- 25 -
所以,所以,
所以,
所以在区间的值域为.
故答案为:
【点睛】本题考查正弦函数图像和性质,三角恒等变换化,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
16.已知直线与抛物线自下到上交于,是抛物线准线与直线的交点,是抛物线的焦点,若,则以为直径的圆的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知,直线过焦点,结合抛物线的定义求出直线的倾斜角,直线与抛物线联立,求出相交弦的中点坐标以及弦长,即可求解.
【详解】因为,所以焦点在直线上,且,
过作抛物线准线的垂线,垂足为,由抛物线定义知,
,所以,所以,
即直线的倾斜角为,所以直线方程为,
代入整理得,,设,
线段的中点坐标为,则,
所以,,,
- 25 -
所以以为直径的圆的方程为.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,应用抛物线定义确定直线的倾斜角是解题的关键,熟练掌握根与系数关系设而不求方法求弦长,属于中档题.
三、解答题
17.已知数列前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由前项和与关系,得到,将看着一个整体,根据递推关系可用待定系数法,配凑出+1为等比数列,即可求出的通项公式;
(2)根据的通项公式,分组求和,分别用错位相减法和等差数列前和公式求和,即可求解.
【详解】(1)由题知=,
即,即,
- 25 -
,,
数列是首项为3,公比为3的等比数列,
,;
(2)由(1)知,,
,
设, ①
②
①-②得,,
,,
.
【点睛】本题考查数列的通项公式求法,注意构造辅助数列转化为等差、等比数列,考查求前项和,考查计算求解能力,属于中档题.
18.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化,在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛,为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况,从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩(满分100分)作为样本,将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示,已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.
(1)求的值和估计参赛人员的平均成绩(保留小数点后两位有效数字);
(2)已知抽取的
- 25 -
名参赛人员中,成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人,现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人,记这4人中女士的人数为,求的分布列与数学期望.
【答案】(1)40,73.75(2)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)由频率和为1,求出[50,60)的频率,频数为3,即可求出,由直方图结合平均数公式,即可求出平均数;
(2)分别求出抽取的人员中成绩在[80,90),[90,100]的人数,的可能取值为0,1,2,3,4,按求古典概型概率方法,求出随机变量的各个值的概率,列出分布列,即可求出数学期望.
【详解】(1)由频率分布直方图知,成绩在频率为
,
成绩在[50,60)内频数为3,抽取的样本容量,
参赛人员平均成绩为.
(2)由频率分布直方图知,抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5,
成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4,
的可能取值为0,1,2,3,4,
;,
,,
.
的分布列为
0
1
2
3
4
- 25 -
.
【点睛】本题考查补全频率分布直方图,以及应用直方图求平均数,考查随机变量的分布列和期望,属于中档题.
19.在多面体中,为菱形,,为正三角形.
(1)求证:;
(2)若平面平面,求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点为,连接,由已知可得,,进而有
平面,即可证明结论;
(2)由已知可得平面,建立空间直角坐标系,求出坐标以及平面的法向量坐标,根据空间向量的线面角公式,即可求解.
【详解】(1)取的中点为,连接,
为正三角形,,
为菱形,,为正三角形,
,,
平面,.
(2)由(1)知,,平面平面,平面,
- 25 -
以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系,
设,直线与平面所成的角,则,
则,
设平面的法向量为,
则,取,
则,,,
,
直线与平面所成的角的正弦值为.
【点睛】本题考查线线垂直的证明,注意垂直隐含条件的挖掘,考查用空间向量法求线面角,考查计算求解能力,属于中档题.
20.已知是椭圆的左、右焦点,离心率为,是平面内两点,满足,线段的中点在椭圆上,周长为12.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与圆相切的直线与椭圆交于,求(其中为坐标原点)的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
- 25 -
【分析】
(1)由已知可得是线段的中点,再由是线段的中点,结合椭圆定义可得周为,再由离心率,求出,即可求出椭圆标准方程.
(2)先考虑直线斜率不存在,求出,直线斜率存在,设直线方程,与单位圆相切求出关系,直线方程与椭圆方程联立,消去,求出横坐标乘积,进而求出纵坐标乘积,结合关系,求出关于目标函数,根据函数的特点,求出其范围.
【详解】(1)连接,,,
是线段中点,是线段的中点,
由椭圆的定义知,,
周长为,
由离心率为知,,解得,,
椭圆的方程为.()
(2)当直线的斜率不存在时,直线,
代入椭圆方程解得,此时,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
由直线与圆相切知,,,
将直线方程代入椭圆方程整理得,
,
设,则,,
- 25 -
,
,
,
,,,
,
综上所述,的取值范围为.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,注意椭圆定义在解题中的应用,考查直线与椭圆的位置关系,以及利用不等式性质求范围,考查计算求解能力,属于较难题.
21.已知.
(1)若函数在点的切线与圆相切,求实数的值.
(2)已知,当时,求实数的取值范围.
【答案】(1)2(2)
【解析】
【分析】
(1)求导求出,求出切线方程,利用与单位圆相切,即可求出;
(2)构造函数,求恒成立时的范围,注意,所以递增满足题意,若单调递减,不满足题意,转化为求函数单调性,即可求出结论.
【详解】(1)由题知,,,
- 25 -
在点的切线斜率为,
在点的切线方程为,即,
由题知,,解得.
(2)设
,
设,,
当时,,,,,
即在上是增函数,,
当时,,则当时,,
函数在上是增函数,当时,,满足题意,
当时,,
在上是增函数,趋近于正无穷大时,趋近于正无穷大,
存在上,使,
当时,,函数在是减函数,
当时,,不满足题意,
综上所述,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、零点、不等式问题,考查推理和计算能力,属于较难题.
22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线过点,倾斜角为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线的参数方程的标准形式;
- 25 -
(2)已知直线交曲线于两点,求.
【答案】(1),(是参数)(2)
【解析】
【分析】
(1)将曲线用二倍角余弦整理,代入,即可求出其直角坐标方程;根据条件,写出直线参数方程的标准形式;
(2)将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义,结合根与系数关系,即可求出结论.
【详解】(1)由得,,
将代入上式整理得,
∴曲线的直角坐标方程为,
由题知直线的标准参数方程为(是参数).
(2)设直线与曲线交点对应的参数分别为,
将直线的标准参数方程为(是参数)
代入曲线方程整理得,
,,
- 25 -
.
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长,考查计算求解能力,属于中档题.
23.(1)已知函数,当时,恒成立,求实数的最小值.
(2)已知正实数满足,,求的最小值.
【答案】(1)8(2)8
【解析】
【分析】
(1)当时,恒成立,只需,分类讨论去绝对值,即可求解;
(2)由已知得,利用“1”的变换,结合基本不等式转为求的最小值.
【详解】(1),
在区间上是减函数,在区间是增函数,
,在区间上的最大值为8,
,实数的最小值为8.
(2),,,
,
- 25 -
当且仅当且,即时,取最小值8.
的最小值为8.
【点睛】本题考查分类讨论去绝对值求最大值,考查利用基本不等式求最小值,要注意条件等式的合理运用,属于中档题.
- 25 -
- 25 -
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