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- 2021-06-30 发布
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一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是
符合要求的.
1. 已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
[来源:Zxxk.Com]
【答案】C.
2{ 2 0}P x x x { 1 2}Q x x ( )R P Q ð
[0,1) (0,2] (1,2) [1,2]
38cm 312cm 332
3 cm 340
3 cm
3. 已知 是等差数列,公差 不为零,前 项和是 ,若 , , 成等比数列,则( )
A. B. C. D.
4. 命题“ 且 的否定形式是( )
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
{ }na d n nS 3a 4a 8a
1 40, 0a d dS 1 40, 0a d dS 1 40, 0a d dS 1 40, 0a d dS
* *, ( )n N f n N ( )f n n
* *, ( )n N f n N ( )f n n * *, ( )n N f n N ( )f n n
* *
0 0, ( )n N f n N 0 0( )f n n * *
0 0, ( )n N f n N 0 0( )f n n
5. 如图,设抛物线 的焦点为 ,不经过焦点的直线上有三个不同的点 , , ,其中点 ,
在抛物线上,点 在 轴上,则 与 的面积之比是( )
A. B. C. D.
6. 设 , 是有限集,定义 ,其中 表示有限集 A 中的元
素个数,命题①:对任意有限集 , ,“ ”是“ ”的充分必要条件;
命题②:对任意有限集 , , , ,( )
2 4y x F A B C A B
C y BCF ACF
1
1
BF
AF
2
2
1
1
BF
AF
1
1
BF
AF
2
2
1
1
BF
AF
A B ( , ) ( ) ( )d A B card A B card A B ( )card A
A B A B ( , ) 0d A B
A B C ( , ) ( , ) ( , )d A C d A B d B C
A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立,命题②不成立 D . 命题①不成立,命题②成立
7. 存在函数 满足,对任意 都有( )
A. B. C. D.
( )f x x R
(sin 2 ) sinf x x 2(sin 2 )f x x x 2( 1) 1f x x 2( 2 ) 1f x x x
8. 如图,已知 , 是 的中点,沿直线 将 折成 ,所成二面角 的
平面角为 ,则( )
A. B. C. D.
ABC D AB CD ACD A CD A CD B
A DB A DB A CB A CB
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
9. 双曲线 的焦距是 ,渐近线方程是 .
2
2 12
x y
10. 已知函数 ,则 , 的最小值是 .
11. 函 数 的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
12. 若 ,则 .
【答案】 .
【 解析】
2
2 3, 1( )
lg( 1), 1
x xf x x
x x
( ( 3))f f ( )f x
2( ) sin sin cos 1f x x x x
4log 3a 2 2a a
33
4
13. 如图,三棱锥 中, ,点 分别是 的中
点,则异面直线 , 所成的角的余弦值是 .
A BCD 3, 2AB AC BD CD AD BC ,M N ,AD BC
AN CM
13. 若实数 满足 ,则 的最小值是 .,x y 2 2 1x y 2 2 6 3x y x y
15. 已知 是空间单位向量, ,若空间向量 满足 ,且对于任意 ,
,则 , , .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分 14 分)
在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , = .
(1)求 的值;
(2)若 的面积为 3,求 的值.
1 2,e e
1 2
1
2e e b
1 2
52, 2b e b e ,x y R
1 2 0 1 0 2 0 0( ) ( ) 1( , )b xe ye b x e y e x y R
0x 0y b
ABC A B C a b c 4A 2 2b a 1
2
2c
tanC
ABC b
17.(本题满分 15 分)
如 图,在三棱柱 -中, , , , 在底面 的射影为
的中点, 为 的中点.
(1)证明: D 平面 ;
(2)求二面角 -BD- 的平面角的 余弦值.
1 1 1ABC A B C 90BAC 2AB AC 1 4A A 1A ABC
BC D 1 1B C
1A 1A B C
1A 1B
[来源:Zxxk.Com]
[来源:学科网]
18.(本题满分 15 分)
已知函数 ,记 是 在区间 上的最大值.
(1)证明:当 时, ;
(2)当 , 满足 ,求 的最大值 .[来源:Zxxk.Com]
2( ) ( , )f x x ax b a b R ( , )M a b | ( ) |f x [ 1,1]
| | 2a ( , ) 2M a b
a b ( , ) 2M a b | | | |a b
19.(本 题满分 15 分)
已知椭圆 上两个不同的点 , 关于直线 对称.
(1)求实数 的取值范围;
(2)求 面积的最大值( 为坐标原点).
2
2 12
x y A B 1
2y mx
m
AOB O
20.(本题满分 15 分)
已知数列 满足 = 且 = - ( )
(1)证明:1 ( );
(2 )设数列 的前 项和为 ,证明 ( ).
na 1a 1
2 1na na 2
na n *N
1
2n
n
a
a
n *N
2
na n nS 1 1
2( 2) 2( 1)
nS
n n n n *N
[来源:学科网 ZXXK]
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