【数学】2020一轮复习北师大版（理）26　平面向量的数量积与平面向量的应用作业 5页

课时规范练26　平面向量的数量积与平面向量的应用 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.已知向量BA‎=‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,BC=‎‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则∠ABC=(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ ‎2.(2018河北保定一模,4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则“x<0或x>4”是“向量a与b的夹角为锐角”的(　　)‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎3.若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(λBA‎+‎CA)=0,则实数λ的值为(　　)‎ A.3 B.-‎‎9‎‎2‎ C.-3 D.-‎‎5‎‎3‎ ‎4.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)‎ A.‎5‎ B.2‎5‎ ‎ C.5 D.10‎ ‎5.(2018湖南长郡中学四模,3)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则“x>0”是“a与b夹角为锐角”的(　　)‎ A.充分不必要条件 ‎ B.充要条件 C.必要不充分条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎6.(2018北京,文9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　　　　. ‎ ‎7.(2018河南郑州三模,14)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=　　　　　. ‎ ‎8.(2018河北衡水中学考前仿真,13)已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),|a+b|=|a-b|,则5a-3b的模等于　　　　　. ‎ ‎9.(2018衡水中学16模,13)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1,若e为平面单位向量,则(a-b)·e的最大值为　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎10.(2018北京,理6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.(2018河北保定一模,10)已知向量a=sin4x‎2‎,cos4x‎2‎,向量b=(1,1),函数f(x)=a·b,则下列说法正确的是(　　)‎ A.f(x)是奇函数 B.f(x)的一条对称轴为直线x=‎π‎4‎ C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)在π‎4‎‎,‎π‎2‎内是减少的 ‎12.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC‎,‎AE=λAC‎-‎AB(λ∈R),且AD‎·‎AE=-4,则λ的值为　　　　　. ‎ ‎13.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,‎3‎),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA‎+OB+‎OD|的最大值是　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎14.(2018衡水中学九模,9)若实数x,y满足不等式组x+y+2≥0,‎x+2y+1<0,‎y≥0,‎m=y,‎‎1‎x+1‎,n=‎1‎x+1‎‎,2‎,则m·n的取值范围为(　　)‎ A.‎-∞,-‎‎3‎‎2‎ ‎ B.[2,+∞)‎ C.‎-‎1‎‎2‎,2‎ ‎ D.‎-∞,-‎‎1‎‎2‎∪[2,+∞)‎ ‎15.(2018河南郑州三模,11)已知P为椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1上的一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则PA‎·‎PB的取值范围为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎,+∞‎ ‎ B.‎‎3‎‎2‎‎,‎‎56‎‎9‎ C.‎2‎2‎-3,‎‎56‎‎9‎ ‎ D.[2‎2‎-3,+∞)‎ 参考答案 课时规范练26　平面向量的数量积与 平面向量的应用 ‎1.A　由题意得cos∠ABC=BA‎·‎BC‎|BA||BC|‎=‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎2‎+‎3‎‎2‎×‎‎1‎‎2‎‎1×1‎=‎3‎‎2‎,所以∠ABC=30°,故选A.‎ ‎2.B　“向量a与b的夹角为锐角”的充要条件为a·b>0且向量a与b不共线,即x2-4x>0,x∶x≠2x∶(-2),∴x>4或x<0,且x≠-1,故“x>4或x<0”是“向量a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,选B.‎ ‎3.C　∵BA=(1,2),CA=(4,5),‎ ‎∴CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),‎ λBA+CA=(λ+4,2λ+5).‎ 又CB·(λBA+CA)=0,‎ ‎∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,‎ 解得λ=-3.‎ ‎4.C　依题意,得AC·BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC⊥BD.‎ ‎∴四边形ABCD的面积为‎1‎‎2‎|AC||BD|=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎×‎(-4‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=5.‎ ‎5.C　若a与b夹角为锐角,则a·b>0,且a与b不平行,所以a·b=2(x-1)+2=2x>0,得x>0,且x-1≠4,x≠5,所以“x>0”是“x>0,且x≠5”的必要不充分条件,故选C.‎ ‎6.-1　由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).‎ ‎∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即m+1=0,‎ ‎∴m=-1.‎ ‎7.‎3‎　∵|2a-b|=1,‎ ‎∴(2a-b)2=1,‎ ‎∴4-4|a||b|cos 30°+|b|2=1,‎ 即|b|2-2‎3‎|b|+3=0,∴|b|=‎3‎.‎ ‎8.‎170‎　∵|a+b|=|a-b|,‎ ‎∴a⊥b,-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1.‎ a=(1,2),b=(-2,1),5a-3b=(11,7),|5a-3b|=‎121+49‎=‎170‎.‎ ‎9.‎3‎　由|a|=1,|b|=2,且a·b=1,‎ 得cos=a·b‎|a||b|‎=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴cos=60°.‎ 设a=(1,0),b=(1,‎3‎),e=(cos θ,sin θ),‎ ‎∴(a-b)·e=-‎3‎sin θ,‎ ‎∴(a-b)·e的最大值为‎3‎,故答案为‎3‎.‎ ‎10.C　由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.‎ ‎∵a,b均为单位向量,‎ ‎∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.‎ ‎11.D　f(x)=a·b=sin4x‎2‎+cos4x‎2‎=sin‎2‎x‎2‎+cos‎2‎x‎2‎‎2‎-2sin2x‎2‎cos2x‎2‎=1-‎1‎‎2‎sin2x=‎3+cos2x‎4‎,所以f(x)是偶函数,x=π‎4‎不是其对称轴,最小正周期为π,在π‎4‎‎,‎π‎2‎内是减少的,所以选D.‎ ‎12.‎3‎‎11‎　∵BD=2DC,‎ ‎∴AD=AB+BD=AB+‎2‎‎3‎BC=AB+‎2‎‎3‎(AC-AB)=‎2‎‎3‎AC+‎1‎‎3‎AB.‎ 又AE=λAC-AB,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4.‎ ‎∴AB·AC=3×2×‎1‎‎2‎=3,‎2‎‎3‎AC‎+‎‎1‎‎3‎AB·(λAC-AB)=-4,‎ 即‎2λ‎3‎AC‎2‎-‎1‎‎3‎AB‎2‎+λ‎3‎‎-‎‎2‎‎3‎AB·AC=-4,‎ ‎∴‎2λ‎3‎×4-‎1‎‎3‎×9+λ‎3‎‎-‎‎2‎‎3‎×3=-4,即‎11‎‎3‎λ-5=-4,解得λ=‎3‎‎11‎.‎ ‎13.1+‎7‎　设D(x,y),由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1,向量OA+OB+OD=(x-1,y+‎3‎),‎ 故|OA+OB+OD|=‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+‎‎3‎‎)‎‎2‎的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-‎3‎)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-‎3‎)的距离加上圆的半径,‎ 即‎(3-1‎)‎‎2‎+(0+‎‎3‎‎)‎‎2‎+1=1+‎7‎.‎ ‎14.A　作出可行域,如图,∵m=y,‎‎1‎x+1‎,n=‎1‎x+1‎‎,2‎,‎ ‎∴m·n=y+2‎x+1‎.‎ 记z=y+2‎x+1‎表示可行域上的动点与(-1,-2)连线的斜率,由x+y+2=0,‎x+2y+1=0‎得点A(-3,1),点B(-1,0),点C(-2,0),由图不难发现z=y+2‎x+1‎∈‎-∞,-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎15.C　椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1的a=2,b=‎3‎,c=1.圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),半径为1.‎ 由题意设PA与PB的夹角为2θ,‎ 则|PA|=|PB|=‎1‎tanθ,‎ ‎∴PA·PB=|PA|·|PB|cos 2θ=‎1‎tan‎2‎θ·cos 2θ=‎1+cos2θ‎1-cos2θ·cos 2θ.‎ 设cos 2θ=t,则y=PA·PB=t(1+t)‎‎1-t=(1-t)+‎2‎‎1-t-3≥2‎2‎-3.‎ ‎∵P在椭圆的右顶点时,sin θ=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴cos 2θ=1-2×‎1‎‎9‎=‎7‎‎9‎,‎ 此时PA·PB的最大值为‎1+‎‎7‎‎9‎‎1-‎‎7‎‎9‎×‎7‎‎9‎=‎56‎‎9‎,‎ ‎∴PA·PB的取值范围是‎2‎2‎-3,‎‎56‎‎9‎.‎