数学一轮复习第4章三角函数解三角形第5节三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式教学案文北师大版 9页

第五节　三角恒等变换 ‎[最新考纲]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．‎ ‎(对应学生用书第71页)‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎1．公式的常用变式 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ sin 2α＝＝；‎ cos 2α＝＝.‎ ‎2．降幂公式 sin2α＝；‎ cos2α＝；‎ sin αcos α＝sin 2α.‎ ‎3．升幂公式 - 9 -‎ ‎1＋cos α＝2cos2；‎ ‎1－cos α＝2sin2；‎ ‎1＋sin α＝；‎ ‎1－sin α＝.‎ ‎4．半角正切公式 tan ＝＝.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)‎ ‎(2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． (　　)‎ ‎(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. (　　)‎ ‎(4)当α是第一象限角时，sin ＝. (　　)‎ ‎[答案](1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)‎ A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ A　[∵cos α＝－，‎ α是第三象限角，‎ ‎∴sin α＝－＝－.‎ ‎∴cos＝(cos α－sin α)＝ ‎＝.故选A.]‎ ‎2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.‎ - 9 -‎ 　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.]‎ ‎3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝________.‎ 　[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°‎ ‎＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°‎ ‎＝sin(72°－42°)‎ ‎＝sin 30°＝.]‎ ‎4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.‎ 　[∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.]‎ ‎5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.‎ 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 ‎(对应学生用书第72页)‎ ‎⊙考点1　公式的直接应用 ‎(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ ‎　1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B. - 9 -‎ C. D. B　[由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.‎ ‎∵α∈，∴cos α≠0，‎ ‎∴2sin α＝cos α，∴tan α＝，∴sin α＝.故选B.]‎ ‎2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ A　[∵α∈，∴tan α＝－，又tan β＝－，‎ ‎∴tan(α－β)＝ ‎＝＝－.]‎ ‎3．(2019·太原模拟)若α∈，且sin＝，则cos＝________.‎ 　[由于角α为锐角，且sin＝，‎ 则cos＝，‎ 则cos＝cos ‎＝coscos ＋sinsin ‎＝×＋×＝.]‎ ‎4．计算的值为________．‎ 　[＝ ‎＝＝＝.]‎ - 9 -‎ ‎　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．‎ ‎⊙考点2　公式的逆用与变形用 ‎　公式的一些常用变形 ‎(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；‎ ‎(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；‎ ‎(3)1±sin α＝；‎ ‎(4)sin 2α＝＝；‎ ‎(5)cos 2α＝＝；‎ ‎(6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(7)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎　公式的逆用 ‎(1)化简＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.‎ ‎(1)　(2)　[(1)＝＝＝＝.‎ ‎(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，‎ 即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.]‎ ‎(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．‎ ‎(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．‎ ‎(3)重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．‎ ‎　公式的变形用 - 9 -‎ ‎(1)化简＝________.‎ ‎(2)化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________．‎ ‎(1)－1　(2)　[(1)＝＝＝－1.‎ ‎(2)原式＝＋－sin2α ‎＝1－－sin2α ‎＝1－cos 2α·cos －sin2α ‎＝1－－＝.]‎ ‎　注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．‎ ‎　1.设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b D　[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.]‎ ‎2．(2019·福州模拟)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)‎ A. B. - 9 -‎ C．1 D. D　[法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.‎ 法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4×2×＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故选D.]‎ ‎3．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.‎ ‎2　[(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1‎ ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1‎ ‎＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1‎ ‎＝2.]‎ ‎⊙考点3　公式的灵活运用 ‎　三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．‎ ‎　三角公式中角的变换 ‎(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.‎ ‎(2)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)依题意得sin α＝＝，‎ 因为sin(α＋β)＝＜sin α且α＋β＞α，‎ - 9 -‎ 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，‎ 所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.]‎ ‎(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．‎ ‎　三角公式中名的变换 ‎(1)化简：(0＜θ＜π)；‎ ‎(2)求值：－sin 10°.‎ ‎[解](1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0，‎ ‎∴＝＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ) ‎＝ ‎＝2cos ＝－2cos cos θ.‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝－sin 10° - 9 -‎ ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°·＝－2cos 10°‎ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎　1.(2019·石家庄模拟)已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.]‎ ‎2．已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝________.‎ 　[由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]‎ ‎＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α ‎＝×－×＝.]‎ ‎3.＝________.(用数字作答)‎ 　[＝ ‎＝＝＝.]‎ - 9 -‎