高中数学人教版必修4全套教案 19页

‎2.2.1‎‎ 向量的加法运算及其几何意义 教学目标：‎ 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； ‎ 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； ‎ 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；‎ 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.‎ 教学难点：理解向量加法的定义.‎ 教学思路：‎ 一、设置情景：‎ 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：‎ ‎（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：‎ ‎（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：‎ ‎（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：‎ A B C A B C A B C C A B ‎（4）船速为，水速为，则两速度和：‎ 二、探索研究：‎ ‎１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.‎ ‎２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）‎ A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0-= 0 +a a a 探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；‎ ‎（2）当向量与不共线时， |+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，‎ ‎ 当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；‎ ‎ 当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，‎ ‎ 当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；‎ ‎ 若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.‎ O A B a a a b b b ‎（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加.‎ ‎３．例一、已知向量、，求作向量+‎ ‎ 作法：在平面内取一点，作 ，则.‎ ‎４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）‎ ‎ ２）向量加法的交换律：+=+‎ ‎５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？‎ ‎6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.‎ 三、应用举例：‎ 例二（P83—84）略 变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.‎ 变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.‎ 练习：P84面1、2、3、4题 四、小结 ‎ ‎1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.‎ 五、课后作业：《优化设计》作业。‎ 六、备用习题 ‎ 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？‎ ‎2.2.2‎向量的减法运算及其几何意义 教学目标：‎ 1. 了解相反向量的概念；‎ 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；‎ 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.‎ 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.‎ 教学难点：减法运算时方向的确定.‎ 教学思路：‎ 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律 例：在四边形中， .‎ 解：‎ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 ‎（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量. 记作 -a ‎（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.‎ ‎ 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0‎ ‎ 如果a、b互为相反向量，则a = -b，b = -a，a + b = 0‎ ‎ （3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.‎ ‎ 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.‎ 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：‎ a b O a b B a-b ‎ 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b ‎ ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a ‎ 作法：在平面内取一点O，‎ ‎ 作= a， = b 则= a - b ‎ 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.‎ O A B a B’‎ b -b b B a+ (-b)‎ a b ‎ 注意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 ‎ 2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)‎ 4． 探究：‎ １） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是 b - a .‎ ‎２）若a∥b， 如何作出a - b　？‎ a-b A A B B B’‎ O a-b a a b b O A O B a-b a-b B A O -b 三、 例题：‎ 例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.‎ ‎ 解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d， ‎ A B C D O b a d c ‎ 作， ， 则= a-b， = c-d A B ‎ D C 例二、平行四边形中，a，b， 用a、b表示向量、.‎ 解：由平行四边形法则得： = a + b， = = a-b 变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）‎ 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）‎ 变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）‎ 练习：在△ABC中， =a， =b，则等于( B ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 四：小结：向量减法的定义、作图法|‎ 五：作业：《优化设计》作业十九 ‎2.3.1‎‎-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示 教学目的：‎ ‎（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念； ‎ ‎（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；‎ ‎（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. ‎ 教学重点：平面向量基本定理. ‎ 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.‎ 教学过程：‎ 一、 复习引入：‎ ‎1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ ‎（1）|λ|=|λ|||；‎ ‎（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=‎ ‎2．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ ‎ ‎3. 向量共线定理 向量与非零向量共线则：有且只有一个非零实数λ，使=λ.‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．思考：（1）给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，‎ ‎（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？‎ 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.‎ ‎2．探究：‎ ‎(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；‎ ‎(2) 基底不惟一，关键是不共线；‎ ‎(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；‎ ‎(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 O A B P ‎3．讲解范例：‎ 例1 已知向量， 求作向量-2.5+3‎ 例2‎ 本题实质是 ‎4．练习1：‎ ‎ 1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( D )‎ ‎ A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2‎ ‎ (λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)‎ ‎ 2.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系（Ｂ）‎ ‎ A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 ‎ 3.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．(填共线或不共线).‎ ‎5．向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。‎ ‎6．平面向量的坐标表示 ‎ （1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。‎ ‎ （2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？‎ 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使…… 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作………… 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特别地，，，.‎ 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.‎ 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.‎ ‎7．讲解范例：‎ 例2．教材P96面的例2。‎ ‎8．课堂练习：P100面第3题。‎ 三、小结：（1）平面向量基本定理； ‎ ‎ （2）平面向量的坐标的概念；‎ 四、课后作业：《优化设计》作业二十一 ‎2.3.3‎平面向量的坐标运算 教学目的：‎ ‎（1）理解平面向量的坐标的概念；‎ ‎（2）掌握平面向量的坐标运算；‎ ‎（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. ‎ 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2‎ ‎(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；‎ ‎(2)基底不惟一，关键是不共线；‎ ‎(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；‎ ‎(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 二、讲解新课：‎ ‎1．平面向量的坐标运算 思考1：已知：，，你能得出、、的坐标吗？‎ 设基底为、，则 即，同理可得 （1） 若，，则 ‎ ， ‎ 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.‎ ‎（2）若和实数，则.‎ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.‎ 设基底为、，则，即 ‎ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。‎ 思考2：已知，，怎样求的坐标？‎ ‎（3） 若，，则 ‎=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)‎ 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.‎ 思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P点吗？‎ 向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。‎ 三、讲解范例：‎ 例1 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.‎ 例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.‎ 解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)‎ 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(-6， 0)‎ 例3已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.‎ 解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)‎ 即： ∴ ∴(-5，1)‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标 ‎2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .‎ ‎3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.‎ 五、小结：平面向量的坐标运算； ‎ 六、课后作业：《优化设计》作业二十 ‎2.4.1‎平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的：‎ ‎1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；‎ ‎4.掌握向量垂直的条件.‎ 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎（1）两个非零向量夹角的概念：‎ 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.‎ 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；‎ ‎（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；‎ ‎（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；‎ ‎（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180° ‎（2）两向量共线的判定 ‎（3）练习 ‎ ‎1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）‎ A.6 B‎.5 C.7 D.8‎ ‎2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ） A.-3 B.‎-1 C.1 D.3‎ ‎（4）力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角.‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，‎ 则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.‎ 并规定0向量与任何向量的数量积为0.‎ ×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？‎ ‎2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？‎ ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c ‎ ‎ 如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|‎ Þ a×b = b×c 但a ¹ c ‎ (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)‎ ‎ 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.‎ ‎2．“投影”的概念：作图 ‎ ‎ 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；‎ 当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；‎ 当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.‎ ‎3．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.‎ 探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，‎ ‎1、a^b Û a×b = 0‎ ‎2、当a与b同向时，a×b = |a||b|； 当a与b反向时，a×b = -|a||b|. ‎ 特别的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq = ‎ 探究：平面向量数量积的运算律 ‎1．交换律：a × b = b × a 证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a ‎2．数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)‎ 证：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，‎ 若< 0，(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，‎ a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.‎ ‎3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c ‎ 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ‎ ‎ ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）‎ ‎（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ ‎（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，‎ ‎（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ 三、讲解范例：‎ 例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２‎ 例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。‎ 例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.‎ ‎ （ 利用 ） ‎ 例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．P106面1、2、3题。‎ ‎ 2．下列叙述不正确的是（ ）‎ A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律 C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数 ‎3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）‎ A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直 ‎ 4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.‎ 五、小结：‎ ‎1．平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2．平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3．向量垂直的条件.‎ 六、作业：《优化设计》作业二十三。‎ ‎2.4.2‎平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的：‎ ‎1.掌握平面向量数量积运算规律；‎ ‎2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；‎ ‎3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. ‎ 教学重点：平面向量数量积及运算规律.‎ 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．平面向量数量积（内积）的定义： ‎ ‎2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.‎ ‎1° e×a = a×e =|a|cosq； ‎2° ‎a^b Û a×b = 0‎ ‎3° 当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|. 特别的a×a = |a|2或 ‎4°cosq = ； 5°|a×b| ≤ |a||b|‎ ‎3．练习：‎ ‎（1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）‎ A.60° B.30° C.135° D.４５°‎ ‎（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）‎ A.2 B‎.2‎ C.6 D.12‎ 二、讲解新课：‎ 探究：已知两个非零向量，，怎样用和的坐标表示？.‎ ‎1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 ‎2. 平面内两点间的距离公式 ‎（1）设，则或.‎ ‎（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，‎ 那么(平面内两点间的距离公式)‎ 3． 向量垂直的判定 设，，则 ‎ 4． 两向量夹角的余弦（） ‎ cosq =‎ 二、讲解范例：‎ 例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.‎ 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)‎ 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.‎ 例3 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?‎ 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.‎ 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）‎ 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．‎ 记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝‎ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.‎ 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 ‎ 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .‎ 四、小结： 1、‎ ‎ 2、平面内两点间的距离公式 ‎ ‎3、向量垂直的判定：‎ 设，，则 ‎ 五、课后作业：《优化设计》作业二十四。‎ 思考：‎ ‎1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB = 90°，求点B和向量的坐标.‎ 解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x-5， y-2)‎ ‎∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0‎ 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29‎ 由 ‎∴B点坐标或；=或 ‎ ‎2 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.‎ 解：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ‎ 当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)‎ ‎∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = ‎ 当C = 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = ‎ ‎2.5.1‎平面几何中的向量方法 教学目的：‎ ‎1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；‎ ‎2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；‎ ‎3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. ‎ 教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.‎ 教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1. 两个向量的数量积：‎ ‎2. 平面两向量数量积的坐标表示: ‎ ‎3. 向量平行与垂直的判定:‎ ‎ ‎ ‎4. 平面内两点间的距离公式： ‎ ‎5. 求模：‎ ‎ ‎ 练习 ‎ 教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.‎ 二、讲解新课：‎ 例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.‎ 证明：设 ‎ ‎ ‎ ‎ 例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.‎ 例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，‎ 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？‎ 思考1：‎ 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？‎ ‎ ‎ 思考2：‎ 运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？‎ 运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？‎ ‎“三步曲”：‎ ‎(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系.‎ 例4．如图，□ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？‎ 课堂小结 用向量方法解决平面几何的“三步曲”：‎ ‎(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系.‎ 课后作业 1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《优化设计》作业二十五.‎ ‎2.5.2‎向量在物理中的应用举例 教学目的：‎ ‎1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；‎ ‎2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用. ‎ 教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.‎ 教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1. 讲解《优化设计》作业二十五的第4题.‎ ‎2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？‎ 二、讲解新课：‎ 例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？‎ 探究1：‎ ‎(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?‎ ‎(2)| |能等于||吗?为什么?‎ 探究2:‎ 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?‎ ‎(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；‎ ‎(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；‎ ‎(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；‎ ‎(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.‎ 例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10 km/h，水流速度||＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？‎ 思考:‎ ‎1. “行驶最短航程”是什么意思？‎ ‎2. 怎样才能使航程最短？‎ ‎ ‎ 三、课堂小结 向量解决物理问题的一般步骤:‎ ‎(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；‎ ‎(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；‎ ‎(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；‎ ‎(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.‎ 四、课后作业 ‎1. 阅读教材P.111到P.112; 2. 《优化设计》作业二十六.‎ ‎3.1.1‎‎ 两角差的余弦公式 一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.‎ 二、教学重、难点 ‎1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；‎ ‎2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.‎ 三、教学设想：‎ ‎（一）导入：问题1：‎ 我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？‎ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 ‎（二）探讨过程：‎ 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。‎ 思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）‎ 思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？‎ ‎（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？‎ ‎（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？‎ 两角差的余弦公式：‎ ‎ （三）例题讲解 例1、利用和、差角余弦公式求、的值.‎ 解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.‎ ‎ ‎ 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.‎ 例2、已知，是第三象限角，求的值.‎ 解：因为，由此得 又因为是第三象限角，所以 所以 点评：注意角、的象限，也就是符号问题.‎ ‎ 思考：本题中没有，呢？‎ ‎（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：‎ 解: ‎ ‎ 2．教材P127面1、2、3、4题 ‎（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.‎ ‎（1）牢记公式 ‎（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．‎ ‎（六）作业：《优化设计》作业二十九 ‎3.1.2‎‎ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）‎ 一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.‎ 二、教学重、难点 ‎1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；‎ ‎2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.‎ 三、教学设想：‎ ‎（一）复习式导入：‎ ‎（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：．‎ ‎ （2）？‎ ‎（二）新课讲授 问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？‎ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.‎ ‎ ．‎ 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）‎ ‎．‎ 探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？‎ 探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？‎ ‎（分式分子、分母同时除以，得到．‎ 注意：‎ ‎ 5、将、、称为和角公式，、、称为差角公式。‎ ‎（三）例题讲解 例1、已知是第四象限角，求的值.‎ 解：因为是第四象限角，得，‎ ‎ ，‎ 于是有： ‎ 思考：在本题中，，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？‎ ‎ 练习：教材P131面1、2、3、4题 例2、已知求的值．（）‎ 例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：‎ ‎（1）、；（2）、；（3）、．‎ 解：（1）、；‎ ‎（2）、；‎ ‎（3）、．‎ 练习：教材P131面5题 ‎（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.‎ ‎（五）作业：《优化设计》作业三十。‎ ‎3.1.2‎‎ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）‎ 一、教学目标 ‎1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；‎ ‎2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换。‎ 二、教学重、难点 ‎1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；‎ ‎2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.‎ 三、教学设想：‎ ‎（一）复习式导入：（1）基本公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）练习：教材P132面第6题。‎ 思考：怎样求类型？‎ ‎（二）新课讲授 例1、化简 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ ‎ 思考：是怎么得到的？‎ ‎，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.‎ 归纳：‎ 例2、已知：函数 （1） 求的最值。（2）求的周期、单调性。‎ 例3．已知A、B、C为△ABC的三內角，向量，，且，‎ （1） 求角A。（2）若，求tanC的值。‎ 练习：（1）教材P132面7题 ‎ （2）在△ABC中，，则△ABC为（ ）‎ ‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 ‎ （2） （ ）‎ ‎ A． 0 B．‎2 C． D．‎ 思考：已知，，，求 三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换 四、作业：《优化设计》作业三十一的1、2、3题。‎ ‎3.1.3‎‎ 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.‎ 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；‎ 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.‎ 三、教学设想：‎ ‎（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 练习：（1）在△ABC中，，则△ABC为（ ）‎ ‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 ‎ （2）（ ）‎ ‎ A． 0 B．‎2 C． D．‎ 思考：已知，，，求 我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），‎ ‎（二）公式推导：‎ ‎；‎ ‎；‎ 思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎．‎ 注意： ‎ ‎（三）例题讲解 例1、已知求的值．‎ 解：由得．‎ 又因为．‎ 于是；‎ ‎；．‎ 例2．在△ABC中，，‎ 例3．已知求的值．‎ 解：，由此得 解得或．‎ 例4．已知 ‎（四）练习：教材P135面1、2、3、4、5题 ‎（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.‎ ‎（六）作业：《优化设计》作业三十二。‎ ‎3.2简单的三角恒等变换（一）‎ 一．教学目标 ‎1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。‎ ‎2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。‎ ‎3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．‎ 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．‎ 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．‎ 三、教学设想： ‎ ‎（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 ‎（二）新课讲授：‎ ‎1、由二倍角公式引导学生思考：有什么样的关系？‎ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． ‎ 例1、试以表示．‎ 解：我们可以通过二倍角和来做此题．‎ 因为，可以得到；‎ 因为，可以得到．‎ 又因为．‎ 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？‎ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．‎ 例2．已知，且在第三象限，求的值。‎ 例3、求证：‎ ‎（１）、；‎ ‎（２）、．‎ 证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．‎ ‎；．‎ 两式相加得；‎ 即；‎ ‎（２）由（１）得①；设，‎ 那么．‎ 把的值代入①式中得．‎ 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？‎ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，‎ ‎（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．‎ 三．练习：P142面1、2、3题。‎ 四．小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．‎ 五．作业：《优化设计》三十三。‎ ‎3.2简单的三角恒等变换（二）‎ 一、教学目标 ‎1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；‎ ‎2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。‎ 二、教学重点与难点 重点：三角恒等变形的应用。‎ 难点：三角恒等变形。‎ 三、教学过程 ‎（一）复习：二倍角公式。‎ ‎（二）典型例题分析 例1： ；．‎ 解：（1）由得 ‎（2）‎ 例2．‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 例３．已知函数 （1） 求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合．‎ 点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．‎ 例4．若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。‎ ‎（三）练习：教材P142面第4题。‎ ‎（四）小结：(1) 二倍角公式：‎ ‎(2)二倍角变式：‎ ‎(3)三角变形技巧和代数变形技巧 常见的三角变形技巧有 ‎①切割化弦；‎ ‎②“1”的变用；‎ ‎③统一角度，统一函数，统一形式等等．‎ ‎（五）作业：《优化设计》作业三十四 ‎3.2简单的三角恒等变换（三）‎ 教学目标 （一） 知识与技能目标 熟练掌握三角公式及其变形公式．‎ （二） 过程与能力目标 抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．‎ （三） 情感与态度目标 培养学生观察、分析、解决问题的能力．‎ 教学重点 和、差、倍角公式的灵活应用．‎ 教学难点 如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．‎ 教学过程 例1：教材P141面例4‎ 例1. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝a，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.‎ θ 例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）‎ 解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，‎ 所以当且仅当 即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为 即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.‎ ‎（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为 ‎、，所以面积.‎ 而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.‎ P Q R S O 变式：已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．‎ 解：设则 故S四边形PQRS 故为时，‎ 课堂小结 ‎ 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.‎ 课后作业 ‎ ‎1. 阅读教材P.139到P.142; 2. 《优化设计》作业三十五.‎ 第一章三角函数复习(一)‎ 教学目的 ‎【过程与方法】‎ 一、知识结构：‎ 二、知识要点：‎ ‎1. 角的概念的推广：‎ ‎(1) 正角、负角、零角的概念：‎ ‎(2) 终边相同的角：‎ 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：‎ ‎① 象限角的集合：‎ 第一象限角集合为： ；‎ 第二象限角集合为： ；‎ 第三象限角集合为： ；‎ 第四象限角集合为： ；‎ ‎② 轴线角的集合：‎ 终边在x轴非负半轴角的集合为： ；‎ 终边在x轴非正半轴角的集合为： ；‎ 故终边在x轴上角的集合为： ；‎ 终边在y轴非负半轴角的集合为： ；‎ 终边在y轴非正半轴角的集合为： ；‎ 故终边在y轴上角的集合为： ；‎ 终边在坐标轴上的角的集合为： .‎ ‎2. 弧度制：‎ 我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制. 在弧度制下，1弧度记做1rad. ‎ ‎(1) 角度与弧度之间的转换：‎ ‎① 将角度化为弧度：‎ ‎ ‎ ‎② 将弧度化为角度：‎ ‎ ‎ ‎(2) 把上述象限角和轴线角用弧度表示.‎ ‎(3) 上述象限角和轴线角用弧度表示：‎ ‎3. 任意角的三角函数：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎ (2) 判断各三角函数在各象限的符号：‎ ‎(3) 三角函数线：‎ ‎4. 同角三角函数基本关系式：‎ ‎ (1) 平方关系： ‎ ‎ (2) 商数关系：‎ ‎5. 诱导公式 诱导公式(一)‎ 诱导公式(二)‎ 诱导公式(三)‎ 诱导公式(四)‎ sin(p－a)=sina ‎ cos(p －a)=－cosa ‎ tan (p－a)=－tana 诱导公式(五)‎ 对于五组诱导公式的理解 ：‎ 函数名不变，符号看象限 ‎3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：‎ 三、基础训练：‎ 四、典型例题：‎ ‎ ‎ 例3. ‎ 五、课堂小结 ‎1. 任意角的三角函数；2. 同角三角函数的关系；3. 诱导公式.‎ 六、课后作业 1. 阅读教材P.67-P.68；　　‎ 2. ‎ 《优化设计》作业十六中1至6题. ‎ 第二章 平面向量复习课（一）‎ 一、教学目标 ‎1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。‎ ‎2. 了解平面向量基本定理.‎ ‎3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。‎ ‎4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.‎ ‎5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：‎ ‎6. 向量的坐标概念和坐标表示法 ‎7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）‎ ‎8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”‎ 二、知识与方法 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直 三、教学过程 ‎（一）重点知识：‎ ‎ 1. 实数与向量的积的运算律：‎ ‎2. 平面向量数量积的运算律:‎ ‎ ‎ ‎3. 向量运算及平行与垂直的判定:‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎4. 两点间的距离: ‎ ‎5. 夹角公式:‎ ‎6. 求模：‎ ‎ ‎ ‎（二）习题讲解：《优化设计》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，‎ ‎ P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。‎ ‎（三）典型例题 例1． 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，‎ 且||=2，||=1，| |=3，用与表示 ‎ 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），‎ 设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3‎ ‎（四）基础练习：‎ ‎《优化设计》P178面6题、P180面3题。‎ ‎ ‎ ‎（五）、小结：掌握向量的相关知识。‎ ‎（六）作业：《优化设计》作业二十七。‎ 第二章 平面向量复习课（二）‎ 一、教学过程 ‎（一）习题讲解：《优化设计》P173面6题。‎ ‎（二）典型例题 例1．已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。‎ 练习：1. 已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=· （x，y∈R） 求点P（x，y）的轨迹方程；‎ ‎2. 已知常数a>0，向量，经过定点A（0，－a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；‎ 例2.设平面内的向量, , ，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及ÐAPB的余弦值．‎ 解 设．∵ 点P在直线OM上，‎ ‎∴ 与共线，而，∴ x－2y=0即x=2y，‎ 有．∵ ，，‎ ‎∴ ‎ ‎= 5y2－20y+12‎ ‎= 5(y－2)2－8． ‎ 从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值－8，‎ 此时，，．‎ 于是，，，‎ ‎∴ ‎ 小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。‎ 作业：〈优化设计〉作业二十八。‎ 第三章 三角恒等变换复习（一）‎ 教学目标：‎ ‎1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.‎ ‎2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.‎ 教学重点：运用公式求值、证明恒等式.‎ 教学难点：证明恒等式 教学过程 一、基础知识复习（略）‎ 二、作业讲评 ‎《优化设计》作业三十五中的第5、6题.‎ 三、已知三角函数值求三角函数值 四、证明恒等式 五、课堂小结 1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；‎ ‎2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.‎ 六、课后作业 教材P.146第8题第(3)、(4)问； P.146第1、2、3题； P.146第4题第(1)、(2)、(3)问； P.147第3题；‎ 第三章 三角恒等变换复习（二）‎ 教学目标：‎ ‎1. 综合运用知识解决相关问题.‎ ‎2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.‎ 教学重点：运用知识解决实际问题 教学难点：建立函数关系解决实际问题.‎ 教学过程 一、作业讲评 ‎《优化设计》作业P.196的第5、6题.‎ 二、例题分析 ‎4. 已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2 . B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求△ABC面积的最小值.‎ ‎5. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当△ABC的周长为2时，‎ 求∠PCQ的大小.‎ 三、课堂小结 本节主要讲运用公式解决有关问题：最值问题、存在性问题.‎ 四、课后作业 ‎《优化设计》作业三十六.‎ 第三章 三角恒等变换复习（三）‎ 教学目标：‎ ‎1. 综合运用知识解决相关问题.‎ ‎2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.‎ 教学重点：运用知识解决实际问题 教学难点：建立函数关系解决实际问题.‎ 教学过程 一、作业讲评 ‎《优化设计》P.192的第3题 ‎《优化设计》P.194的第6题 ‎《优化设计》P.196的第5题 二、例题分析 ‎1. 已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2 . B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，求△ABC面积的最小值.‎ ‎2. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当△ABC的周长为2时，求∠PCQ的大小.‎ 三、课后作业 ‎《学案》第三章单元检测卷.‎