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- 2021-06-30 发布
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2008年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 若集合A＝{x|-2≤x≤3}，B＝{x|x<-1或x>4}，则集合A∩B等于（ ）
A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
3. “双曲线的方程为x29-y216=1”是“双曲线的准线方程为x=±95”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC中，a=2，b=3，B=60∘，那么角A等于（ ）
A.135∘ B.90∘ C.45∘ D.30∘
5. 函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为（ ）
A.f-1(x)=1+x-1(x>1) B.f-1(x)=1-x-1(x>1)
C.f-1(x)=1+x-1(x≥1) D.f-1(x)=1-x-1(x≥1)
6. 若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z＝3x+2y的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.3 D.9
7. 已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（ ）
A.30 B.45 C.90 D.186
8. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 若角α的终边经过点P(1, -2)，则tan2α的值为________．
10. 不等式x-1x+2>1的解集是________．
11. 已知向量a→与b→的夹角为120∘，且|a→|=|b→|=4，那么a→⋅b→的值为________．
12. (x2+1x3)5的展开式中常数项为________；各项系数之和为________．（用数字作答）
13. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用数字作答）
14. 已知函数f(x)=x2-cosx，对于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下条件：
①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________．
三、解答题（共7小题，满分80分）
15. 已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π．
7 / 7
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围．
16. 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B-AP-C的大小．
17. 已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)-2是奇函数．
(1)求a，c的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
18. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
7 / 7
19. 已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l:y=x+2上，且AB // l．
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90∘，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
20. 数列{an}满足a1=1，an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,…)，λ是常数．
（1）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（3）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0．
7 / 7
参考答案与试题解析
2008年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.D
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.C
8.B
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9.43
10.{x|x<-2}
11.-8
12.10,32
13.2,-2
14.②
三、解答题（共7小题，满分80分）
15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx
=32sin2ωx-12cos2ωx+12
=sin(2ωx-π6)+12．
∵ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1．
(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．
∵ 0≤x≤2π3，
∴ -π6≤2x-π6≤7π6，
∴ -12≤sin(2x-π6)≤1．
∴ 0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范围为[0,32]．
16.解：法一：（1）取AB中点D，连接PD，CD．
∵ AP=BP，
∴ PD⊥AB．
∵ AC=BC，
∴ CD⊥AB．
∵ PD∩CD=D，
∴ AB⊥平面PCD．
∵ PC⊂平面PCD，
∴ PC⊥AB．
（2）∵ AC=BC，AP=BP，
∴ △APC≅△BPC．
又PC⊥AC，
∴ PC⊥BC．
又∠ACB=90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴ BC⊥平面PAC．
7 / 7
取AP中点E．连接BE，CE．
∵ AB=BP，
∴ BE⊥AP．
∵ EC是BE在平面PAC内的射影，
∴ CE⊥AP．
∴ ∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90∘，BC=2，BE=32AB=6，
∴ sin∠BEC=BCBE=63．
∴ 二面角B-AP-C的大小为arcsin63．
解法二：
（1）∵ AC=BC，AP=BP，
∴ △APC≅△BPC．
又PC⊥AC，
∴ PC⊥BC．
∵ AC∩BC=C，
∴ PC⊥平面ABC．
∵ AB⊂平面ABC，
∴ PC⊥AB．
（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)．
设P(0, 0, t)．
∵ |PB|=|AB|=22，
∴ t=2，P(0, 0, 2)．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵ |AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴ CE⊥AP，BE⊥AP．
∴ ∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵ E(0, 1, 1)，EC→=(0, -1, -1)，EB→=(2, -1, -1)，
∴ cos∠BEC=|EC→|⋅|EB→|˙=22⋅6=33．
∴ 二面角B-AP-C的大小为arccos33．
17.解：(1)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，都有g(-x)=-g(x)，
即f(-x)-2=-f(x)+2．
又f(x)=x3+ax2+3bx+c
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．
所以a=-ac-2=-c+2
解得a=0，c=2．
(2)由(1)得f(x)=x3+3bx+2．
所以f'(x)=3x2+3b(b≠0)．
当b<0时，由f'(x)=0得x=±-b．
x变化时，f'(x)的变化情况如下：
当x∈(-∞,--b)时，f'(x)>0，
当x∈(--b，-b)时，f'(x)<0，
7 / 7
当x∈(-b，+∞)时，f'(x)>0，
所以，当b<0时，函数f(x)在(-∞,--b)上单调递增，
在(--b，-b)上单调递减，在(-b，+∞)上单调递增．
当b>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增．
18.解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，
∵ 试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，
满足条件的事件数A33
∴ P(EA)=A33C52A44=140，
（2）由题意知本题是一个古典概型，
设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，
∵ 试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，
不满足条件的事件数A44
∴ P(E)=A44C52A44=110，
∴ 由对立事件的概率公式得到
甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E¯)=1-P(E)=910．
19.解：（1）因为AB // l，且AB边通过点(0, 0)，所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)．
由x2+3y2=4y=x得x=±1．
所以|AB|=2|x1-x2|=22．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=2，S△ABC=12|AB|⋅h=2．
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由x2+3y2=4y=x+m得4x2+6mx+3m2-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m2+64>0．
设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-44，
所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22．
又因为BC的长等于点(0, m)到直线l的距离，即|BC|=|2-m|2．
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64>0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．
20.解：（1）由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,)，且a1=1．
所以当a2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3．
（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=(n2+n-λ)an
得a2=2-λ，a3=(6-λ)(2-λ)，a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即(5-λ)(2-λ)=1-λ，
解得λ=3．于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24．
这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．
（3）记bn=n2+n-λ(n=1, 2,)，根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2
且λ≠n2+n(n∈N*)，这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn>0；
当n≤n0-1时，bn<0．所以由an+1=bnan及a1=1>0可知，若n0为偶数，
则an0<0，从而当n>n0时，an<0；若n0为奇数，则an0>0，
从而当n>n0时an>0．因此“存在m∈N*，当n>m时总有an<0”
7 / 7
的充分必要条件是：n0为偶数，
记n0=2k(k=1, 2,)，则λ满足b2k=(2k)2+2k-λ>0b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0．
故λ的取值范围是4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*)．
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