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- 2021-06-30 发布
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绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至1 0
页.满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第1卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.
3。本试卷共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B) =P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
(1)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5, 7,8},则A∩B等于
(A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}
解析:集合A与集合B中的公共元素为5,8
答案:D
(2)函数y=log2x的图象大致是
(A) (B) (C) (D)
解析:本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案:C
(3)抛物线的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:由y2=2px=8x知p=4
又交点到准线的距离就是p
答案:C
(4)一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
(A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6
解析:因为
故各层中依次抽取的人数分别是,,,
答案:D
(5)函数的图像关于直线对称的充要条件是
(A) (B) (C) (D)
解析:函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=-
于是-=1 Þ m=-2
答案:A
(6)设点是线段的中点,点在直线外,, ,则
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1
解析:由=16,得|BC|=4
=4
而
故2
答案:C
(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A) (B)
(C) (D)
解析:将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin(x-)
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.
答案:C
(8)某加工厂用某原料由车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
y
0
x
70
48
80
70
(15,55)
(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
解析:解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱
则
目标函数z=280x+300y
结合图象可得:当x=15,y=55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
答案:B
(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
(A)36 (B)32 (C)28 (D)24
解析:如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为2×=24种
如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,3×=12种
共计12+24=36种
答案:A
(10)椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是
(A)(0,] (B)(0,] (C)[,1) (D)[,1)
解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a-c,a+c]
于是∈[a-c,a+c]
即ac-c2≤b2≤ac+c2
∴
Þ
又e∈(0,1)
故e∈
答案:D
(11)设,则的最小值是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:
=
=
≥2+2=4
当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立
如取a=,b=满足条件.
答案:D
(12)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是
(A) (B)
(C) (D)
解析:由已知,AB=2R,BC=R,故tan∠BAC=
cos∠BAC=
连结OM,则△OAM为等腰三角形
AM=2AOcos∠BAC=,同理AN=,且MN∥CD
而AC=R,CD=R
故MN:CD=AN:AC
Þ MN=,
连结OM、ON,有OM=ON=R
于是cos∠MON=
所以M、N两点间的球面距离是
答案:A
二、填空题
(13)(x-)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
解析:展开式的通项公式为Tr+1=
取r=2得常数项为C42(-2)2=24
答案:24
(14)直线与圆相交于A、B两点,则 .
解析:方法一、圆心为(0,0),半径为2
圆心到直线的距离为d=
故
得|AB|=2
答案:2
(15)如图,二面角的大小是60°,线段.,
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
解析:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D
连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,
故∠ADC为二面角的平面角,为60°
C
D
又由已知,∠ABD=30°
连结CB,则∠ABC为与平面所成的角
设AD=2,则AC=,CD=1
AB==4
∴sin∠ABC=
答案:
(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集。下列命题:
①集合S={a+bi|(为整数,为虚数单位)}为封闭集;
②若S为封闭集,则一定有;
③封闭集一定是无限集;
④若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是 (写出所有真命题的序号)
解析:直接验证可知①正确.
当S为封闭集时,因为x-y∈S,取x=y,得0∈S,②正确
对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误
取S={0},T={0,1},满足,但由于0-1=-1ÏT,故T不是封闭集,④错误
答案:①②
三、 解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
(18)(本小题满分12分)
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知,求
(20)(本小题满分12分)
已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和
(21)(本小题满分12分)
已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
(22)(本小题满分14分)
设(且),g(x)是f(x)的反函数.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.
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