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  • 2021-06-30 发布

2010年高考试题—数学文(四川)

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绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数学(文史类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至1 0‎ 页.满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 注意事项: ‎ ‎1.答第1卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.‎ ‎2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. ‎ ‎3。本试卷共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式: ‎ 如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) ‎ 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 ‎ 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎(1)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5, 7,8},则A∩B等于 ‎(A){3,4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}‎ 解析:集合A与集合B中的公共元素为5,8‎ 答案:D ‎(2)函数y=log2x的图象大致是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解析:本题考查对数函数的图象和基本性质.‎ 答案:C ‎(3)抛物线的焦点到准线的距离是 ‎(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8‎ 解析:由y2=2px=8x知p=4‎ ‎ 又交点到准线的距离就是p 答案:C ‎(4)一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ‎(A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6‎ 解析:因为 ‎ 故各层中依次抽取的人数分别是,,,‎ 答案:D ‎(5)函数的图像关于直线对称的充要条件是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解析:函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=-‎ 于是-=‎1 Þ m=-2‎ 答案:A ‎(6)设点是线段的中点,点在直线外,, ,则 ‎(A)8 (B)4 (C)2 (D)1‎ 解析:由=16,得|BC|=4‎ ‎=4‎ 而 故2‎ 答案:C ‎(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析:将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin(x-)‎ ‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是.‎ 答案:C ‎(8)某加工厂用某原料由车间加工出产品,由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 ‎(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 ‎(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 ‎(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱 解析:解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱 则 目标函数z=280x+300y 结合图象可得:当x=15,y=55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ 答案:B ‎(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 ‎(A)36 (B)32 (C)28 (D)24‎ 解析:如果5在两端,则1、2有三个位置可选,排法为2×=24种 ‎ 如果5不在两端,则1、2只有两个位置可选,3×=12种 ‎ 共计12+24=36种 答案:A ‎(10)椭圆的右焦点为F,其右准线与轴的交点为.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ‎(A)(0,] (B)(0,] (C)[,1) (D)[,1)‎ 解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,‎ 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|=‎ ‎ |PF|∈[a-c,a+c]‎ 于是∈[a-c,a+c]‎ 即ac-c2≤b2≤ac+c2‎ ‎∴‎ Þ 又e∈(0,1)‎ 故e∈‎ 答案:D ‎(11)设,则的最小值是 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ 解析:‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≥2+2=4‎ 当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立 如取a=,b=满足条件.‎ 答案:D ‎(12)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点、,那么、两点间的球面距离是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析:由已知,AB=2R,BC=R,故tan∠BAC=‎ cos∠BAC=‎ 连结OM,则△OAM为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=,同理AN=,且MN∥CD 而AC=R,CD=R 故MN:CD=AN:AC Þ MN=,‎ 连结OM、ON,有OM=ON=R 于是cos∠MON=‎ 所以M、N两点间的球面距离是 答案:A 二、填空题 ‎(13)(x-)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)‎ 解析:展开式的通项公式为Tr+1=‎ ‎ 取r=2得常数项为C42(-2)2=24‎ 答案:24‎ ‎(14)直线与圆相交于A、B两点,则 .‎ 解析:方法一、圆心为(0,0),半径为2‎ 圆心到直线的距离为d=‎ 故 得|AB|=2 答案:2 ‎(15)如图,二面角的大小是60°,线段.,‎ 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ 解析:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D 连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,‎ 故∠ADC为二面角的平面角,为60°‎ C D 又由已知,∠ABD=30°‎ 连结CB,则∠ABC为与平面所成的角 设AD=2,则AC=,CD=1‎ AB==4‎ ‎∴sin∠ABC=‎ 答案:‎ ‎(16)设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集。下列命题:‎ ‎①集合S={a+bi|(为整数,为虚数单位)}为封闭集;‎ ‎②若S为封闭集,则一定有;‎ ‎③封闭集一定是无限集;‎ ‎④若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)‎ 解析:直接验证可知①正确.‎ 当S为封闭集时,因为x-y∈S,取x=y,得0∈S,②正确 对于集合S={0},显然满足素有条件,但S是有限集,③错误 取S={0},T={0,1},满足,但由于0-1=-1ÏT,故T不是封闭集,④错误 答案:①②‎ 三、 解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;‎ ‎(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎(Ⅱ)已知,求 ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前n项和 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N ‎(Ⅰ)求E的方程;‎ ‎(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ 设(且),g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.‎