高考数学专题1712月第二次周考第八章解析几何测试2测试卷理 16页

12 月第二周解析几何测试二 测试时间：120 分钟班级：姓名：分数： 试题特点：本套试卷重点考查直线方程与圆的方程的求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、 椭圆、双曲线及抛物线的简单的几何性质的应用、直线与圆锥曲线的位置关系等．在命题时，注重考查 基础知识如第 1-9，13-15 及 17-20 题等；整套试卷注重数形结合能力和运算能力的考查． 讲评建议：评讲试卷时应注重选择适当的方法求直线和圆的方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置 关系的判断方法的总结；关注运算能力的培养；加强直线、圆及圆锥曲线的位置关系综合题的求解能力 的培养．试卷中第 6，9，10，14，19，21 各题易错，评讲时应重视． 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求 的） 1．若直线l 过点    1,1 , 2, 1A B  ，则l 的斜率为（） A． 2 3  B． 3 2  C． 2 3 D． 3 2 【答案】A 【解析】直线l 的斜率  1 1 2 1 2 3k      ，故选 A． 2．椭圆 2 2 14 x y  的两个焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交， P 为一个交点，则 2PF  （） A． 3 2 B． 3 C． 7 2 D．4 【答案】C 3．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 1, 0)x yC a ba b     的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双曲线C 的渐近线上，且 OM a ，若直线 MF 的斜率为 b a ，则双曲线C 的渐近线方程为（） A． y x  B． 2y x  C． 3y x  D． 4y x  【答案】A 4．设椭圆的方程为 2 2 2 2 31( 0)2 x y b aa b     右焦点为  ,0 ( 0)F c c  ，方程 2 0ax bx c   的两实根 分别为 1 2,x x ，则 2 2 1 2x x 的取值范围是（） A． 30, 2      B． 31, 2      C． 31, 4      D． 71, 4      【答案】D 【解析】 23 3 10, , 0 12 2 2 b bb a ea a             ，因为方程 2 0ax bx c   的两根分别为 1 2, , 0x x   ， 1 2 1 2,b cx x x xa a       ，则   2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 22 b cx x x x x x a a         2 2 22 2 2 2 1 1 2a c e e e ea           ， 2 2 1 2 10 ,2e x x    的取值范围是 71, 4      ，故选 D． 5．已知抛物线 xy 42  的焦点为 F ，A 、B 为抛物线上两点，若 FBFA 3 ，O 为坐标原点，则 AOB 的面积为（） A． 3 3 B． 3 38 C． 3 34 D． 3 32 【答案】C 【解析】 试题分析：抛物线 xy 42  的焦点为  0,1 ，设直线 l 的方程为： 1 myx ，代入抛物线方程可得 0442  myy ．设  11 , yxA ，  22 , yxB ，则 myy 421  ， 421  yy ，由 BFFA  3 ，得 21 3yy  ， 则 3 12 m ．   3 3416162 142 1 2 1 2 21 2 2121   myyyyyyOFS AOB ．故选 C． 【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次 的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二 次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问 题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 6．设 p 是双曲线 2 2 2 19 x y a   上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3 2 0x y  ， 1F 、 2F 分别是双曲线 的左、右焦点，若 1 5PF  ，则 2PF  （） A．1 或 5 B．1 或 9 C．1 D．9 【答案】B 【名师点睛】解答本题的过程中，容易忽视双曲线定义中的绝对值的符号，从而失去一个解而致错． 7．过点(－2，0)的直线 l 与圆 x2＋y2＝5 相交于 M、N 两点，且线段 MN=2 ，则直线 l 的斜率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，圆 的圆心 ，半径 ， 圆心 到直线 ： 的距离 ，∵过点 的直线 与圆 相交 于 、 两点，且线段 ，∴由勾股定理得 ，即 ，解得 ，故选 C． 8．已知点  1 1,P x y 是椭圆 2 2 125 16 x y  上的一点， 1F ， 2F 是焦点，若 1 2F PF 取最大时，则 1 2PF F 的 面积是（） A．16 3 3 B．12 C．  16 2 3 D．  16 2 3 【答案】B 【解析】∵椭圆方程为 2 2 125 16 x y  5, 4 25 16 3a b c     ， ，因此，椭圆的焦点坐标为 1 23 0 3 0F F（ ，）、 （ ，）． 根据椭圆的性质可知当点 P 与短轴端点重合时， 1 2F PF 取最大值，则此时 1 2PF F 的面积 12 3 4 122S      故选 B 9．双曲线 2 2 1 : 14 5 x yE   的左右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆 2 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     与双曲线 1E 有公 共的焦点，且 1 2,E E 在第一象限和第四象限的交点分别为 ,M N ，弦 MN 过 2F ，则椭圆 2E 的标准方程为 （） A． 2 2 181 45 4 4 x y  B． 2 2 113 4 x y  C． 2 2 116 7 x y  D． 2 2 15 4 x y  【答案】A 10．经过点  2,1M 作直线l 交双曲线 2 2 12 yx   于 ,A B 两点，且 M 为 AB 的中点，则直线l 的方程为 A． 4 7 0x y   B． 4 7 0x y   C． 4 7 0x y   D． 4 7 0x y   【答案】C 【 解 析 】 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 可 得 2 2 1 1 12 yx   ， 2 2 2 2 12 yx   ， 两 式 相 减 可 得 ：      1 2 1 2 1 2 1 2 02 y y y yx x x x      ， M 为 AB 的中点，即有 1 2 4x x  ， 1 2 2y y  ，可得直 线 AB 的斜率为  1 21 2 1 2 1 2 2 2 4 42 x xy yk x x y y       ， 即 有 直 线 AB 的 方 程 为  1 4 2y x   ， 即 为 4 7 0x y   ， 由 4 7y x  代 入 双 曲 线 的 方 程 2 2 12 yx   ，可得 214 56 51 0x x   ，即有 256 4 14 51 280 0      ，故存在直线 AB ，其方程 为 4 7 0x y   ，故选 C． 【名师点睛】本题考查双曲线的中点弦所在直线方程的求法，注意运用点差法，注意检验直线的方程的 存在性，考查运算能力，属于中档题； 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，代入双曲线的方程，运用点差法，结 合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线 AB 的方程，代入双曲线的方程，由判别式 的符号，即可得到判断直线的存在性． 11．方程    2 22 24 4 10x y x y      化简的结果是（ ）． A． 2 2 125 16 x y  B． 2 2 125 9 x y  C ． 2 2 125 16 y x  D． 2 2 19 25 y x  【答案】B 12．已知双曲线Γ： 的焦距为 2c，直线 :l y kx kc  ．若 3k  ，则 l 与Γ 的左、右两支各有一个交点；若 15k  ，则 l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范 围为 A． 1,2 B． 1,4 C．  2,4 D． 4,16 【答案】C 【解析】由题意可知：直线 l:y=k(x−c)过焦点 F(c，0)．双曲线的渐近线方程 by xa  ，可得双曲线的渐 近线斜率 3 15b a   ，∵ 2 21c be a a    ，由 2 2 2 23 15,4 1 16b b a a      ，∴20)，根据题意得 解得 a＝b＝1，r＝2．故所求圆 M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． (2) 由题知，四边形 PA′MB′的面积为 S＝S△PA′M＋S△PB′M＝ |A′M||PA′|＋ |B′M||PB′|． 又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以 S＝2|PA′|． 而|PA′|＝ ．即 S＝2 ． 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得|PM|的值最 小， 所以|PM|min＝ ，所以四边形 PA′MB′面积的最小值为 S＝2 ＝2 ＝ 2 ． 22．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的焦点为 1 2F F、 ，过 右焦点 2F 的直线l 与椭圆 C 相交于 P Q， 两点，若 1PQF 的周长为短轴长的 2 3 倍． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）设l 的斜率为1，在椭圆 C 上是否存在一点 M ，使得 2OM OP OQ    ？若存在，求出点 M 的坐 标． 【答案】（1） 6 3e  （2）不存在点 M ，使 2OM OP OQ    成立． 2 2 2 0 0 33 2x y c  ，并化简得   2 1 2 1 24 3 3 0x x c x x c    ．利用直线方程 y x c  与椭圆方程联立方程 组，结合韦达定理得 1 2 3 2x x c  ， 2 1 2 3 8x x c ．代入解得矛盾，故不存在． 试题解析：解：（Ⅰ）∵椭圆 C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的焦点为 1F ， 2F ，过右焦点 2F 的直线l 与椭圆 C 相交于 P Q， 两点， 1PQF 的周长为短轴长的 2 3 倍， 1PQF 的周长为 4a ． ∴依题意知 4 4 3a b ，即 3a b ．∴椭圆 C 的离心率 2 61 3 be a       ． （Ⅱ）设椭圆方程为 2 2 233 2x y c  ，直线的方程为 y x c  ，代入椭圆方程得 2 234 6 02x cx c   ． 设  1 1P x y， ，  2 2Q x y， ，则 1 2 3 2x x c  ， 2 1 2 3 8x x c ． 设  0 0M x y， ，则 2 2 2 0 0 33 2x y c  ．① 由 2OM OP OQ    得 0 1 2 0 1 2 2{ 2 x x x y y y     ， ，代入①得    2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 34 3 3 4 3 2x y x y x x y y c      ． 因为 2 2 2 1 1 33 2x y c  ， 2 2 2 2 2 33 2x y c  ，所以  2 1 2 1 2 3 3 02 c x x y y   ．② 而   1 2 1 2 1 2 1 23 3x x y y x x x c x c       2 1 2 1 24 3 3 0x x c x x c     ． 从而②式不成立．故不存在点 M ，使 2OM OP OQ    成立．