高考数学专题复习练习：9-7 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【解析】 不妨设C：y2＝2px(p＞0)，A(x1，2)，则x1＝＝，由题意可知|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ ‎【解析】 设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，‎ 所以|MF|＝2p，‎ 由抛物线定义知x＋＝2p，‎ 所以x＝p，所以y＝±p，‎ 又△MFO的面积为4，‎ 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．‎ 所以抛物线的方程为y2＝8x.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·广东广州3月模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)‎ A．n＋10 B．n＋20‎ C．2n＋10 D．2n＋20‎ ‎【解析】 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋‎ x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2017·江西南昌一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝(　　)‎ A. B. C．3 D．2‎ ‎【解析】 设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5．(2017·湖北七市4月联考)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与双曲线x2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．y2＝3x C．y2＝4x D．y2＝x ‎【解析】 由双曲线方程x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±，不妨取kAB＝，则其倾斜角为60°，即∠AFx＝60°.过A作AN⊥x轴，垂足为N.由|AF|＝2，得|FN|＝1.过A作AM⊥准线l，垂足为M，则|AM|＝p＋1.由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|.∴p＋1＝2，∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎6．(2016·天津)设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点 A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ ‎【解析】 由已知得抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则|FC|＝3p，∴|AF|＝|AB|＝p，A(p，p)(不妨设A在第一象限)．易证△EFC∽△EAB，所以＝＝＝2，所以＝，所以S△ACE＝S△AFC＝×p×p＝p2＝3，所以p＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．‎ ‎【解析】 由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.‎ ‎【答案】 9‎ ‎8．(2017·西安模拟)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，将其代入y2＝4x得，k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，所以xQ＝－＝－1，yQ＝k(xQ＋1)＝，又|FQ|＝2，F(1，0)，所以＋＝4，解得k＝±1.‎ ‎【答案】 ±1‎ ‎9．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．‎ ‎【解析】 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，‎ 则直线OB的方程为y＝－x，‎ 由得x＝0或x＝.‎ ‎∴A点坐标为，‎ 同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，‎ 由|OA|＝1，|OB|＝8，‎ 可得 ‎②÷①得k6＝64，即k2＝4.‎ 则p2＝＝.‎ 又p>0，则p＝，‎ 故所求抛物线方程为y2＝x.‎ ‎ 10．(2015·福建)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ ‎【解析】 方法一 (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.‎ 因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，‎ 所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎ (2)证明 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由 得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，‎ 所以kGA＝＝，kGB＝＝－.‎ 所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．‎ 方法二 (1)同方法一．‎ ‎(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由 得2x2－5x＋2＝0.‎ 解得x＝2或x＝，从而B.‎ 又G(－1，0)，‎ 故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.‎ 从而r＝＝.‎ 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.‎ 所以点F到直线GB的距离 d＝＝＝r.‎ 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2015·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)‎ A．(1，3) B．(1，4)‎ C．(2，3) D．(2，4)‎ ‎【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，‎ 当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，‎ 由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k＝5－x0，2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴－2＜y0＜2，∵点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，‎ 又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎【解析】 设P(x，y)，∵|PM|＝2|MF|，∴＝2，‎ 又F，∴ ‎∴kOM＝＝，由题易知kOM最大时y＞0，‎ ‎∴kOM＝＝≤＝，‎ 当且仅当x＝p时取等号．‎ ‎【答案】 C ‎13．(2016·湖南岳阳二模)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y、圆x2＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．‎ ‎【解析】 如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0，1)，由得4y2－17y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝1，解得y1＝，y2＝4，则＝＝＝16.‎ ‎【答案】 16‎ ‎14．(2016·安庆模拟)如图，A，B是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x＝t(t＞0)上．‎ ‎(1)求|FA|＋|FB|的值；‎ ‎(2)求|AB|的最大值．‎ ‎【解析】 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ M(t，m)，‎ 则x1＋x2＝2t，y1＋y2＝2m.‎ 由抛物线的定义知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1.‎ 所以|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝2t＋2.‎ ‎(2)由得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，‎ 所以＝.‎ 故可设直线AB的方程为(y－m)＝x－t，即x＝y－＋t.‎ 联立消去x，得y2－2my＋2m2－4t＝0.‎ 则Δ＝16t－4m2＞0，即0≤m2＜4t，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4t.‎ 所以|AB|＝|y1－y2|＝ ‎＝，其中0≤m2＜4t.‎ 当t≥1时，因为0≤2t－2＜4t，所以当m2＝2t－2时，|AB|取最大值，即|AB|max＝2t＋2.‎ 当0＜t＜1时，因为2t－2＜0，所以当m2＝0时，|AB|取最大值，即|AB|max＝4.综上，|AB|max＝ ‎15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，‎ 由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为M(x0，y0)．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①证明 由消去x，得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，化简得p＋2b＞0.‎ 方程(*)的两根为y1，2＝－p±，从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b，上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜.‎ 因此，p的取值范围是.‎