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- 2021-06-30 发布
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2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知得到,再与A求交集即可.
【详解】由已知,,故.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.
2.已知,则复数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算,即可求得复数.
【详解】因为,
故可得.
故选:D.
【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.
3.为等差数列的前项和,若,则( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
- 22 -
【答案】B
【解析】
【分析】
根据,即可容易求得.
【详解】因为数列是等差数列,
故可得,又,
故可得.
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列前项和的性质,属基础题.
4.设是实数,“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解分式不等式,根据充分性和必要性即可容易求得.
【详解】因为,即可求得,
故是的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查命题之间的关系,涉及分式不等式的求解.
5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为( )
A. B. C. D.
- 22 -
【答案】C
【解析】
【分析】
将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.
【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,
故,所以,.
故选:C.
【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.
6.哈尔滨市为创建文明城,试运行生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类,分别记为,,;并且设置了相应的垃圾箱:“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”,分别记为,,.为调查居民生活垃圾分类投放情况,随机抽取某小区三类垃圾箱中共计生活垃圾,数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( )
200
10
40
15
120
20
15
50
30
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算投放正确的概率,再求出投放错误的概率即可.
【详解】根据题意,投放正确的概率为,
故投放错误的概率为.
- 22 -
故选:D.
【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解,属基础题.
7.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义,求得,再利用同角三角函数关系,求得齐次式的值即可.
【详解】因为,故可得,
则切线的斜率;
又因为.
故选:B.
【点睛】本题考查导数的几何意义,以及已知正切值求齐次式的值,属综合基础题.
8.已知函数,若函数的零点恰有4个,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数的图像,数形结合即可容易求得.
【详解】因为,故可得的图像如下:
- 22 -
若函数的零点恰有4个,
即与有4个交点,
故.
故选:B
【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围,涉及对数函数的图像,属综合中档题.
9.设等比数列满足,则的最大值为( )
A. B. 4 C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列下标和性质,即可容易求得,再根据均值不等式即可容易求得.
【详解】因为数列是等比数列,又,
故可得,
即,
又,
又,
当且仅当时,取得最大值..
故选:C.
【点睛】本题考查等比数列的下标和性质,以及利用均值不等式求最值,属综合中档题.
- 22 -
10.如图所示,在边长为4的正方形纸片中,与相交于.剪去,将剩余部分沿,折叠,使、重合,则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,还原出几何体,结合几何体的特点,即可容易求得.
【详解】根据题意,为方便说明问题,将几何体从正方体中截取出来如下所示:
容易知三棱锥和棱长为的正方体有相同的外接球.
则外接球的半径,
故其外接球体积.
故选:A.
【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解,本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.
11.已知双曲线:(,)的离心率为,抛物线:(
- 22 -
)的准线经过的左焦点.若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2,则的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,双曲线的右焦点和抛物线焦点相同,结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.
【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同,
又因为抛物线的焦点到的渐近线的距离为2,
故可得(根据点到直线的距离公式,即可容易求得)
又因为,
解得,则.
则抛物线的方程为.
故选:D.
【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解,涉及抛物线的渐近线,属综合基础题.
12.已知函数,则使成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是偶函数,且当时是单调增函数,利用函数的性质即可求得不等式.
- 22 -
【详解】因为,且其定义域为,故是偶函数;
又当时,是单调增函数,则时,是单调减函数.
故等价于,
整理得,解得.
故选:A.
【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式,属综合中档题;本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.设向量,若与共线,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标公式,即可容易求得参数.
【详解】因为且与共线
故可得,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量平行的坐标公式,属基础题.
14.一个样本的容量为70,分成五组,已知第一组、第三组的频数分别是8,12,第二组、第五组的频率都为,则该样本第四组的频率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据频率的计算公式,结合题目已知信息,即可容易求得.
【详解】因为样本容量为,根据题意可得:
- 22 -
第一组和第三组的频率为.
根据频率之和为,即可求得:
第四组的频率为.
故答案:.
【点睛】本题考查频率的计算公式,属基础题.
15.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
注意平移是针对自变量x,所以,再利用整体换元法求值域(最值)即可.
【详解】由已知,,
,又,故,
,所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题,涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用,是一道基础题.
16.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.
- 22 -
【答案】
【解析】
【分析】
利用公式计算出,其中为的周长,为内切圆半径,再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.
【详解】由已知,,,,设内切圆的圆心为,半径为,则
,故有,
解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为
.
故答案为:.
【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题,涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力,是一道中档题.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.
- 22 -
组别
分组
频数
频率
1
2
3
4
(Ⅰ)从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人,求恰有1人的分数为96的概率;
(Ⅱ)根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)频率分布表和频率分布直方图见解析,82.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)列举出从四个人中抽取两人的所有情况,找出满足题意的情况,用古典概型的概率计算公式即可求得;
(Ⅱ)根据茎叶图中数据,先补全频率分布表和频率分布直方图,再估算平均值即可.
【详解】(Ⅰ)设分数分别为95、96、96、98的四人为、、、
从成绩为优秀的员工中任取2人,
包含6个基本事件
- 22 -
设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件.
包含4个基本事件
∴
(Ⅱ)
组别
分组
频数
频率
1
2
0.01
2
6
0.03
3
8
0.04
4
4
0.02
,
估计所有员工的平均分为82.
【点睛】本题考查古典概型的概率计算,以及频率分布表和频率分布直方图的绘制,涉及平均数的求解,属综合基础题.
18.在中,为边上一点,,.
(1)求;
- 22 -
(2)若,,求.
【答案】(1);(2)4
【解析】
【分析】
(1),利用两角差的正弦公式计算即可;
(2)设,在中,用正弦定理将用x表示,在中用一次余弦定理即可解决.
【详解】(1)∵,
∴,
所以,
.
(2)∵,
∴设,,
在中,由正弦定理得,,
∴,
∴,
∵,
∴
∴.
- 22 -
【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.
19.点()是抛物线:上一点,为的焦点.
(Ⅰ)若直线与抛物线的准线交于点,求的面积;
(Ⅱ)过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于,两点,证明:直线的斜率是定值.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意,求得点的坐标,即可容易求得面积;
(Ⅱ)设出点的坐标,根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程,以及直线的斜率之和为零,即可容易证明.
【详解】(Ⅰ)将代入得
则:,准线:,
∴
∴
(Ⅱ)设,
由题可知,,
∴
∴
∴
∴
- 22 -
∴
即证.
【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解,抛物线中定值问题的简单证明,属中档题.
20.如图,在直角中,.通过以直线轴顺时针旋转得到().点为线段上一点,且.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若是线段的中点,求四棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)通过证明,即可证明线面垂直;
(Ⅱ)根据即可容易求得.
【详解】(Ⅰ)在中,由余弦定理得,,
- 22 -
∴∴
由题意可知:∴,,
∴平面,
平面,∴
,
∴平面,
(Ⅱ)
.
故四棱锥的体积为.
【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直,以及棱锥体积的求解,属中档题.
21.已知函数().
(Ⅰ)若函数,讨论的单调性;
(Ⅱ)若函数的导数的两个零点从小到大依次为,,证明:.
【答案】(Ⅰ)函数单调性见解析;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意,求得,对参数进行分类讨论即可容易求得;
(Ⅱ)根据是的两根,求得之间的关系式,构造函数,根据其单调性即可证明.
- 22 -
【详解】(Ⅰ)∵∴().
当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减;
当时,或,
∴在,上单调递增,在上单调递减;
当时,或,
∴在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在上恒成立,
所以在上单调递增;
综上所述:
当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增.
(Ⅱ)∵().
且的两个零点从小到大依次为,
∴,是方程的两个根,
∴
又,且所以
欲证,即证
- 22 -
只需证
令(),
∴在上单调递增,上单调递减,
∴,
即成立.
【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性,以及利用导数证明不等式,涉及构造函数法,属综合困难题.
(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.
选修4-4坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.
(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;
(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.
【答案】(1)();(2)
【解析】
【分析】
- 22 -
(1)由已知,曲线的参数方程消去t后,要注意x的范围,再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;
(2)设,,由(1)可得,,相加即可得到证明.
【详解】(1),
∵,∴,∴,
由题可知:,
:().
(2)因为,
设,,
则,
,
.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.
选修4-5不等式选讲
23.已知关于的不等式有解.
- 22 -
(1)求实数的最大值;
(2)若,,均为正实数,且满足.证明:.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意,只需找到的最大值即可;
(2),构造并利用基本不等式可得,即.
【详解】(1),
∴的最大值为4.
关于的不等式有解等价于,
(ⅰ)当时,上述不等式转化为,解得,
(ⅱ)当时,上述不等式转化为,解得,
综上所述,实数的取值范围为,则实数的最大值为3,即.
(2)证明:根据(1)求解知,所以,
又∵,,,,
,当且仅当时,等号成立,
即,∴,
所以,.
【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题,是一道中档题.
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