2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图课件 41页

第八章 立体几何 第 1 讲 空间几何体的三视图和直观图 课标要求 考情风向标 1. 利用实物模型、计算机软件观察大量空间 图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构 . 2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、 圆锥、 棱柱等的简易组合 ) 的三视图，能识别 上述的三视图所表示的立体 模型，会使用材 料 ( 如纸板 ) 制作模型，会用斜二侧法画出它 们的直观图 . 3. 通过观察用两种方法 ( 平行投影与中心投 影 ) 画出的视图与直观图， 了解空间图形的不 同表示形式 . 4. 完成实习作业，如画出某些建筑的视图与 直观图 ( 在不影响图形特征的基础上，尺寸、 线条等不作严格要求 ) 从近几年的高考试题来看，对本节 内容的考查形式比较稳定，多是将 三视图与位置关系融为一体 .“ 三 视图”是新课标增加的内容，是近 年高考的热点，重点考查画实物三 视图 ( 辨析为主 ) 或根据三视图还 原实物，并多与面积、体积的计算 交汇命题 . 备考中，要重点掌握以 三视图为命题背景，研究空间几何 体 的结构特征的题型 . 要熟悉一些 典型的几何体模型，如三棱柱、长 ( 正 ) 方体、三棱锥等几何体的三视 图 多面体 1. 空间几何体的结构特征 (1) 棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多 边形； (2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点 的三角形； (3) 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下 底面是相似多边形 ( 续表 ) (1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到； (2) 圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得 到； 旋转体 (3) 圆台可以 由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形 绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行 于底面的平面截圆锥得到； (4) 球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到 三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等 直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画 . 基本步骤是： ①原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中 x ′ 轴、 y ′ 轴的夹角为 45°( 或 135°) ， z ′ 轴与 x ′ 轴垂直 . ② 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于 坐标轴 . 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原 长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来 的一半 2. 三视图与直观图 1.(2017 年陕西延安黄陵中学 ) 图 8-1-1 所示几何体各自的三 ) D 视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( 图 8-1-1 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 解析： 正方体的三视图都相同，三棱台的三视图各不相同， 圆锥、正四棱锥的正视图和侧视图相同，故选 D. 2. 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 ( ) A B A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱 3. 如图 8-1-2 ，网格纸的 各小格都是正方形，粗实线画出的 ) 是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( 图 8-1-2 A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 4. 如图 8-1-3 ，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶 点 ( 长方体是虚拟图形，起辅助作用 ) ，则四面体 ABCD 的三视 图是 ( 用图 8-1-4 所示 ①②③④⑤⑥ 代表图形 )( 图 8-1-4 ) 图 8-1-3 A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ 解析： 正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下 到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是 ① ；侧视图 应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左 下到右上是虚线，因此侧视图是 ② ：俯视图应该是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下实线，左下到右上是虚线 . 因此 俯视图是 ③ ，故选 B. 答案： B 考点 1 空间几何体的结构特征 例 1 ： (1) 如图 8-1-5 ，模块 ① ～ ⑤ 均由 4 个棱长为 1 的小正 方体构成，模块 ⑥ 由 15 个棱长为 1 的小正方体构成 . 现从模块 ① ～ ⑤ 中选出三个放到模块 ⑥ 上，使得模块 ⑥ 成为一个棱长 为 3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为 ( ) 图 8-1-5 A. 模块 ①②⑤ C. 模块 ②④⑤ B. 模块 ①③⑤ D. 模块 ③④⑤ 解析： 本小题主要考查空间想象能力 . 如果补 ① ，那么后续 两块无法补 齐， ∴ 先补齐中间一层，即用 ⑤ 补中间一层，然后 补齐其他两块 . 答案： A (2) 在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几 何体的 4 个顶点，这些几何形体是 __________( 写出所有正确结 论的编号 ). ① 矩形； ② 不是矩形的平行四边形； ③ 有三个面为等腰直 角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④ 每个面都是等 边三角形的四面体； ⑤ 每个面都是直角三角形的四面体 . 解析： 如图 D67 ，四边形 AA 1 C 1 C 为矩形；三棱锥 B 1 - A 1 BC 1 就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四 面体；三棱锥 D - A 1 BC 1 就是每个面都是等边三角形的四面体； 三棱锥 A 1 - ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体 . 图 D67 答案： ①③④⑤ (3) 如图 8-1-6(1) ，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别 是 AA 1 ， C 1 D 1 的中点， G 是正方形 BCC 1 B 1 的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 8-1-6(2) 中的 ____________. (1) (2) 图 8-1-6 解析： 在平面 ABCD 上的投影是题图 8-1-6(2)① ；在平面 ADD 1 A 1 上的投影是图 (2)② ；在平面 DCC 1 D 1 上的投影是图 (2) ③. 答案： ①②③ 考点 2 几何体的三视图 例 2 ： (1) (2018 年新课标 Ⅲ ) 中国古建筑借助榫卯将木构件 连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木 构件右边的小长方体是榫头 . 若如图 8-1-7 摆放的木构件与某一 带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯 视图可以是 ( ) 图 8-1-7 A B C D 解析： 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体，则卯眼在木构件的左中下部，看不见，应该选 A. 答案： A (2)(2017 年新课标 Ⅰ ) 某多面体的三视图如图 8-1-8 ，其中正 视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边 长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中有若干 ) 个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( 图 8-1-8 A.10 B.12 C.14 D.16 解析： 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱 构成，如图 D68 ，则该几何体只有两个相同的梯形的面，则这 些梯形的面积之和为 2× ( 2 ＋ 4 ) ×2 2 ＝ 12. 故选 B. 图 D68 答案： B (3) 如图 8-1-9 ，某几何体的 三视图是三个半径相等的圆及每 28π 3 ，则它的 个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 表面积是 ( ) 图 8-1-9 A.17π B.18π C.20π D.28π 图 D69 答案： A (4)(2017 年新课标 Ⅱ ) 如图 8-1-1 0 ，网格纸上小正方形的边 长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平 ) 面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为 ( 图 8-1-10 A.90π B.63π C.42π D.36π 解析： 构造相同的几何体互补成一个底面半径为 3 ，高为 14 的圆柱，其体积为 π×3 2 ×14 ＝ 126π ， ∴ 该几何体的体积为 63π. 故选 B. 答案： B (5)(2019 年北京 ) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱 所得，其三视图如图 8-1-11. 如果网格纸上小正方形的边长为 1 ， 那么该几何体的体积为 __________. 图 8-1-11 解析： 如图 D70 ，在棱长为 4 的正方体中，三视图对应的 几何体为正方体去掉棱柱 MPD 1 A 1 - NQC 1 B 1 之后余下的几何体， 图 D70 答案： 40 (6)(2019 年浙江 ) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家 . 他 提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理 可以得到柱体体积公式 V 柱体 ＝ Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图 8-1-12 ，则该柱体的体积 是 ( ) 图 8-1-12 A.158 B.162 C.182 D.32 解析： 由三视图得该棱柱的高为 6 ，底面可以看作是由两 个直角梯形组合而成的， 其中一个上底为 4 ，下底为 6 ，高为 3 ，另一个的上底为 2 ， 下底为 6 ，高为 3 ， 答案： B 【 规律方法 】 (1) 画三视图应遵 循 “长对正、高平齐、宽相 等 ” 的 原则，即 “ 正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、 侧视图一样宽 ” ，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线 . (2) 由三视图还原几何体的方法： 考点 3 几何体的直观图 图 8-1-13 答案： 8 cm 2 (2) 已知正 △ ABC 的边长为 a ，那么 △ ABC 的平面直观图 A ′ B ′ C ′ 的面积为 ( ) 解析： 图 8-1-14(1)(2) 所示的是 △ ABC 的实际图形和直观图 . 图 8-1-14 答案： D 【 规律方法 】 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放 置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点 的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法 的规则 . 本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶 点在 y ′ 轴上，长度为原高的一半，但它还不是高 ( 夹角为 45°) ， 易错、易混、易漏 ⊙ 将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题： (1) 在如图 8-1-15 所示的空间直角坐标系 O - xyz 中， 一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2) ， (2,2,0) ， (1,2,1) ， (2,2,2). 给出编号为 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ 的四个图 ( 图 8-1-16) ，则该四面体的 正视图和俯视图分别为 ( ) 图 8-1-15 图 8-1-16 A.① 和 ② B.③ 和 ① C.④ 和 ③ D.④ 和 ② 解析： 在图 8-1-17 所示空间直角坐标系中，构建棱长为 2 的正方体，设 A (0,0,2) ， B (2,2,0) ， C (1,2,1) ， D (2,2,2) ，则 ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为 ④ 和 ② ， 故选 D. 图 8-1-17 答案： D 【 名师点评 】 对于简单几何体的组合体，在画其三视图时 首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图 . 另外 要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见 的轮廓线一定要画出，但要 画成虚线，即一定要分清可见轮廓 线与不可见轮廓线，避免出现错误 . (2) 刍甍，中国古代算术中的一种几何形体， 《 九章算术 》 中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广 . 刍，草也 . 甍，屋 盖也 .” 翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一 条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图 8-1-18 为一刍甍的三 视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建 ) 它 ( 无底面，不考虑厚度 ) 需要的茅草面积至少为 ( 图 8-1-18 答案： B 【 失误与防范 】 应注意侧面等腰三角形的高、等腰梯形的 高、该几何体的高，这三者不一样，侧面等腰三角形的高可以 在正视图中利用勾股定理求解，侧面等腰梯形的高可以在侧视 图中求解，转化的基本思路就是把空间问题转化为平面问题进 行求解 . 1. 要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题 的关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基 础 . 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要清 楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的， 从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质 . 2. 同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同 . 3. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出， 被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见 为虚” . 在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线 . 4. 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不 变，长度减半 .”