【数学】2020届一轮复习北师大版几个重要不等式作业 5页

一、选择题 ‎1. 用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值0应当是（ ）‎ A. 5 B.8 C.10 D.12‎ ‎2. 设为正数，求的最小值为（ ）‎ A. 11 B. 49 C.121 D.2401‎ ‎3. 用数学归纳法证明“2＋(＋1)3＋(＋2)3(∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证＝＋1时的情况，只需展开 ( )‎ ‎ A．(＋3)3 B．(＋2)3 C．(＋1)3 D．(＋1)3＋(＋2)3 ‎ ‎4．（2015 湖北模拟）已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（　　）‎ A．6 B． C．8 D．‎ ‎5. 设都是正数，是的任一排列，则的最小值是(　　)‎ A．1 B． C．2 D．无法确定 二、填空题 ‎6. 设，则之最小值为__________；此时__________.‎ ‎7. 已知为实数，且满足，则的最大值为__________.‎ ‎8. 设, b, c均为正数，且，则的最小值为__________，此时__________。‎ ‎9．（2015 郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是　 ．‎ ‎10. 设为的一个排列，则和的大小关系是__________.‎ 三、解答题 ‎11. 设++=19，求函数的最小值。‎ ‎12. 设，求证：‎ ‎。‎ ‎13. 设为正数，求证：‎ ‎14.已知数列满足，，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：对任意的,有成立．‎ ‎15．（2014 南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求++的最大值．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】＝1时，21>13，不满足该不等式；‎ ‎＝2,3，„，9时2<3，不满足该不等式；‎ ‎＝10时，210＝1 024>103，满足该不等式；‎ ‎∴0＝10.答案：10.‎ ‎2. 【答案】C ‎【解析】由柯西不等式可得，‎ ‎，‎ 当且仅当向量与向量共线，即时取等号.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】假设当＝时，原式能被9整除，即2＋(＋1)3＋(＋2)3能被9整除． ‎ 当＝＋1时，(＋1)2＋(＋2)3＋(＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(＋3)3展开，让其出现3即可．‎ ‎4.【答案】B ‎【解答】解：由x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得（x+2y+3z）2≤（x2+4y2+z2）（12+12+32）=66，‎ 故有x+2y+3z≤，当且仅当== 时，取等号．‎ 再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立，可得a≥，故选B．‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】不妨设， ①‎ 由于都是正数，则 ， ②‎ 由有序实数组①②及排序不等式可得：‎ 逆序和：，‎ 是其中一个乱序和，‎ 有乱序和≤顺序和，可知，，‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎6.【答案】-18；‎ ‎【解析】由柯西不等式的向量形式： 可知， ‎ ‎∴，‎ ‎　　 即之最小值为-18，此时 ‎7.【答案】‎ ‎【解析】由柯西不等式可知，，‎ 即，‎ 由于，‎ 由不等号的传递性可知，，即.‎ 当且仅当和时取等号，此时.‎ 的最大值是.‎ ‎8.【答案】18；‎ ‎【解析】考虑以下两组向量：‎ ‎ = ， =，利用柯西不等式的向量形式，可知：‎ ‎， 即 ‎　　　∴，即最小值为18，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎　　　此时　又 ∴.‎ ‎9.【答案】k＞　‎ ‎【解答】解：由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），‎ ‎∴+3＜•‎ ‎∵+3＜k恒成立，‎ ‎∴k＞．‎ ‎10.【答案】 ‎ ‎【解析】设是的一个排列， 　　且，为的一个排列， 　　且， ‎ ‎　　于是， 　　由排序不等式：乱序和≥反序和，得 　　 ① 　　由于， 　　c1≤2， 　　于是 ② 　　综合①②，得证。‎ ‎11.【解析】根据柯西不等式 　　　　当且仅当即时等号成立，此时 ‎12.【证明】‎ ‎， 　　， 　　又， 　　于是由柯西不等式得： 　　‎ ‎13.【证明】不妨设，于是 　　由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 　　 ‎ ‎　　即 ‎14.【解析】‎ ‎15.【解析】因为a、b、c＞0，‎ 所以（++）2=（•1+•1+•1）2‎ ‎≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12， ‎ 于是++≤2，‎ 当且仅当==，即a=b=c=时，取“=”．‎ 所以，++的最大值为2‎ ‎　‎