江苏张家港市后塍高中 2012-2013 第二学期期末综合一 6页

江苏张家港市后塍高中 2012-2013 第二学期期末综合一 1、设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 ． 2、若双曲线 12 2 2 2  b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率 ______ 3、 的二项展开式中， 的系数是___________（用数字作答）． 4、圆的极坐标方程为 ，则该圆的半径为 ． 5、函数 的最大值是 ． 6、 P 为椭圆 2 2 14 3 x y  上的一点，M、N 分别是圆 2 2( 1) 4x y   和 2 2( 1) 1x y   上 的点，则|PM | + |PN |的最大值为 . 7、已知曲线 的极坐标方程分别为 和 ，则曲线 交点的极坐标为 ． 8、过点  0,4 作直线l 与圆 0204222  yxyx 交于 A、B 两点，若 AB=8，则直线 l 的方程为__ __ 9、从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取 一个数记为 ，则直线 不经过第三象限的概率为 ． 10、某校学生在上学路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟．则该校某个学生在上学路上因 遇到红灯停留的总时间 的均值等于 分钟． 11、已知函数 ，下列四个条件：① ② ③ ④ ，其中是 的充分条件的是 （填正确答案的序 号）． 12、关于 的方程 至少有一个负实根的充要条件是 ． 13、小东购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价 10 元，中奖的概率为 ，如果每注奖 的奖金为 300 元，那么小东购买一注彩票的期望收益是 元． 14、在证明恒等式 时，可利用组合数表 示 ， 即 推 得 . 类 似 地 ， 在 推 导 恒 等 式 时，也可以利用 组合数表示 推得。则 ______________. 15、已知二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且在矩阵 作用下将 点 变换成点 。（1）求矩阵 ； （2）求矩阵 的另一个特征值，及对应的一个特征向量 的坐标之间的关系； （3）求直线 在矩阵 作用下的直线 的方程。 16、已知命题 ： ≥0； ： ≤0（ ）。 （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 17、已知 。 （1）若 ， ，求    2012 0 )1( i i i a 的值； （2）当 时， （i）若 ，求 中奇数的个数； （ii）若其奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，求证： ； （ii）若 ， 为展开式中四个连续的项的系数， 求证： 。 18、在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，先从这个盒子中有放回地先后抽 取两张卡片，设这两张卡片的号码分别为 Oyx ,, 为坐标原点， ),,2( yxxP  记 2|| OP ． （1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取最大值”的概率；（5 分） （2）求 的分布列及数学期望． 19、已知函数 ， 。 （Ⅰ）若 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围； （Ⅲ）令 ，是否存在实数 ，当 （ 是自然对数的底）时，函数 的最小值是 3，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 20、已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线 xy  的距离等于 2 。 （1）求圆 C 的方程。 （2）若直线 1:  n y m xl  2,2  nm 与圆 C 相切，求证 246 mn 。 参考答案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将正确答案填在答题纸上．） 1、 2、 5 3、10 4、 5、 6、7 7、 8、 020125  yx _或_ 4x __ 9、 10、 11、①②③ 12、 13、 14、 或 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分） 15、解：（1） ；（2）矩阵 的另一个特征值 ，设 ，则 ； （3） 。 16、解：（1） ； （2） ≥6。 17、略。 18、解：（1）当 时，或 )1,3()3,1(),( yx 取最大值， 5 ，令“ 取最大值”为事件 A ， 则 9 2 3 1 3 1 3 1 3 1)( AP （2）易知 的所有可能取值为 0，1，2，5，当 0 时， ),2,2(),( yx 所以 9 1)0( P ．当 1 时， )3,2()1,2()3,3()1,1(),( 或或或yx ，所以 9 4)1( P ．当 2 时， )2,3()2,1(),( 或yx ，所以 9 2)2( P 所以 的分布列为  0 1 2 5 P 9 1 9 4 9 2 9 2 所以 29 259 229 419 10 E 19、解：（Ⅰ）当 0a  时 2( ) lnf x x x  ， 所以 ' '1( ) 2 (1) 1f x x fx     ，又 (1) 1f  所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 0x y  ； （Ⅱ）因为函数在[1,2]上是减函 数，所以： 01212)( 2 '  x axx xaxxf 在 2,1 上恒成立， 令 12)( 2  axxxh ，有      0)2( 0)1( h h 得 , 2 7 1      a a 得 2 7a ； （Ⅲ）假设存在实数 a ，使 xaxxg ln)(  （ ],0( ex  ）有最小值 3， xaxg 1)('  x ax 1 ①当 0a 时， '( ) 0g x  ，所以： )(xg 在 ],0( e 上单调递减， 31)()( min  aeegxg ， ea 4 （舍去）， ②当 ea 1 时， '( ) 0g x  在 ],0( e 上恒成立 所以 )(xg 在 ],0( e 上单调递减， 31)()( min  aeegxg ， ea 4 （舍去） ③当 ea  10 时，令 ' 1( ) 0 0g x x a     ， 所以 )(xg 在 )1,0( a 上单 调递减，在 ],1( ea 上单调递增  3ln1)1()( min  aagxg ， 2ea  ，满足条件． 综上，存在实数 2ea  ，使得当 ],0( ex  时 )(xg 有最小值 3． 20、解：解：（1）设圆C 的圆心C  ba, ，半径为 r ，由已知得：            2 2 ba ar ba (3 分)      1 1 r ba 或      1 1 r ba (5 分) 圆C 的方程为     111 22  yx 或     111 22  yx (7 分) （2）直线l 的方程为 0 mnmynx 因为直线l 与圆C ：     111 22  yx 相切 (9 分) 所以 122    mn mnmn (11 分) 展开，整理得 222  nmmn (13 分) 所以 2 2 mnnm 因为 mnnmnm 2,0,0  所以 mnmn 22 2  所以   0242  mnmn 所以 22 mn ，或 22 mn 又 2,2  nm 所以 22 mn 所以 246 mn (16 分)