新课标高二数学同步测试(3) 8页

新课标高二数学同步测试（3）—（2－1 第二章 2.4－2.5） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的 括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．x= 231 y 表示的曲线是 （ ） A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分 2．设双曲线 2 2 2 2 b y a x  =1（0＜a＜b＝的半焦距为 c，直线 l 过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线 l 的 距离为 4 3 c，则双曲线的离心率为 （ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 33 2 3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±5 2 )的椭圆被直线 3x－y－2=0 截得的弦的中点的横坐标为 2 1 ，则椭圆 方程为 （ ） A． 25 2 2x + 75 2 2y =1 B． 75 2 2x + 25 2 2y =1 C． 25 2x + 75 2y =1 D． 75 2x + 25 2x =1 4．过双曲线 12 2 2  yx 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线 l 有 （ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 5．过椭圆 2 2 a x + 2 2 b y =1（0 a b 22 )的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2－a2y2=a2b2 的右支上, 则 AB 中点 M 的横坐标的最小 值为 14．如果过两点 )0,(aA 和 ),0( aB 的直线与抛物线 322  xxy 没有交点，那么实数 a 的取值范围是 _____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 76 分）． 15．（ 12 分）已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M（x0, y0）， F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、 |BF|成等差数列，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N． （1）求点 N 的坐标（用 x0 表示）； （2）过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点，若|MN|=4 2 ，求△MPQ 的面积． 16．（ 12 分）已知双曲线 12 2 2 2  b y a x 的离心率 3 32e ，过 ),0(),0,( bBaA  的直线到原点的距离是 .2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 )0(5  kkxy 交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值. 17．（ 12 分）已知抛物线 xy 2 的弦 AB 与直线 y=1 有公共点，且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离为 1，求 弦 AB 长度的最大值，并求此直线 AB 所在的直线的方程． 18．（ 12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点  1,2M ，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对 称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程； （2）已知动直线 l 过点  3,0P ，交抛物线于 ,AB两点，是否存在垂直于 轴的直线l 被以 AP 为直径 的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由． 19．（ 14 分）设 F1、F2 分别为椭圆 C： 2 2 2 2 8 b y a x  =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点. （1）若椭圆 C 上的点 A（1， 2 3 ）到 F1、F2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标； （2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲 线 12 2 2 2  b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明． 20．（ 14 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， OBOA 与 (3, 1)a 共线． （1）求椭圆的离心率； （2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ( , )OM OA OB R      ，证明 22   为定值． 参考答案 一、1．D；解析：x= 231 y 化为 x2＋3y2＝1（x＞0）． 2．A；解析：由已知，直线 l 的方程为 ay+bx－ab=0，原点到直线 l 的距离为 4 3 c，则有 c ba ab 4 3 22   ， 又 c2=a2+b2，∴ 4ab= 3 c2，两边平方，得 16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以 a4，并整理，得 3e4－16e2+16=0， ∴e2=4 或 e2= 3 4 .而 0＜a＜b，得 e2= 2 2 2 22 1 a b a ba  ＞2，∴e2=4.故 e=2．评述：本题考查点到直线的距 离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出 e 后还须根据 b＞a 进行检验. 3．C；4．C；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D 二、 11． 25 16 ；解析：原方程可化为 4 2x ＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝ 3 ．当等腰直角三角形， 设交点（x，y）（ y＞0）可得 2－x＝y，代入曲线方程得：y＝ 5 4 ∴S＝ 2 1 ×2y2＝ ． 12．x2－4y2＝1；解析：设 P（x0，y0）∴M（x，y），∴ 2,2 00 yyxx  ∴2x＝x0，2y＝y0 ∴ 4 4 2x －4y2＝1x2－4y2＝1． 13． 222 )2( ba ala   ； 14． 13, 4   ； 三、 15．（1）设 A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0． 得线段 AB 垂直平分线方程： ),(2 0 21 2121 xxyy xxyyy   令 y=0，得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0)． （2）由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2． 由抛物线的对称性，可设 M 在第一象限，所以 M(2, 4), N(6,0)． 直线 PQ: y=x－6, 由 ),4,2(),12,18( .8 ,6 2       QP xy xy 得 得△MPQ 的面积是 64． 16．解：∵（1） ,3 32a c 原点到直线 AB： 1 b y a x 的距离 .3,1 .2 3 22     ab c ab ba abd ． 故所求双曲线方程为 .13 2 2  yx （2）把 335 22  yxkxy 代入 中消去 y，整理得 07830)31( 22  kxxk . 设 CDyxDyxC ),,(),,( 2211 的中点是 ),( 00 yxE ，则 .11 ,31 5531 15 2 0 0 2002 21 0 kx yk kkxyk kxxx BE   ,000  kkyx 即 7,0,0 31 5 31 15 2 22     kkk k k k k 又 故所求 k=± 7 . 说明：为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 17．解：设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，中点 ),1( 0yN 当 AB 直线的倾斜角 90°时，AB 直线方程是 .2||,1  ABx （2 分） 当 AB 直线的倾斜角不为 90°时， 2 22 2 11 , yxyx  相减得 ))(( 212121 yyyyxx  所以 kyky AB 2 112 00  即 （4 分） 设 AB 直线方程为： )1(2 1)1(0  xkkyxkyy 即 ，由于弦 AB 与直线 y=1 有公共点，故当 y=1 时， 2 102 1 112 11 2     k k k k k 即 012 1)1(2 1 2 2 2       kk yy yx xkky 故 所以 12 11 22121  kyykyy ， 故 )14)(11(]4))[(11(||11|| 2221 2 212212 kkyyyykyykAB  014,011],4 1,0(1,2 1 222  kkkk 2 5)2 1411 ()14)(11(|| 222 22    kk kk AB 故当 2 5||,3 61411 max22  ABkkk 时即 18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为  2 20y px p，将  1,2M 代入方程得 2p  ， 2 4yx 抛物线方程为: ； 由题意知椭圆、双曲线的焦点为    211,0 , 1,0 ,FF c=1； 对于椭圆，    222 122 1 1 2 1 1 4 2 2 2a MF MF          ；  22 2 2 2 22 12 1 2 3 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 a a b a c xy                  椭圆方程为： 对于双曲线， 122 2 2 2a MF MF     2 2 2 2 22 21 3 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 a a b c a xy                  双曲线方程为： （2）设 AP 的中点为C ，l 的方程为： xa ，以 为直径的圆交 于 ,DE两点， DE 中点为 H 令   11 11 3, , ,22 xyA x y   C     2 2 11 1 1 11322 3 1 2322 DC AP x y xCH a x a                 222 2 2 2 1 1 1 2 1 2 113 2 344 - 2 3 2 4 6 2 2 2 2 2 DH DC CH x y x a a x a a a DH DE DH lx                       当 时, 为定值; 为定值 此时 的方程为： 19．解：（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. 又点 A（1， 2 3 ）在椭圆上，因此 2 2 2 )2 3( 2 1 b =1 得 b2=3，于是 c2=1. 所以椭圆 C 的方程为 34 22 yx  =1，焦点 F1（－1，0）， F2（1，0）. （2）设椭圆 C 上的动点为 K（x1，y1），线段 F1K 的中点 Q（x，y）满足： 2,2 1 11 yyxx  ， 即 x1=2x+1，y1=2y. 因此 3 )2( 4 )12( 22 yx  =1.即 13 4)2 1( 2 2  yx 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若 M、N 是双曲线： 2 2 2 2 b y a x  =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一 点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 设点 M 的坐标为（m，n），则点 N 的坐标为（－m，－n），其中 2 2 2 2 b n a m  =1. 又设点 P 的坐标为（x，y），由 mx nykmx nyk PNPM    , ， 得 kPM·kPN= 22 22 mx ny mx ny mx ny     ，将 2 2 222 2 2 2 , a bnbxa by  m2－b2 代入得 kPM·kPN= 2 2 a b . 评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决 问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考 数学命题的方向，应引起注意 20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题 及推理的能力. （1）解：设椭圆方程为 ),0,(),0(12 2 2 2 cFbab y a x  则直线 AB 的方程为 1, 2 2 2 2  b y a xcxy 代入 化简得 02)( 22222222  bacacxaxba . 令 ),,(),,( 2211 yxByxA 则 .,2 22 2222 2122 2 21 ba bacaxxba caxx   ),,( 2121 yyxxOBOA 由 aOBOAa 与 ),1,3( 共线，得 .0)()(3 2121  xxyy .3 6 ,3 6.3,2 32 .2 3,0)()2(3,, 2222 22 2 2121212211     a ce abacbac ba ca cxxxxcxxcxycxy 故离心率 所以即 又 （2）证明：由（I）知 22 3ba  ，所以椭圆 12 2 2 2  b y a x 可化为 222 33 byx  . ),,(),(),(),,( 2211 yxyxyxyxOM   由已知得设      . , 21 21 yyy xxx   ),( yxM 在椭圆上， .3)(3)( 22 21 2 21 byyxx   即 .3)3(2)3()3( 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 byyxxyxyx   ① 由（1）知 .2 1,2 3,2 3 2222 21 cbcacxx  ))((33 .8 3 21212121 2 22 2222 21 cxcxxxyyxx cba bacaxx    .0 32 9 2 3 3)(34 222 2 2121    ccc ccxxxx 又 22 2 2 2 22 1 2 1 33,33 byxbyx  又，代入①得 .122  故 22   为定值，定值为 1.