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  • 2021-06-30 发布

2012年江西省高考数学试卷(理科)

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‎2012年江西省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)若集合A={﹣1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎2.(5分)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为(  )‎ A.y= B.y= C.y=xex D.y=‎ ‎3.(5分)若函数f(x)=,则f(f(10))=(  )‎ A.lg101 B.2 C.1 D.0‎ ‎4.(5分)若tanθ+=4,则sin2θ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)下列命题中,假命题为(  )‎ A.存在四边相等的四边形不是正方形 B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1‎ D.对于任意n∈N*,++…+都是偶数 ‎6.(5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )‎ A.28 B.76 C.123 D.199‎ ‎7.(5分)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(  )‎ A.2 B.4 C.5 D.10‎ ‎8.(5分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为(  )‎ A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50‎ ‎9.(5分)样本(x1,x2…,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1﹣α),其中0<α<,则n,m的大小关系为(  )‎ A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 ‎10.(5分)如图,已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图象大致为(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎11.(5分)计算定积分(x2+sinx)dx=  .‎ ‎12.(5分)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=  .‎ ‎13.(5分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为  .‎ ‎14.(5分)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是  .‎ ‎ ‎ 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.‎ ‎15.(5分)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C的极坐标方程为  .‎ ‎(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为  .‎ ‎ ‎ 四.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k,求an;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin(+C)﹣csin(+B)=a,‎ ‎(1)求证:B﹣C=‎ ‎(2)若a=,求△ABC的面积.‎ ‎18.(12分)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).‎ ‎(1)求V=0的概率;‎ ‎(2)求V的分布列及数学期望EV.‎ ‎19.(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.‎ ‎(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;‎ ‎(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.‎ ‎20.(13分)已知三点O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=•(+)+2.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)动点Q(x0,y0)(﹣2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为直线l:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.‎ ‎21.(14分)若函数h(x)满足 ‎①h(0)=1,h(1)=0;‎ ‎②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;‎ ‎③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(λ>﹣1,p>0)‎ ‎(1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;‎ ‎(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记p=(n∈N+)时h(x)的中介元为xn,且Sn=,若对任意的n∈N+,都有Sn<,求λ的取值范围;‎ ‎(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图象总在直线y=1﹣x的上方,求P的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2012年江西省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2012•江西)若集合A={﹣1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【分析】根据题意,计算元素的和,根据集合中元素的互异性,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由题意,∵集合A={﹣1,1},B={0,2},﹣1+0=﹣1,1+0=1,﹣1+2=1,1+2=3‎ ‎∴{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={﹣1,1,3}‎ ‎∴集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•江西)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为(  )‎ A.y= B.y= C.y=xex D.y=‎ ‎【分析】由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0},于是对A,B,C,D逐一判断即可得答案.‎ ‎【解答】解:∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0},‎ ‎∴对于A,其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z),故A不满足;‎ 对于B,其定义域为{x|x>0},故B不满足;‎ 对于C,其定义域为{x|x∈R},故C不满足;‎ 对于D,其定义域为{x|x≠0},故D满足;‎ 综上所述,与函数y=定义域相同的函数为:y=.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•江西)若函数f(x)=,则f(f(10))=(  )‎ A.lg101 B.2 C.1 D.0‎ ‎【分析】通过分段函数,直接求出f(10),然后求出f(f(10)的值.‎ ‎【解答】解:因为函数f(x)=,‎ 所以f(10)=lg10=1;‎ f(f(10)=f(1)=2.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•江西)若tanθ+=4,则sin2θ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系代换,利用齐次式的方法化简,可求出所求.‎ ‎【解答】解:sin2θ=2sinθcosθ=====‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•江西)下列命题中,假命题为(  )‎ A.存在四边相等的四边形不是正方形 B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1‎ D.对于任意n∈N*,++…+都是偶数 ‎【分析】通过特例判断A的正误;‎ 通过复数的共轭复数判断B的正误;‎ 通过不等式的基本性质判断C 的正误;‎ 通过二项式定理系数的形状判断D 的正误.‎ ‎【解答】解:例如菱形,满足四边相等的四边形不是正方形,所以A正确;‎ z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数,不正确;‎ 例如z1=2+i,z2=6﹣i,z1+z2为实数,但是z1,z2不是共轭复数,所以B不正确.‎ 若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1,显然正确;‎ 对于任意n∈N*,++…+=2n≥2,都是偶数正确;‎ 不正确是命题是B.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )‎ A.28 B.76 C.123 D.199‎ ‎【分析】观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据数列的递推规律求解.‎ ‎【解答】解:观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.‎ 继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a10+b10=123,.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•江西)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(  )‎ A.2 B.4 C.5 D.10‎ ‎【分析】以D为原点,AB所在直线为x轴,建立坐标系,由题意得以AB为直径的圆必定经过C点,因此设AB=2r,∠CDB=α,得到A、B、C和P各点的坐标,运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值,即可求出的值.‎ ‎【解答】解:以D为原点,AB所在直线为x轴,建立如图坐标系,‎ ‎∵AB是Rt△ABC的斜边,‎ ‎∴以AB为直径的圆必定经过C点 设AB=2r,∠CDB=α,则 A(﹣r,0),B(r,0),C(rcosα,rsinα)‎ ‎∵点P为线段CD的中点,‎ ‎∴P(rcosα,rsinα)‎ ‎∴|PA|2=+=+r2cosα,‎ ‎|PB|2=+=﹣r2cosα,‎ 可得|PA|2+|PB|2=r2‎ 又∵点P为线段CD的中点,CD=r ‎∴|PC|2==r2‎ 所以:==10‎ 故选D ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为(  )‎ A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50‎ ‎【分析】设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,然后根据题意建立关于x与y的约束条件,得到目标函数,利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可.‎ ‎【解答】解:设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元.‎ 由题意可知 一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y 作出约束条件如下图阴影部分,‎ 平移直线x+0.9y=0,当过点A(30,20)时,一年的种植总利润为z取最大值.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•江西)样本(x1,x2…,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1﹣α),其中0<α<,则n,m的大小关系为(  )‎ A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 ‎【分析】通过特殊值判断α的范围,是否满足题意即可得到选项.‎ ‎【解答】解:法一:不妨令n=4,m=6,设样本(x1,x2…,xn)的平均数为=6,‎ 样本(y1,y2,…,ym)的平均数为=4,‎ 所以样本(x1,x2…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1﹣α)=6α+(1﹣α)4=,‎ 解得α=0.4,满足题意.‎ 解法二:依题意nx+my=(m+n)[ax+(1﹣a)y],‎ ‎∴n(x﹣y)=a(m+n)(x﹣y),x≠y,‎ ‎∴a=∈(0,),m,n∈N+,‎ ‎∴2n<m+n,‎ ‎∴n<m.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•江西)如图,已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V(x),不是SE的线性函数,可采用排除法,排除C,D,进一步可排除B,于是得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知截面下面部分的体积为V(x),不是SE=x的线性函数,可采用排除法,排除C,D;‎ 又当截面为BDE,即x=时,V(x)=,当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时,V(x)越来越小,故排除B;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎11.(5分)(2012•江西)计算定积分(x2+sinx)dx=  .‎ ‎【分析】求出被积函数的原函数,再计算定积分的值.‎ ‎【解答】解:由题意,定积分==‎ ‎=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2012•江西)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= 35 .‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式,可设数列{an}的公差为d1,数列{bn}的公差为d2,根据a1+b1=7,a3+b3=21,可得2(d1+d2)=21﹣7=14.最后可得a5+b5=a3+b3+2(d1+d2)=2+14=35.‎ ‎【解答】解:∵数列{an},{bn}都是等差数列,‎ ‎∴设数列{an}的公差为d1,设数列{bn}的公差为d2,‎ ‎∴a3+b3=a1+b1+2(d1+d2)=21,‎ 而a1+b1=7,可得2(d1+d2)=21﹣7=14.‎ ‎∴a5+b5=a3+b3+2(d1+d2)=21+14=35‎ 故答案为:35‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2012•江西)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为  .‎ ‎【分析】直接利用椭圆的定义,结合|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,即可求出椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:因为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.‎ 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,‎ 所以(a﹣c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,‎ 所以e=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2012•江西)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 3 .‎ ‎【分析】直接计算循环后的结果,当k=6时不满足判断框的条件,推出循环输出结果即可.‎ ‎【解答】解:第1次,满足循环,a=1,T=1,K=2,第2次满足2<6;sin,不成立,‎ 执行a=0,T=1,k=3,第3次有,不满足条件循环,‎ a=0,T=1,k=4,满足,a=1,T=2,k=5,满足k<6,‎ 此时成立,a=1,T=3,k=6,不满足6<6,退出循环,输出结果T=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.‎ ‎15.(5分)(2012•江西)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ .‎ ‎(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为 {} .‎ ‎【分析】(1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2‎ ‎,进行代换即得 ‎(2)利用绝对值的几何意义求解.‎ ‎【解答】解:(1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换,得出ρ2﹣2ρcosθ=0.即ρ=2cosθ 故答案为:ρ=2cosθ ‎(2)不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣|+|x+|≤3,如图所示 数轴上点,到点的距离之和为3,所以解集为{}‎ 故答案为:{}‎ ‎ ‎ 四.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2012•江西)已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k,求an;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)由二次函数的性质可知,当n=k时,取得最大值,代入可求k,然后利用an=sn﹣sn﹣1可求通项 ‎(2)由=,可利用错位相减求和即可 ‎【解答】解:(1)当n=k时,取得最大值 即=k2=8‎ ‎∴k=4,Sn=﹣n2+4n 从而an=sn﹣sn﹣1=﹣[﹣(n﹣1)2+4(n﹣1)]=‎ 又∵适合上式 ‎∴‎ ‎(2)∵=‎ ‎∴‎ ‎=‎ 两式相减可得,‎ ‎==‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2012•江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin(+C)﹣csin(+B)=a,‎ ‎(1)求证:B﹣C=‎ ‎(2)若a=,求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(1)通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式,推出B﹣C的正弦函数值,然后说明B﹣C=.‎ ‎(2)利用a=,通过正弦定理求出b,c,然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)证明:由bsin(+C)﹣csin()=a,由正弦定理可得sinBsin(+C)﹣sinCsin()=sinA.‎ sinB()﹣sinC()=.‎ 整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1,‎ 即sin(B﹣C)=1,‎ 由于0<B,C,从而B﹣C=.‎ ‎(2)解:B+C=π﹣A=,因此B=,C=,‎ 由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,‎ 所以三角形的面积S==cossin=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2012•江西)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).‎ ‎(1)求V=0的概率;‎ ‎(2)求V的分布列及数学期望EV.‎ ‎【分析】(1)基本事件空间即6个点中随机取3个点,共有20种取法,研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面,再选3个点,共有12种选法,故由古典概型概率计算公式即可得所求;‎ ‎(2)先确定随机变量V的所有可能取值,再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率,最后列出分布列,利用期望计算公式计算V的期望 ‎【解答】解:(1)从6个点中随机选取3个点共有=20种取法,选取的三个点与原点在一个平面内的取法有=12种,‎ ‎∴V=0的概率P(V=0)==‎ ‎(2)V的所有可能取值为0,,,,‎ P(V=0)=‎ P(V=)==‎ P(V=)==‎ P(V=)==‎ P(V=)==‎ ‎∴V的分布列为 ‎ V ‎ ‎ 0‎ ‎ P 由V的分布列可得 EV=0×++++=‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2012•江西)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.‎ ‎(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;‎ ‎(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.‎ ‎【分析】(1)连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,则E为所求.可以证出OE⊥BB1,BC⊥OE而得以证明.在RT△A1‎ OA中,利用直角三角形射影定理得出AE.‎ ‎(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出平面A1B1C的法向量是=(x,y,z),利用,夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,所以OE⊥BB1,‎ 因为A1O⊥平面ABC,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,‎ 所以OE⊥平面BB1C1C,‎ 又AO==1,AA1=,‎ 得OE===,‎ 则AE==‎ ‎(2)解:如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,﹣2,0),A1(0,0,2)‎ 由,得点E得坐标是(),‎ 设平面A1B1C的法向量是=(x,y,z),由得 令y=1,得x=2,z=﹣1,所以=(2,1,﹣1),‎ 所以cos<,>==‎ 即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2012•江西)已知三点O(0,0),A(﹣2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=•(+)+2.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)动点Q(x0,y0)(﹣2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为直线l:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)用坐标表示 ,,从而可得 +,可求|+|,利用向量的数量积,结合M(x,y)满足|+|=•(+)+2,可得曲线C的方程;‎ ‎(2)假设存在点P(0,t)(t<0),满足条件,则直线PA的方程是y=,直线PB的方程是y=‎ 分类讨论:①当﹣1<t<0时,l∥PA,不符合题意;②当t≤﹣1时,,,分别联立方程组,解得D,E的横坐标,进而可得△QAB与△PDE的面积之比,利用其为常数,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:(1)由 =(﹣2﹣x,1﹣y),=(2﹣x,1﹣y)可得 +=(﹣2x,2﹣2y),‎ ‎∴|+|=,•(+)+2=(x,y)•(0,2)+2=2y+2.‎ 由题意可得=2y+2,化简可得 x2=4y.‎ ‎(2)假设存在点P(0,t)(t<0),满足条件,则直线PA的方程是y=,直线PB的方程是y=‎ ‎∵﹣2<x0<2,∴‎ ‎①当﹣1<t<0时,,存在x0∈(﹣2,2),使得 ‎∴l∥PA,∴当﹣1<t<0时,不符合题意;‎ ‎②当t≤﹣1时,,,‎ ‎∴l与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组 ‎,,解得D,E的横坐标分别是,‎ ‎∴‎ ‎∵|FP|=﹣‎ ‎∴=‎ ‎∵‎ ‎∴=×‎ ‎∵x0∈(﹣2,2),△QAB与△PDE的面积之比是常数 ‎∴,解得t=﹣1,‎ ‎∴△QAB与△PDE的面积之比是2.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2012•江西)若函数h(x)满足 ‎①h(0)=1,h(1)=0;‎ ‎②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;‎ ‎③在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(λ>﹣1,p>0)‎ ‎(1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;‎ ‎(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记p=(n∈N+)时h(x)的中介元为xn,且Sn=,若对任意的n∈N+,都有Sn<,求λ的取值范围;‎ ‎(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图象总在直线y=1﹣x的上方,求P的取值范围.‎ ‎【分析】(1)可通过对函数h(x)=(λ>﹣1,p>0)进行研究,探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数;‎ ‎(2)由题意,先根据中介元的定义得出中介元xn通式,代入Sn=,计算出和,然后结合极限的思想,利用Sn<得到参数的不等式,解出它的取值范围;‎ ‎(3)λ=0,x∈(0,1)时,对参数p分类讨论由函数y=h(x)的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化,解出p的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)函数h(x)是补函数,证明如下:‎ ‎①h(0)==1,h(1)==0;‎ ‎②任意a∈[0,1],有h(h(a))=h()=‎ ‎=a ‎③令g(x)=(h(x))p,有g′(x)==,‎ 又因为λ>﹣1,p>0,‎ 所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上是减函数,故h(x)在(0,1)上是减函数 由上证,函数h(x)是补函数 ‎(2)当p=(n∈N*),由h(x)=x得,‎ ‎(i)当λ=0时,中介元xn=,‎ ‎(ii)当λ>﹣1且λ≠0时,由(*)得=∈(0,1)或=∉(0,1),得中介元xn=,‎ 综合(i)(ii):对任意的λ>﹣1,中介元为xn=,‎ 于是当λ>﹣1时,有Sn===,‎ 当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于,‎ 故对任意的非零自然数n,Sn<等价于,即λ∈[3,+∞)‎ ‎(3)当λ=0时,h(x)=,中介元为.‎ ‎(i)0<p≤1时,,中介元为≤,所以点(xp,h(xp))不在直线y=1﹣x的上方,不符合条件;‎ ‎(ii)当p>1时,依题意只需>1﹣x在x∈(0,1)时恒成立,也即xp+(1﹣x)p<1在x∈(0,1)时恒成立 设φ(x)=xp+(1﹣x)p,x∈(0,1),则φ′(x)=p(xp﹣1﹣(1﹣x)p﹣1)‎ 令φ′(x)=0,得x=,且当x∈(0,)时,φ′(x)<0,当x∈(,1)时,φ′(x)>0,又φ(0)=φ(1)=1,所以x∈(0,1)时,φ(x)<1恒成立.‎ 综上,p的取值范围是(1,+∞)‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;wfy814;qiss;minqi5;zwx097;ywg2058;邢新丽;xize;xintrl(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日