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- 2021-06-30 发布
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2008年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 若集合A＝{x|x2-x<0}，B＝{x|00x≤2则yx的取值范围是（ ）
A.(0, 2) B.(0, 2) C.(2, +∞) D.[32, +∞)
11. 如果函数y＝f(x)的图象如图，那么导函数y＝f'(x)的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
7 / 7
A.(1, 3) B.(1, 3] C.(3, +∞) D.[3, +∞]
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. (x+1x)9展开式中x3的系数是________．（用数字作答）
14. 若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
15. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．
16. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、ab∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知向量m→=(sinA,cosA)，n→=(1,-2)，且m→⋅n→=0．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx,(x∈[0,π4])的值域．
18. 三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为15，14，13，且他们是否破译出密码互不影响．
（1）求恰有二人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．
7 / 7
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
20. 已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an, an+1)(n∈N*)在函数y＝x2+1的图象上．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若列数{bn}满足b1＝1，bn+1＝bn+2na，求证：bn⋅bn+2<bn+12．
21. 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1, -6)，且函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称．
(1)求m，n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(2)若a>0，求函数y=f(x)在区间(a-1, a+1)内的极值．
7 / 7
22. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1, 0)，且过点(2, 0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
(I)求证：点M恒在椭圆C上；
(II)求△AMN面积的最大值．
7 / 7
参考答案与试题解析
2008年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.C
3.C
4.B
5.B
6.D
7.A
8.A
9.A
10.D
11.A
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.84
14.(-∞, 0)∪(10, +∞)
15.9π
16.①④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)m→⋅n→=sinA-2cosA=0即sinA=2cosA
∴ tanA=2
（2）f(x)=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx
令sinx=t
∵ x∈[0,π4]∴ t∈[0,22]
∴ y=-2t2+2t+1=-2(t-12)2+32，∴ t∈[0,22]
∴ 当t=12时，y最大为32；当t=0时，y最小为1
域为[1, 32]．
18.恰好二人破译出密码的概率为320．
（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D．
D=A1¯⋅A2¯⋅A3¯，且A1¯，A2¯，A3¯互相独立，则有
P(D)=P(A1¯)⋅P(A2¯)⋅P(A3¯)=45×34×23=25．
而P(C)=1-P(D)=35，
故P(C)>P(D)．
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大．
19.解：（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC // AD，AD=2AB=2BC，
有OD // BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB // DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
7 / 7
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=2，
在Rt△POA中，因为AP=2，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=OP2+OB2=3，
cos∠PBO=OBPB=23=63，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为63．
（3）由（2）得CD=OB=2，
在Rt△POC中，PC=OC2+OP2=2，
所以PC=CD=DP，S△PCD=34⋅2=32．
又S△=12AD⋅AB=1，
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得13S△ACD⋅OP=13S△PCD⋅h，
即13×1×1=13×32×h，
解得h=233．
20.解法一：
（1）由已知得an+1＝an+1、即an+1-an＝1，又a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故an＝1+(n-1)×1＝n．
（2）由(Ⅰ)知：an＝n从而bn+1-bn＝2n．
bn＝(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+...+(b2-b1)+b1
＝2n-1+2n-2+...+2+1
=1-2n1-2=2n-1
∵ bn⋅bn+2-bn+12＝(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
＝(22n+2-2n-2n+2+1)-(22n+2-2⋅2n+1+1)
＝-2n<0
∴ bn⋅bn+2<bn+12
解法二：
（1）同解法一．
（2）∵ b2＝1
bn⋅bn+2-bn+12＝(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-bn+12
＝2n+1⋅bn+1-2n⋅bn+1-2n⋅2n+1
＝2n(bn+1-2n+1)
＝2n(bn+2n-2n+1)
＝2n(bn-2n)
＝…
＝2n(b1-2)
＝-2n<0
∴ bn⋅bn+2<bn+12
21.解：(1)由函数f(x)图象过点(-1, -6)，得m-n=-3，①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f'(x)=3x2+2mx+n，
则g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n；
而g(x)图象关于y轴对称，所以-2m+62×3=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)．
由f'(x)>0得x>2或x<0，
故f(x)的单调递增区间是(-∞, 0)，(2, +∞)；
由f'(x)<0得0
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