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- 2021-06-30 发布
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课时规范练22 三角恒等变换
基础巩固组
1.函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是( )
A.π2 B.π C.3π2 D.2π
2.已知sinα+π5=33,则cos2α+2π5=( )
A.13 B.33 C.23 D.32
3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则2sin2α+1cos2α-π4的值是( )
A.53 B.-134 C.135 D.134
4.(2018四川成都七中模拟)已知sin7π6+α=33,则cos2π3-2α=( )
A.-23 B.-13 C.23 D.13
5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为( )
A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4
C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4
6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sinα+π3+sin α=-435,则cosα+2π3=( )
A.-45 B.-35 C.35 D.45
7.(2018全国第一次大联考)已知sinx+π3=13,则sin5π3-x-cos2x-π3的值为 .
8.设f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sin x+a2sinx+π4的最大值为2+3,则实数a= .
9.设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π12的值为 .
10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈0,π3,满足6sin α+2cos α=3.
(1)求cosα+π6的值;
(2)求cos2α+π12的值.
综合提升组
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤π2的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π6时取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,则sin2α+2π3的值为( )
A.1225 B.-1225 C.2425 D.-2425
12.已知α∈-π3,0,cosα+π6-sin α=435,则sinα+π12的值是( )
A.-235 B.-210 C.235 D.-45
13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin xcos2φ2+cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为 .
14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,3cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+32.
(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=13在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
创新应用组
15.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )
A.-1 B.34 C.32 D.2
16.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且2sin2α+sin2α1+tanα=k,π4<α≤π2,
(1)把y表示成k的函数f(k);
(2)求f(k)的最大值.
参考答案
课时规范练22 三角恒等变换
1.B f(x)=2sinx+π6×2cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.
2.A 由题意sinα+π5=33,
∴cos2α+2π5=cos 2α+π5=1-2sin2α+π5=1-2×332=13.故选A.
3.D ∵tan α=2,
∴2sin2α+1cos2α-π4=2sin2α+sin2α+cos2αcos2α-π2=3sin2α+cos2αsin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α+12tanα=3×22+12×2=134.
4.B 由题意sin7π6+α=sinπ+π6+α=-sinπ6+α,
所以sinπ6+α=-33,
由于cos2π3-2α=cosπ-π3+2α=-cosπ3+2α=-cos2π6+α=2sin2π6+α-1=2×-332-1=-13,故选B.
5.C 由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x
=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-π4,
则T=2π2=π.又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),
∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.
6.D ∵sinπ3+α+sin α=sinπ3cos α+cosπ3sin α+sin α=-435,
∴32sin α+32cos α=-435,
即32sin α+12cos α=-45.
∴sinα+π6=-45.
故cosα+2π3=cosα+π2+π6=-sinα+π6=45.
7.49 sin5π3-x-cos2x-π3=sin2π-x+π3-cos 2x+π3-π2=-sinx+π3+cos 2x+π3=-sinx+π3+1-2sin2x+π3=-13+1-29=49.
8.±3 f(x)=1+2cos2x-12cosx+sin x+a2sinx+π4
=cos x+sin x+a2sinx+π4
=2sinx+π4+a2sinx+π4
=(2+a2)sinx+π4.
依题意有2+a2=2+3,
则a=±3.
9.17502 ∵α为锐角,cosα+π6=45,
∴sinα+π6=35,
∴sin2α+π3=2sinα+π6cosα+π6=2425,cos2α+π3=2cos2α+π6-1=725,
∴sin2α+π12=sin2α+π3-π4=22sin2α+π3-cos2α+π3=17250.
10.解 (1)∵6sin α+2cos α=3,
∴sinα+π6=64.
∵α∈0,π3,∴α+π6∈π6,π2,
∴cosα+π6=104.
(2)由(1)可得cos2α+π3=2cos2α+π6-1=2×1042-1=14.
∵α∈0,π3,∴2α+π3∈π3,π,
∴sin2α+π3=154.
∴cos2α+π12=cos2α+π3-π4
=cos2α+π3cosπ4+sin2α+π3sinπ4=30+28.
11.D 由题意,T=2π,即T=2πω=2π,
即ω=1.
又当x=π6时,f(x)取得最大值,
即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,
即φ=π3+2kπ,k∈Z.
∵0<φ≤π2,∴φ=π3,∴f(x)=sinx+π3+1.
∵f(α)=sinα+π3+1=95,
可得sinα+π3=45.
∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π,
∴cosα+π3=-35.
∴sin2α+2π3=2sinα+π3·cosα+π3=2×45×-35=-2425.故选D.
12.B 由cosα+π6-sin α=435,
可得32cos α-32sin α=435,12cos α-32sin α=45,cosα+π3=45.
∵α∈-π3,0,∴α+π3∈0,π3,sinα+π3=35,
sinα+π12=sinα+π3-π4
=22sinα+π3-22cosα+π3
=2235-45=-210,故选B.
13.π2 f(x)=2sin x·1+cosφ2+cos xsin φ-sin x=sin x+sin xcos φ+cos xsin φ-sin x=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ).
因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,
由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=π2.
14.解 (1)f(x)=a·b+32=(sin x,3cos x)·(cos x,-cos x)+32
=sin x·cos x-3cos2x+32=12sin 2x-32cos 2x=sin2x-π3.
令2x-π3=kπ+π2,得x=5π12+k2π(k∈Z),
即y=f(x)的对称轴方程为x=5π12+k2π(k∈Z).
(2)由条件知sin2x1-π3=sin2x2-π3=13>0,且00.
∴sin α+cos α=1+k.
∴y=1+k-2k+1.
由于k=2sin αcos α=sin 2α,π4<α≤π2,∴0≤k<1.
∴f(k)=1+k-2k+1(0≤k<1).
(2)设1+k=t,则k=t2-1,1≤t<2.
∴y=t-(2t2-2)+1,
即y=-2t2+t+3(1≤t<2).
∵关于t的二次函数在区间[1,2)内是减少的,
∴t=1时,y取最大值2.
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