高三数学总复习学案12 9页

学案12　函数模型及其应用 导学目标： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ 自主梳理 ‎1．三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax(a>1)‎ y＝logax ‎(a>1)‎ y＝xn(n>0)‎ 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 随x增大逐渐表现为与____平行 随x增大逐渐表现为与____平行 随n值变化而不同 ‎2.三种增长型函数之间增长速度的比较 ‎(1)指数函数y＝ax (a>1)与幂函数y＝xn (n>0)‎ 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．‎ ‎(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn (n>0)‎ 对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．‎ 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．‎ ‎3．函数模型的应用实例的基本题型 ‎(1)给定函数模型解决实际问题；‎ ‎(2)建立确定性的函数模型解决问题；‎ ‎(3)建立拟合函数模型解决实际问题．‎ ‎4．函数建模的基本程序 自我检测 ‎1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是 (　　)‎ A．v＝ex B．v＝100ln x C．v＝x100 D．v＝100×2x ‎2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 (　　)‎ A．45.606 B．45.6‎ C．45.56 D．45.51‎ ‎3．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 (　　)‎ A．y＝[] B．y＝[]‎ C．y＝[] D．y＝[]‎ ‎4．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是 (　　)‎ ‎5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)‎ 探究点一　一次函数、二次函数模型 例1　(2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．‎ ‎(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；‎ ‎(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？‎ 变式迁移1　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．‎ ‎(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？‎ ‎(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ 探究点二　分段函数模型 例2　据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)‎ 的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．‎ ‎(1)当t＝4时，求s的值；‎ ‎(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；‎ ‎(3)若N城位于M地正南方向，且距M地‎650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．‎ 变式迁移2　某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．‎ ‎(1)求y关于x的函数；‎ ‎(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．‎ 探究点三　指数函数模型 例3　诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)‎ ‎(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；‎ ‎(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．‎ ‎(参考数据：1.031 29＝1.32)‎ 变式迁移3　(2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？‎ ‎(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)‎ ‎1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．‎ ‎2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：‎ ‎(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；‎ ‎(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；‎ ‎(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．‎ ‎ ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 (　　)‎ ‎ X ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ Y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x ‎2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)的值域是 ‎(　　)‎ A．{1.06,2.12,3.18,4.24}‎ B．{1.06,1.59,2.12,2.65}‎ C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}‎ D．{1.59,2.12,2.65}‎ ‎3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 (　　)‎ A．多赚约6元 B．少赚约6元 C．多赚约2元 D．盈利相同 ‎4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为 (　　)‎ A．4 000元 B．3 800元 C．4 200元 D．3 600元 ‎5．(2011·沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 (　　)‎ A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.‎ ‎7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成‎200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．‎ ‎8．已知每生产‎100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：‎ 型号 小包装 大包装 重量 ‎100克 ‎300克 包装费 ‎0.5元 ‎0.7元 销售价格 ‎3.00元 ‎8.4元 则下列说法中正确的是________(填序号)‎ ‎①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．‎ ‎(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？‎ ‎(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？‎ ‎10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ ‎11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．‎ ‎(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；‎ ‎(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？‎ 答案 自主梳理 ‎1．增函数　增函数　增函数　越来越快　越来越慢　相对平稳　y轴　x轴　2.(1)快于　ax>xn　(2)慢于　logaxxn>logax 自我检测 ‎1．A　[由e>2，知当x增大时，ex增大更快．]‎ ‎2．B　[依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，‎ ‎∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)‎ ‎＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)．‎ ‎∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．]‎ ‎3．B　[每10个人可以推选1个，(xmod 10)>6可以再推选一个，即如果余数(xmod 10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]‎ ‎4．A ‎5．5‎ 解析　设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，‎ 则有0.3·x≤0.09，即x≤0.3.‎ 估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．‎ 课堂活动区 例1　解　(1)每吨平均成本为(万元)．‎ 则＝＋－48‎ ‎≥2－48＝32，‎ 当且仅当＝，即x＝200时取等号．‎ ‎∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．‎ ‎(2)设年获得总利润为R(x)万元，‎ 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000‎ ‎＝－＋88x－8 000‎ ‎＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．‎ ‎∵R(x)在[0,210]上是增函数，‎ ‎∴x＝210时，R(x)有最大值为－×(210－220)2＋1 680＝1 660.‎ ‎∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．‎ 变式迁移1　解　(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．‎ ‎(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收益为y元，‎ 则y＝x－×50‎ ‎－×150‎ ‎＝－＋162x－21 000‎ ‎＝－(x－4 050)2＋307 050，‎ 当x＝4 050时，ymax＝307 050.‎ 答　当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050.‎ 例2　解　(1)由图象可知：‎ 当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，‎ ‎∴s＝×4×12＝24(km)．‎ ‎(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，‎ 当104时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.‎ 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，‎ y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.‎ 所以y＝ ‎(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.‎ 所以甲户用水量为5x＝7.5吨，‎ 付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；‎ 乙户用水量为3x＝4.5吨，‎ 付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．‎ 例3　解题导引　指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x (其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．‎ 解　(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，‎ f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24%‎ ‎＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，‎ ‎∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．‎ ‎(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，‎ 故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．‎ 变式迁移3　解　现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，‎ ‎1小时后，细胞总数为 ×100＋×100×2＝×100；‎ ‎2小时后，细胞总数为 ××100＋××100×2＝×100；‎ ‎3小时后，细胞总数为 ××100＋××100×2＝×100；‎ ‎4小时后，细胞总数为 ××100＋××100×2＝×100；‎ 可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：‎ y＝100×()x，x∈N*，‎ 由100×()x>1010，得()x>108，‎ 两边取以10为底的对数，‎ 得xlg>8，∴x>，‎ ‎∵＝≈45.45，‎ ‎∴x>45.45.‎ 答　经过46小时，细胞总数超过1010个．‎ 课后练习区 ‎1．B　[通过检验可知，y＝log2x较为接近．]‎ ‎2．B　[当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；‎ 当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；‎ 当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；‎ 当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.]‎ ‎3．B　[设A、B两种商品的原价为a、b，‎ 则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23‎ ‎⇒a＝，b＝，a＋b－46≈6元．]‎ ‎4．B　[设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝ 如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，‎ ‎∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.]‎ ‎5．A　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，‎ 当x＝18时，L(x)有最大值．]‎ ‎6．a(1＋b)　a(1＋b)5‎ 解析　由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5 t.‎ ‎7．2 ‎‎500 m2‎ 解析　设所围场地的长为x，则宽为，其中00，所以x≥4.‎ 故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分)‎ ‎(2)若企业亏损最严重，则n－m取最大值．‎ 因为n－m＝－x2＋5x＋－x＋ ‎＝－＝－(x－1)2.………………………………………………………(9分)‎ 所以当x＝1时，n－m取最大值，‎ 此时m＝－＝.‎ 故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．………………(12分)‎ ‎10．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，‎ 则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(5分)‎ ‎∵f(x)＝560＋48(x＋)≥560＋48·2＝560＋48×30＝2 000.……………(10分)‎ 当且仅当x＝时，上式取等号，即x＝15时，f(x)min＝2 000.‎ 所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分)‎ ‎11．解　(1)依题意有 y＝……………………………………………(4分)‎ 由于y>0且x∈N*，‎ 由　得6≤x≤10，x∈N*.‎ 由 得1010时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－＝时，y取最大值，但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575 (10