高考数学专题复习课件：2-4二次函数 54页

1 ． 二次函数 (1) 二次函数解析式的三种形式 ① 一般式： f ( x ) ＝ __________________ ． ② 顶点式： f ( x ) ＝ __________________ ． ③ 零点式： f ( x ) ＝ ____________________ ． ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0) a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) (2) 二次函数的图象和性质 2. 幂函数 (1) 定义：形如 ________ ( α ∈ R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． (2) 五种幂函数的图象比较 y ＝ x α (3) 幂函数的性质 ① 幂函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上都有定义； ② 幂函数的图象过定点 (1 ， 1) ； ③ 当 α ＞ 0 时，幂函数的图象都过点 (1 ， 1) 和 (0 ， 0) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； ④ 当 α ＜ 0 时，幂函数的图象都过点 (1 ， 1) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减． 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 【 答案 】 B 【 答案 】 C 【 答案 】 B 4 ．已知函数 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 在闭区间 [0 ， m ] 上有最大值 3 ，最小值 2 ，则 m 的取值范围为 ________ ． 【 解析 】 如图，由图象可知 m 的取值范围是 [1 ， 2] ． 【 答案 】 [1 ， 2] 5 ．已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 ax ＋ 1 － a 在 x ∈ [0 ， 1] 时有最大值 2 ，求 a 的值． 【 解析 】 函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 ax ＋ 1 － a ＝－ ( x － a ) 2 ＋ a 2 － a ＋ 1 ，对称轴方程为 x ＝ a . 当 a ＜ 0 时， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 － a ， ∴ 1 － a ＝ 2 ， ∴ a ＝－ 1. 当 0 ≤ a ≤ 1 时， f ( x ) max ＝ f ( a ) ＝ a 2 － a ＋ 1 ， ∴ a 2 － a ＋ 1 ＝ 2 ，即 a 2 － a － 1 ＝ 0 ， 当 a ＞ 1 时， f ( x ) max ＝ f (1) ＝ a ， ∴ a ＝ 2. 综上可知， a ＝－ 1 或 a ＝ 2. 题型一　求二次函数的解析式 【 例 1 】 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( － 1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是 8 ，试确定此二次函数的解析式． 【 解析 】 方法一 ( 利用一般式 ) ： 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ． 【 方法规律 】 求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解． 跟踪训练 1 (1) 二次函数的图象过点 (0 ， 1) ，对称轴为 x ＝ 2 ，最小值为－ 1 ，则它的解析式是 _______________ ． (2) (2017· 武汉模拟 ) 若函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ a )( bx ＋ 2 a )( 常数 a ， b ∈ R) 是偶函数，且它的值域为 ( － ∞ ， 4] ，则该函数的解析式 f ( x ) ＝ ________ ． (2) 由 f ( x ) 是偶函数知 f ( x ) 图象关于 y 轴对称， ∴ b ＝－ 2 ， ∴ f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 2 a 2 ， 又 f ( x ) 的值域为 ( － ∞ ， 4] ， ∴ 2 a 2 ＝ 4 ，故 f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 4. 题型二　二次函数的图象与性质 命题点 1 　二次函数的单调性 【 例 2 】 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ， x ∈ [ － 4 ， 6] ， (1) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f ( x ) 在区间 [ － 4 ， 6] 上是单调函数； (2) 当 a ＝－ 1 时，求 f (| x |) 的单调区间． 又 ∵ x ∈ [ － 4 ， 6] ， ∴ f (| x |) 在区间 [ － 4 ，－ 1) 和 [0 ， 1) 上为减函数，在区间 [ － 1 ， 0) 和 [1 ， 6] 上为增函数． 命题点 2 　二次函数的最值 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ，若 x ∈ [ － 2 ， 3] ，则函数 f ( x ) 的最大值为 ________ ． 【 解析 】 f ( x ) ＝ ( x － 1) 2 － 1 ， ∵ － 2 ≤ x ≤ 3( 如图 ) ， ∴ f ( x ) max ＝ f ( － 2) ＝ 8. 【 答案 】 8 【 引申探究 】 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ，若 x ∈ [ － 2 ， a ] ，求 f ( x ) 的最小值． 【 解析 】 ∵ 函数 y ＝ x 2 － 2 x ＝ ( x － 1) 2 － 1 ， ∴ 对称轴为直线 x ＝ 1 ， ∵ x ＝ 1 不一定在区间 [ － 2 ， a ] 内， ∴ 应进行讨论，当－ 2 ＜ a ≤ 1 时，函数在 [ － 2 ， a ] 上单调递减，则当 x ＝ a 时， y 取得最小值，即 y min ＝ a 2 － 2 a ；当 a ＞ 1 时，函数在 [ － 2 ， 1] 上单调递减，在 [1 ， a ] 上单调递增，则当 x ＝ 1 时， y 取得最小值，即 y min ＝－ 1. 综上，当－ 2 ＜ a ≤ 1 时， y min ＝ a 2 － 2 a ， 当 a ＞ 1 时， y min ＝－ 1. 命题点 3 　二次函数中的恒成立问题 【 例 4 】 (1) (2017· 石家庄模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x ＋ 2 ，对于满足 1 ＜ x ＜ 4 的一切 x 值都有 f ( x ) ＞ 0 ，则实数 a 的取值范围为 ________ ． (2) 已知 a 是实数，函数 f ( x ) ＝ 2 ax 2 ＋ 2 x － 3 在 x ∈ [ － 1 ， 1] 上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 ________ ． 【 方法规律 】 (1) 二次函数最值问题解法：抓住 “ 三点一轴 ” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2) 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ① 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． ② 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≤ f ( x ) min . 跟踪训练 2 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 ， x ∈ [ － 5 ， 5] ． (1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f ( x ) 的最大值和最小值； (2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f ( x ) 在区间 [ － 5 ， 5] 上是单调函数． 【 解析 】 (1) 当 a ＝－ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 2 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 1 ， x ∈ [ － 5 ， 5] ， 所以当 x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最小值 1 ； 当 x ＝－ 5 时， f ( x ) 取得最大值 37. (2) 函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ a ) 2 ＋ 2 － a 2 的图象的对称轴为直线 x ＝－ a ， 因为 y ＝ f ( x ) 在区间 [ － 5 ， 5] 上是单调函数， 所以－ a ≤ － 5 或－ a ≥ 5 ，即 a ≤ － 5 或 a ≥ 5. 故 a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 5] ∪ [5 ，＋ ∞ ) ． 【 答案 】 (1)C 　 (2)A 【 方法规律 】 (1) 幂函数的形式是 y ＝ x α ( α ∈ R) ，其中只有一个参数 α ，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2) 在区间 (0 ， 1) 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴 ( 简记为 “ 指大图低 ” ) ，在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． 跟踪训练 3 (1) (2017· 河南漯河一模 ) 已知幂函数 f ( x ) ＝ ( m 2 － 3 m ＋ 3) x m ＋ 1 为偶函数，则 m ＝ ( 　　 ) A ． 1 B ． 2 C ． 1 或 2 D ． 3 (2) (2017· 江苏南京一模 ) 已知幂函数 f ( x ) ＝ ( m － 1) 2 xm 2 － 4 m ＋ 2 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，函数 g ( x ) ＝ 2 x － k ，当 x ∈ [1 ， 2) 时，记 f ( x ) ， g ( x ) 的值域分别为集合 A ， B ，若 A ∪ B ＝ A ，则实数 k 的取值范围是 ( 　　 ) A ． (0 ， 1) B ． [0 ， 1) C ． (0 ， 1] D ． [0 ， 1] 【 解析 】 (1) ∵ 幂函数 f ( x ) ＝ ( m 2 － 3 m ＋ 3) x m ＋ 1 为偶函数， ∴ m 2 － 3 m ＋ 3 ＝ 1 ，即 m 2 － 3 m ＋ 2 ＝ 0 ，解得 m ＝ 1 或 m ＝ 2. 当 m ＝ 1 时，幂函数 f ( x ) ＝ x 2 为偶函数，满足条件．当 m ＝ 2 时，幂函数 f ( x ) ＝ x 3 为奇函数，不满足条件．故选 A. (2) ∵ f ( x ) 是幂函数， ∴ ( m － 1) 2 ＝ 1 ，解得 m ＝ 2 或 m ＝ 0. 若 m ＝ 2 ，则 f ( x ) ＝ x － 2 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减，不满足条件．若 m ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ x 2 在 ( 0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，满足条件，即 f ( x ) ＝ x 2 . 当 x ∈ [1 ， 2) 时， f ( x ) ∈ [1 ， 4) ，即 A ＝ [1 ， 4) ；当 x ∈ [1 ， 2) 时， g ( x ) ∈ [2 － k ， 4 － k ) ，即 B ＝ [2 － k ， 4 － k ) ． ∵ A ∪ B ＝ A ， ∴ B ⊆ A ， ∴ 2 － k ≥ 1 且 4 － k ≤ 4 ，解得 0 ≤ k ≤ 1. 【 答案 】 (1)A 　 (2)D 思想与方法系列 3 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 【 典例 】 (12 分 ) 已知 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x (0 ≤ x ≤ 1) ，求 f ( x ) 的最小值． 【 思维点拨 】 参数 a 的值确定 f ( x ) 图象的形状； a ≠ 0 时，函数 f ( x ) 的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系． 【 温馨提醒 】 (1) 本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数 a 的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论． (2) 在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论 . ► 方法与技巧 1 ．二次函数的三种形式 (1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 ( 小 ) 值有关的量时，常使用顶点式． (3) 已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f ( x ) 更方便． 2 ．研究二次函数的性质要注意： (1) 结合图象分析； (2) 含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3 ．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较． ► 失误与防范 1 ．对于函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠ 0 ，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝ 0 和 a ≠ 0 两种情况． 2 ．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 .