【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章　第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题作业 6页

第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.‎ ‎2．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)‎ A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)∉A C．当且仅当a<0时，(2，1)∉A D．当且仅当a≤时，(2，1)∉A 解析：选D.若(2，1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2，1)∉A，故选D.‎ ‎3．(2019·高考北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)‎ A．－7　　　　　　　　　 B．1‎ C．5 D．7‎ 解析：选C.令z＝3x＋y，画出约束条件即或表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.‎ ‎4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝的最大值为(　　)‎ A. B. C．3 D．4‎ 解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝，设u＝3x＋y，欲求z＝的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线的纵截距为u，作出直线y＝－3x，并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝的最大值zmax＝＝3.故选C.‎ ‎5．(2020·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的取值范围是(　　)‎ A．[－1，－1] B．[－1，＋1]‎ C．[－1，5] D．[－1，5]‎ 解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是[－1，5]，故选D.‎ ‎6．(2020·安徽省考试试题)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为 ‎ ．‎ 解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝2x－y取得最小值．由，得，即A(3，4)，所以zmin＝2×3－4＝2.‎ 法二：易知目标函数z＝2x－y的最小值在可行域的顶点处取得，由得，由得，由得，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z的值为2，3，8，所以z的最小值为2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足，则z＝的取值范围为 ．‎ 解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．‎ 由，得 ，即A(－1，3)．‎ 由，得 ，即B.‎ 所以zmax＝kOB＝＝－，zmin＝kOA＝＝－3，‎ 所以z＝的取值范围为.‎ 答案： ‎8．已知x，y满足，记点(x，y)对应的平面区域为P.‎ ‎(1)设z＝，求z的取值范围；‎ ‎(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．‎ 解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A，B，C三点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．‎ ‎(1)由z＝知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率，‎ 当直线过A(－4，3)时，z＝－4；‎ 当直线过C(－1，0)时，z＝.‎ 故z的取值范围是(－∞，－4)∪.‎ ‎(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，‎ 故直线l的方程是＝，即x－y＋4＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M(x，y)满足则x＋y的取值集合是(　　)‎ A．[1，2＋] B．[1，3]‎ C．[2＋，4] D．[1，4]‎ 解析：选A.x2＋y2－2x－2y＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＝1，根据约束条件画出可行域，‎ 如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，则y＝－x＋z，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到＝1⇒z＝2±，易知2－不符合题意，故z＝2＋，所以x＋y的取值范围为[1，2＋]．故选A.‎ ‎2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m≥0 B．m≤3‎ C．m≥1 D．m≥3‎ 解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(4，2)，B(1，1)，C(3，3)．‎ 设z＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得zmax＝4－2×2＝0，当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得zmin＝3－2×3＝－3，因此z＝x－2y的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，所以－m大于或等于z的最小值，即－3≤－m，解得m≤3，故选B.‎ ‎3．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．‎ 解析：设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z＝2x＋y，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.‎ 答案：360‎ ‎4．(综合型)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为 ．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.‎ 答案：21‎