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2009年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 若集合A={x|x>0}，B={x|x<3}，则A∩B等于（ ）
A.{x|x<0} B.{x|04} D.R
2. 下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（ ）
A.f(x)=log2x B.f(x)=1x C.f(x)=|x| D.f(x)=2x
3. 一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别
(0, 10]
(10, 20]
(20, 30]
(30, 40]
(40, 50]
(50, 60]
(60, 70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在(10, 40]上的频率为（ ）
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
4. 若双曲线x2a2-y232=1(a>0)的离心率为2，则a=( )
A.2 B.3 C.32 D.1
5. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
7. 已知锐角△ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）
A.75∘ B.60∘ C.45∘ D.30∘
8. 定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2, 0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是（ ）
A.y=x2+1 B.y=|x|+1
C.y=2x+1,x≥0x3+1，x<0 D.y=ex，x≥0e-x，x<0
9. 在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0x-1≤0ax-y+1≥0（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ）
A.-5 B.1 C.2 D.3
10. 设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α // β的一个充分而不必要条件是（ ）
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A.m // β且l // α B.m // l1且n // l2 C.m // β且n // β D.m // β且n // l2
11. 若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（ ）
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-12)
12. 设a→，b→，c→为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a→与b→不共线，a→⊥c→，|a→|=|c→|，则|b→⋅c→|的值一定等于 （ ）
A.以a→，b→为邻边的平行四边形的面积
B.以b→，c→为两边的三角形面积
C.a→，b→为两边的三角形面积
D.以b→，c→为邻边的平行四边形的面积
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 复数i2(1-2i)的实部是________.
14. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．
15. 若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
18. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
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19. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<π2．
(1)若cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0．求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．
20. 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60∘，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．
（1）求证：AB⊥DE
（2）求三棱锥E-ABD的侧面积．
21. 已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f'(-1)=0．
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)令a=-1，设函数f(x)在x1，x2(x1b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=103分别交于M，N两点．
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(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为15?若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．
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参考答案与试题解析
2009年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.B
【解答】
解：根据题意，在数轴上表示出A、B，可得：
进而由交集的定义，取两个集合的公共部分，可得A∩B={x|00，
又函数f(x)=log2x定义域x>0，
故选A．
3.C
【解答】
解：由表格可以看出(10, 20]的频数是13，
(20, 30]的频数是24，
(30, 40]的频数是15，
∴ (10, 40)上的频数是13+24+15=52，
∴ 样本数据落在(10, 40)上的频率为52100=0.52．
故选C．
4.B
【解答】
解：e=a2+9a=2，(a>0)，
∴ a=3．
故选B．
5.C
【解答】
解：当俯视图是A时，正方体的体积是1；
当俯视图是B时，该几何体是圆柱，
底面积是S=π×(12)2=π4，高为1，则体积是π4；
当俯视是C时，该几何体是直三棱柱，
故体积是V=12×1×1×1=12，
当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，
其体积是V=14π×12×1=π4．
故选C.
6.C
【解答】
解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：
S
-1
12
2
n
2
4
8
故S=2时，输出n=8．
故选C
7.B
【解答】
解：S=12BC⋅AC⋅sinC=12×4×3×sinC=33
∴ sinC=32
∵ 三角形为锐角三角形
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∴ C=60∘
故选B
8.C
【解答】
解：利用偶函数的对称性
知f(x)在(-2, 0)上为减函数．
又y=x2+1在(-2, 0)上为减函数；
y=|x|+1在(-2, 0)上为减函数；
y=2x+1,x≥0x3+1，x<0在(-2, 0)上为增函数．
∴ y=ex，x≥o1ex，x<0在(-2, 0)上为减函数．
故选C．
9.D
【解答】
解：不等式组x+y-1≥0x-1≤0ax-y+1≥0所围成的区域如图所示．
∵ 其面积为2，
∴ |AC|=4，
∴ C的坐标为(1, 4)，
代入ax-y+1=0，
得a=3．
故选D．
10.B
【解答】
解：若m // l1，n // l2，
m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，
则可得α // β．即B答案是α // β的充分条件，
若α // β则m // l1，n // l2不一定成立，即B答案是α // β的不必要条件，
故m // l1，n // l2是α // β的一个充分不必要条件，
故选B
11.A
【解答】
解：∵ g(x)=4x+2x-2在R上连续，且g(14)=2+12-2=2-32<0，g(12)=2+1-2=1>0．
设g(x)=4x+2x-2的零点为x0，则14|=|b→|⋅|a→|⋅|cos(90∘±θ)|=|b→|⋅|a→|⋅sinθ，
即为以a→，b→为邻边的平行四边形的面积．
故选A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.-1
【解答】
解：复数i2(1-2i)=-(1-2i)=-1+2i，
所以复数的实部为-1.
故答案为：-1.
14.23
【解答】
如图所示，
∵ 劣弧AM=AN=1，
∴ 劣弧MN=1，
则劣弧AB的长度小于1的概率为P=AM+AN=23
15.{a|a<0}
【解答】
解：由题意该函数的定义域x>0，由f'(x)=2ax+1x．
因为存在垂直于y轴的切线，
故此时斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f'(x)=2ax+1x存在零点．
再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=1x存在交点．当a=0不符合题意，
当a>0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，
当a<0如图2，此时正好有一个交点，故有a<0．
故答案为：{a|a<0}
16.7次
【解答】
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，
那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987
分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0
由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0
循环周期是8．
在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，
所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，
后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，
也就是说拍手的总次数为7次．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)设{an}的公比为q,
由已知得16=2q3，解得q=2,
∴ an=a1qn-1=2n.
(2)由(1)得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32,
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设{bn}的公差为d，则有b1+2d=8,b1+4d=32,
解得b1=-16,d=12.
从而bn=-16+12(n-1)=12n-28,
所以数列{bn}的前n项和
Sn=n(-16+12n-28)2=6n2-22n．
【解答】
解：(1)设{an}的公比为q,
由已知得16=2q3，解得q=2,
∴ an=a1qn-1=2n.
(2)由(1)得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32,
设{bn}的公差为d，则有b1+2d=8,b1+4d=32,
解得b1=-16,d=12.
从而bn=-16+12(n-1)=12n-28,
所以数列{bn}的前n项和
Sn=n(-16+12n-28)2=6n2-22n．
18.解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、
（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、
（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）.
(2)本题是一个等可能事件的概率，
记“3次摸球所得总分为5”为事件A，
事件A包含的基本事件为：
（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）.
事件A包含的基本事件数为3，
由(1)可知，基本事件总数为8，
∴ 事件A的概率为P(A)=38.
【解答】
解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、
（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、
（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）.
(2)本题是一个等可能事件的概率，
记“3次摸球所得总分为5”为事件A，
事件A包含的基本事件为：
（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）.
事件A包含的基本事件数为3，
由(1)可知，基本事件总数为8，
∴ 事件A的概率为P(A)=38.
19.解：(I)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0
即cos(π4+φ)=0又|φ|<π2，∴ φ=π4
(II)解法一：由(I)得，f(x)=sin(ωx+π4)依题意，T2=π3又T=2πω，故ω=3，∴ f(x)=sin(3x+π4)
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)即m=kπ3+π12(k∈Z)从而，最小正实数m=π12
解法二：由(I)得，f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3又T=2πω，故ω=3，∴ f(x)=sin(3x+π4)
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函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]，g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对x∈R恒成立．∴ sin(-3x)cos(3m+π4)+cos(-3x)sin(3m+π4)=sin3xcos(3m+π4)+cos3xsin(3m+π4)
即2sin3xcos(3m+π4)=0对x∈R恒成立．∴ cos(3m+π4)=0
故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)∴ m=kπ3+π12(k∈Z)从而，最小正实数m=π12
【解答】
解：(I)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0
即cos(π4+φ)=0又|φ|<π2，∴ φ=π4
(II)解法一：由(I)得，f(x)=sin(ωx+π4)依题意，T2=π3又T=2πω，故ω=3，∴ f(x)=sin(3x+π4)
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)即m=kπ3+π12(k∈Z)从而，最小正实数m=π12
解法二：由(I)得，f(x)=sin(ωx+π4)，依题意，T2=π3又T=2πω，故ω=3，∴ f(x)=sin(3x+π4)
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4]，g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对x∈R恒成立．∴ sin(-3x)cos(3m+π4)+cos(-3x)sin(3m+π4)=sin3xcos(3m+π4)+cos3xsin(3m+π4)
即2sin3xcos(3m+π4)=0对x∈R恒成立．∴ cos(3m+π4)=0
故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)∴ m=kπ3+π12(k∈Z)从而，最小正实数m=π12
20.解：（1）证明：在△ABD中，∵ AB=2，AD=4，∠DAB=60∘
∴ BD=AB2+AD2-2AB⋅2ADcos∠DAB=23
∴ AB2+BD2=AD2，∴ AB⊥DB，
又∵ 平面EBD⊥平面ABD
平面EBD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，∴ AB⊥平面EBD，
∵ DE⊂平面EBD，∴ AB⊥DE．
（2）解：由（1）知AB⊥BD，CD // AB，∴ CD⊥BD，从而DE⊥DB
在Rt△DBE中，∵ DB=23，DE=DC=AB=2
∴ S△DBE=12DB⋅DE=23
又∵ AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，
∴ AB⊥BE，
∵ BE=BC=AD=4，∴ S△ABE=12AB⋅BE=4，
∵ DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ ED⊥平面ABD
而AD⊂平面ABD，∴ ED⊥AD，∴ S△ADE=12AD⋅DE=4
综上，三棱锥E-ABD的侧面积，S=8+23
【解答】
解：（1）证明：在△ABD中，∵ AB=2，AD=4，∠DAB=60∘
∴ BD=AB2+AD2-2AB⋅2ADcos∠DAB=23
∴ AB2+BD2=AD2，∴ AB⊥DB，
又∵ 平面EBD⊥平面ABD
平面EBD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，∴ AB⊥平面EBD，
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∵ DE⊂平面EBD，∴ AB⊥DE．
（2）解：由（1）知AB⊥BD，CD // AB，∴ CD⊥BD，从而DE⊥DB
在Rt△DBE中，∵ DB=23，DE=DC=AB=2
∴ S△DBE=12DB⋅DE=23
又∵ AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，
∴ AB⊥BE，
∵ BE=BC=AD=4，∴ S△ABE=12AB⋅BE=4，
∵ DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ ED⊥平面ABD
而AD⊂平面ABD，∴ ED⊥AD，∴ S△ADE=12AD⋅DE=4
综上，三棱锥E-ABD的侧面积，S=8+23
21.(1)解：依题意，得f'(x)=x2+2ax+b．
由f'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1．
(2)解：由(1)得f(x)=13x3+ax2+(2a-1)x，
故f'(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)．
令f'(x)=0，则x=-1或x=1-2a．
①当a>1时，1-2a<-1．
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, 1-2a)
(1-2a, -1)
(-1, +∞)
f'(x)
+
-
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞)，单调减区间为(1-2a, -1)．
②当a=1时，1-2a=-1．此时，f'(x)≥0恒成立，且仅在x=-1处f'(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为R．
③当a<1时，1-2a>-1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞)，单调减区间为(-1, 1-2a)．
综上所述：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞)，单调减区间为(1-2a, -1)；
当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R；
当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞)，单调减区间为(-1, 1-2a).
(3)证明：当a=-1时，b=-3，得f(x)=13x3-x2-3x．
由f'(x)=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．
由(2)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞)，单调减区间为(-1, 3)，
所以函数f(x)在x1=-1，x2=3处取得极值．故M(-1, 53)，N(3, -9)．
所以直线MN的方程为y=-83x-1．
由y=13x3-x2-3x，y=-83x-1，得x3-3x2-x+3=0．
令F(x)=x3-3x2-x+3．
易得F(0)=3>0，F(2)=-3<0，而F(x)的图象在(0, 2)内是一条连续不断的曲线，
故F(x)在(0, 2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M，N的公共点．
【解答】
(1)解：依题意，得f'(x)=x2+2ax+b．
由f'(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1．
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(2)解：由(1)得f(x)=13x3+ax2+(2a-1)x，
故f'(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1)．
令f'(x)=0，则x=-1或x=1-2a．
①当a>1时，1-2a<-1．
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, 1-2a)
(1-2a, -1)
(-1, +∞)
f'(x)
+
-
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞)，单调减区间为(1-2a, -1)．
②当a=1时，1-2a=-1．此时，f'(x)≥0恒成立，且仅在x=-1处f'(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为R．
③当a<1时，1-2a>-1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞)，单调减区间为(-1, 1-2a)．
综上所述：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞)，单调减区间为(1-2a, -1)；
当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R；
当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞)，单调减区间为(-1, 1-2a).
(3)证明：当a=-1时，b=-3，得f(x)=13x3-x2-3x．
由f'(x)=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3．
由(2)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞)，单调减区间为(-1, 3)，
所以函数f(x)在x1=-1，x2=3处取得极值．故M(-1, 53)，N(3, -9)．
所以直线MN的方程为y=-83x-1．
由y=13x3-x2-3x，y=-83x-1，得x3-3x2-x+3=0．
令F(x)=x3-3x2-x+3．
易得F(0)=3>0，F(2)=-3<0，而F(x)的图象在(0, 2)内是一条连续不断的曲线，
故F(x)在(0, 2)内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M，N的公共点．
22. 解：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2, 0)，
上顶点为D(0, 1)，∴ a=2，b=1，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)依题意，直线AS的斜率k必然存在，且k>0，
故可设直线AS的方程为y=k(x+2)，从而M(103，16k3)，
由y=k(x+2)x24+y2=1得
(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，
设S(x1, y1)，则(-2)×x1=16k2-41+4k2，
得x1=2-8k21+4k2，从而y1=4k1+4k2，
即S(2-8k21+4k2，4k1+4k2)，
又B(2, 0)由y=-14k(x-2)x=103，
得x=103y=-13k，
∴ N(103，-13k)，
故|MN|=|16k3+13k|
又k>0，
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∴ |MN|=16k3+13k≥216k3⋅13k=83，
当且仅当16k3=13k，即k=14时等号成立．
∴ k=14时，线段MN的长度取最小值83.
(3)由(2)可知，当MN取最小值时，k=14
此时BS的方程为x+y-2=0,S(65，45)，
∴ |BS|=425
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，
所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l'上．
设直线l':x+y+t=0，则由|t+2|2=24，
解得t=-32或t=-52．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，
所以经检验得t=-32，此时点T满足条件．
【解答】
解：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2, 0)，
上顶点为D(0, 1)，∴ a=2，b=1，
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)依题意，直线AS的斜率k必然存在，且k>0，
故可设直线AS的方程为y=k(x+2)，从而M(103，16k3)，
由y=k(x+2)x24+y2=1得
(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0，
设S(x1, y1)，则(-2)×x1=16k2-41+4k2，
得x1=2-8k21+4k2，从而y1=4k1+4k2，
即S(2-8k21+4k2，4k1+4k2)，
又B(2, 0)由y=-14k(x-2)x=103，
得x=103y=-13k，
∴ N(103，-13k)，
故|MN|=|16k3+13k|
又k>0，
∴ |MN|=16k3+13k≥216k3⋅13k=83，
当且仅当16k3=13k，即k=14时等号成立．
∴ k=14时，线段MN的长度取最小值83.
(3)由(2)可知，当MN取最小值时，k=14
此时BS的方程为x+y-2=0,S(65，45)，
∴ |BS|=425
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，
所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l'上．
设直线l':x+y+t=0，则由|t+2|2=24，
解得t=-32或t=-52．
又因为T为直线l'与椭圆C的交点，
所以经检验得t=-32，此时点T满足条件．
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