高考数学专题复习练习：6-4 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－　　　　　　B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ ‎【解析】 该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ‎＝n2＋1－.‎ ‎【答案】 A ‎2．(2016·黑龙江哈尔滨六中下学期开学考试)在等比数列{an}中，a3＝9，前3项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ ‎【答案】 C ‎3．(2016·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)‎ A．－100 B．0‎ C．100 D．10 200‎ ‎【解析】 若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，所以an是首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以an是首项为a1＝3，公差为4的等差数列．‎ 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋×‎ ‎4＋50×(－5)－×4＝－100.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2016·济南模拟)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)‎ A．76 B．78‎ C．80 D．82‎ ‎【解析】 由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.‎ ‎【答案】 B A. B. C. D. ‎【答案】 C ‎6．(2016·河北衡水中学二调)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，则S25＝(　　)‎ A．232 B．233‎ C．234 D．235‎ ‎【解析】 ∵数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，‎ ‎∴an＋3－an＝(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)＝2，‎ ‎∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25＝(a1＋a4＋a7＋…＋a25)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a24)＝9×1＋＋8×2＋＋8×3＋＝233，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎7．(2016·郑州一模)整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此数列的前800‎ 项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 017项的和为________．‎ ‎【解析】 由an＋2＝an＋1－an，得an＋2＝an－an－1－an＝－an－1，易得该数列是周期为6的数列，且an＋2＋an－1＝0，S800＝a1＋a2＝2 013，S813＝a1＋a2＋a3＝2 000，‎ ‎∴∴ ‎∴依次可得a5＝－1 000，a6＝13，‎ 由此可知an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4＋an＋5＋an＋6＝0，‎ ‎∴S2 017＝a1＝1 013.‎ ‎【答案】 1 013‎ ‎8．(2016·洛阳统考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*，2Sn＝a＋an，令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．‎ ‎【解析】 ∵2Sn＝a＋an，①‎ ‎∴2Sn＋1＝a＋an＋1，②‎ ‎②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，a－a－an＋1－an＝0.‎ ‎(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.‎ 又∵{an}为正项数列，‎ ‎∴an＋1－an－1＝0.‎ 即an＋1－an＝1.‎ 在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝n.‎ ‎∴bn＝ ‎＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴Tn＝1－，‎ ‎∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.‎ ‎【答案】 9‎ ‎9．(2016·玉林、贵港联考)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，‎ a2－1＝4，＝2，‎ ‎∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.‎ ‎(2)bn＝nan＝n·2n＋n，‎ 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．‎ 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n.‎ 则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.‎ 两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1‎ ‎＝－n·2n＋1，‎ ‎∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ ‎∵1＋2＋3＋…＋n＝，‎ ‎∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.‎ ‎10．(2016·浙江台州九峰高考适应性考试)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝2n＋1，n∈N*，令cn＝，n∈N*，求数列{cncn＋1}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d.‎ ‎∵a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，‎ ‎∴a＝a2·a8，即 ‎(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，‎ 解得d＝0(舍)或d＝1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝n.‎ ‎(2)由a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝2n＋1，得 a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝2n(n≥2)，‎ 两式相减得anbn＝2n＋1－2n＝2n，‎ 即bn＝(n≥2)，‎ 则cn＝＝，cn＋1＝＝，‎ ‎∴cncn＋1＝＝－，‎ ‎∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·福建厦门一中周考)已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则＋＋(　　)‎ A．有最大值　　　　 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 ‎【解析】 因为数列{an}是等比数列，所以a2a5a8＝(a5)3＝－8，即a5＝－2，所以＋＋＝＋＋＝1＋，‎ 由a5＝a1q4＝－2＜0知，a1＜0，a9＜0，所以－－≥2＝3，当且仅当a9＝9a1时，等号成立，即＋＋≥1＋＝，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎12．已知数列{an}中，a1＝8，且2an＋1＋an＝6，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－2n－4|＜的最小正整数n是(　　)‎ A．12 B．13‎ C．15 D．16‎ ‎【解析】 2an＋1＋an＝6⇒an＋1－2＝－(an－2)，‎ 所以{an－2}是首项为6，公比为－的等比数列，an－2＝6×，‎ 则Sn＝2n＋4－4×，‎ ‎∴Sn－2n－4＝－4×.‎ ‎∴|Sn－2n－4|＜⇒＜⇒2n－2＞2 008，又210＝1 024，211＝2 048，所以满足条件的最小正整数n＝13，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2016·课标全国Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．‎ ‎【解析】 设公比为q，由题可知a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，则q＝，a1＝8，∴an＝8·＝24－n.当n＝4时，a4＝1，∴a1＞a2＞a3＞a4＝1＞a5＞a6＞….‎ ‎∴a1a2…an取最大值时n＝3或4.∴a1a2…an的最大值为64.‎ ‎【答案】 64‎ ‎14．(2016·昆明统考)在数列{an}中，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．‎ ‎【解析】 由题意可得，a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又an＞0，∴2an＋1－anan＋1－1＝0，又2－an≠0，∴an＋1＝⇒an＋1－1＝，又可知an≠1，∴＝－1，‎ ‎∴是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－2－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝＝－，∴a1＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝.‎ ‎【答案】 ‎15．(2016·山西太原二模)已知公比q＞0的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝7.数列{bn}中，b1＝0，b3＝1.‎ ‎(1)若数列{an＋bn}是等差数列，求an，bn；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)由题意得S3＝1＋q＋q2＝7，‎ ‎∴q＝－3或q＝2.‎ ‎∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1.‎ ‎∴a1＋b1＝1，a3＋b3＝5，‎ ‎∴数列{an＋bn}的公差d＝2，‎ ‎∴an＋bn＝2n－1.‎ ‎∴bn＝2n－1－an＝2n－1－2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n－1－2n－1，‎ ‎∴Tn＝(1－20)＋(3－21)＋(5－22)＋…＋[(2n－1)－2n－1]‎ ‎＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(20＋21＋22＋…＋2n－1)‎ ‎＝n2－2n＋1.‎