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2005年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 设集合A={x||4x-1|≥9, x∈R}，B={x|xx+3≥0, x∈R}，则A∩B=( )
A.(-3, -2] B.(-3, -2]∪[0,52]
C.(-∞, -3]∪[52，+∞) D.(-∞, -3)∪[52，+∞)
2. 若复数a+3i1+2i（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为( )
A.-2 B.4 C.-6 D.6
3. 给出下列三个命题：①若a≥b>-1，则a1+a≥b1+b；②若正整数m和n满足m≤n，则m(n-m)≤n2；③设P(x1, y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a, b)为圆心且半径为1．当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l B.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D.n⊥α，n⊥β，m⊥α
5. 设双曲线以椭圆x225+y29=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A.±2 B.±43 C.±12 D.±34
6. 从集合{1, 2, 3, ..., 11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2+y2n2=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x, y)||x|<11, 且|y|<9}内的椭圆个数为（ ）
A.43 B.72 C.86 D.90
7. 某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A.81125 B.54125 C.36125 D.27125
8. 要得到函数y=2cosx的图象，只需将函数y=2sin(2x+π4)的图象上所有的点的（ ）
A.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度
B.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π4个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π8个单位长度
9. 设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数，则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为（ ）
A.(a2-12a, +∞) B.(-∞, a2-12a) C.(a2-12a, a) D.[a, +∞)
10. 若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0, a≠1)在区间(-12，0)内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.[14，1) B.[34，1) C.(94，+∞) D.(1,94)
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 设n∈N*，则Cn1+Cn26+Cn362+...+Cnn6n-1=________．
12. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于________．
13. 在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*)，则S10=________．
6 / 6
14. 在直角坐标系xOy中，已知点A(0, 1)和点B(-3, 4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC→|=2，则OC→=________．
15. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，表中是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________（元）．
投资成功
投资失败
192次
8次
16. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=12对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________．
三、解答题（共6小题，17~20题每题12分，21、22题每题14分，满分76分）
17. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=12+3，求∠A和tanB的值．
18. 已知un=an+an-1b+an-2b2+...+abn-1+bn(n∈N*, a>0, b>0)．
（1）当a=b时，求数列{un}的前n项和Sn；
（2）求limn→∞unun-1．
19. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120∘，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点
（1）求A1A与底面ABC所成的角；
（2）证明A1E // 平面B1FC；
（3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．
20. 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC80（米），山高OB220（米），OA200
6 / 6
（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=12．试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？
21. 抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0, y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1, y1)B(x2, y2)两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M，满足BM→=λMA→，证明线段PM的中点在y轴上；
（3）当λ=1时，若点P的坐标为(1, -1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
22. 设函数f(x)=xsinx(x∈R)．
（1）证明f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx，其中为k为整数；
（2）设x0为f(x)的一个极值点，证明[f(x0)]2=x041+x02；
（3）设f(x)在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，an，…，证明π20，则∠A=60∘；
因此，在△ABC中，∠C=180∘-∠A-∠B=120∘-∠B．
由已知条件，应用正弦定理12+3=cb=sinCsinB=sin(120∘-B)sinB=sin120∘cosB-cos120∘sinBsinB=32cotB+12，
解得cotB=2，从而tanB=12．
所以∠A=60∘，tanB=12．
18.解：（1）当a=b时，un=(n+1)an．这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+(n+1)an． ①
①式两边同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+(n+1)an+1②
①式减去②式，得(1-a)Sn=2a+a2+a3++an-(n+1)an+1
若a≠1，(1-a)Sn=a(1-an)1-a-(n+1)an+1+a，
Sn=a(1-an)(1-a)2+a-(n+1)an+11-a=(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a(1-a)2
若a=1，Sn=2+3++n+(n+1)=n(n+3)2．
（2）由（1），当a=b时，un=(n+1)an，
则limn→∞unun-1=limn→∞(n+1)annan-1=limn→∞a(n+1)n=a．
当a≠b时，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+ba+(ba)2+(ba)n]=an1-(ba)n+11-ba=1a-b(an+1-bn+1)
此时，unun-1=an+1-bn+1an-bn．
若a>b>0，limn→∞unun-1=limn→∞an+1-bn+1an-bn=limn→∞a-b(ba)n1-(ba)n=a．
若b>a>0，limn→∞unun-1=limn→∞a(ab)n-b(ab)n-1=b．
19.解：（1）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵ ∠A1AB=∠A1AC，∴ AG为∠BAC的平分线．
又∵ AB=AC，∴ AG⊥BC，且G为BC的中点．
6 / 6
因此，由三垂线定理A1A⊥BC．
∵ A1A // B1B，且EG // B1B，∴ EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60∘．
（2）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E // FP．
而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E // 平面B1FC．
（3）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≅△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵ A1H⊥平面ABC，∴ H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中，A1O=A1FcosAA1H=12acos30∘=3a3．
故所求球的半径R=33a，球的体积V=43πR3=4327πa3．
20.解：如图所示，建立平面直角坐标系，
则A(200, 0)，B(0, 220)，C(0, 300)．
直线l的方程为y=(x-200)tanα，即y=x-2002．
设点P的坐标为(x, y)，则P(x,x-2002)(x>200)
由经过两点的直线的斜率公式kPC=x-2002-300x=x-8002x，kPB=x-2002-220x=x-6402x．
由直线PC到直线PB的角的公式得
tan∠BPC=kPB-kPC1+kPBkPC=1602x⋅=64xx2-288x+160×640
=64x+160×640x-288(x>200)
要使tanBPC达到最大，只须x+160×640x-288达到最小．
由均值不等式x+160×640x-288≥2160×640-288．
当且仅当x=160×640x时上式取等号．故当x=320时tanBPC最大．
这时，点P的纵坐标y为y=320-2002=60．
由此实际问题知，0<∠BPC<π2，
所以tanBPC最大时，∠BPC最大．
故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大．
21.解：（1）由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(0, 14a)，准线方程为y=-14a．
（2）证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0)．
点P(x0, y0)和点A(x1, y1)的坐标是方程组y-y0=k1(x-x0)①y=ax2②的解．
将②式代入①式得ax2-k1x+k1x0-y0=0，于是x1+x0=k1a，故x1=k1a-x0③．
又点P(x0, y0)和点B(x2, y2)的坐标是方程组 y-y0=k2(x-x0)④y=ax2⑤ 的解．
6 / 6
将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0．于是x2+x0=k2a，故x2=k2a-x0．
由已知得，k2=-λk1，则x2=-λak1-x0． ⑥
设点M的坐标为(xM, yM)，由BM→=λMA→，可得 xM=x2+λx11+λ．
将③式和⑥式代入上式得xM=-x0-λx01+λ=-x0，
即xM+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上．
（3）因为点P(1, -1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．
由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得 y1=-(k1+1)2．
将λ=1代入⑥式得 x2=k1-1，代入y=-x2得 y2=-(k2+1)2．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1-1, -k12-2k1-1)，B(k1-1, -k12+2k1-1)．
于是AP→=(k1+2, k12+2k1)，AB→=(2k1, 4k1)，
AP→⋅AB→=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2(k1+2)(2+k11)．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有AP→⋅AB→<0．
求得k1的取值范围是k1<-2，或-120是f'(x)=0的任意正实数根，即x0=-tanx0，
则存在一个非负整数k，使x0∈(π2+kπ, π+kπ)，即x0在第二或第四象限内．
由①式，f'(x)=cosx(tanx+x)在第二或第四象限中的符号可列表如下：
x
(π2+kπ, x0)
x0
(x0, π+kπ)
f'(x)的符号
k为奇数
-
0
+
k为偶数
+
0
-
所以满足f'(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点．
由题设条件，a1，a2，an，为方程x=-tanx的全部正实数根且满足a10，由②式知tan(an+1-an)<0．
由此可知an+1-an必在第二象限，
即an+1-an<π．综上，π2
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