高考数学专题复习课件：13-3 数学归纳法 61页

§13.3 　数学归纳法 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解数学归纳法的原理 .2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取 _____________ ( n 0 ∈ N * ) 时命题成立； 第一个值 n 0 (2)( 归纳递推 ) 假设 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N * ) 时命题成立，证明当 __________ 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立． n ＝ k ＋ 1 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n ＝ 1 时结论成立． ( 　　 ) (2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证 明． ( 　　 ) (3) 用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用． ( 　　 ) (4) 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，项数都增加了一项． ( 　　 ) (5) 用数学归纳法证明等式 “ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ＋ 2 ＝ 2 n ＋ 3 － 1 ” ，验证 n ＝ 1 时，左边式子应为 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 .( 　　 ) (6) 用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时， n 0 ＝ 3. ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 【 答案 】 C A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 0 【 解析 】 凸 n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验 n ＝ 3. 【 答案 】 C 【 答案 】 D 【 答案 】 3 　 4 　 5 　 n ＋ 1 【 方法规律 】 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1) 明确初始值 n 0 的取值并验证 n ＝ n 0 时等式成立． (2) 由 n ＝ k 证明 n ＝ k ＋ 1 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3) 掌握恒等变形常用的方法： ① 因式分解； ② 添拆项； ③ 配方法． 跟踪训练 1 求证： ( n ＋ 1)( n ＋ 2)· … ·( n ＋ n ) ＝ 2 n · 1 · 3 · 5 · … · (2 n － 1)( n ∈ N * ) ． 【 证明 】 (1) 当 n ＝ 1 时，等式左边＝ 2 ，右边＝ 2 ，故等式成立； (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N * ) 时等式成立， 即 ( k ＋ 1)( k ＋ 2)· … ·( k ＋ k ) ＝ 2 k · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1) ， 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， 左边＝ ( k ＋ 1 ＋ 1)( k ＋ 1 ＋ 2)· … ·( k ＋ 1 ＋ k ＋ 1) ＝ ( k ＋ 2)( k ＋ 3)· … ·( k ＋ k )(2 k ＋ 1)(2 k ＋ 2) ＝ 2 k · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1)(2 k ＋ 1)·2 ＝ 2 k ＋ 1 · 1 · 3 · 5 · … · (2 k － 1)(2 k ＋ 1) ， 所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立． 由 (1)(2) 可知，对所有 n ∈ N * 等式成立． 【 方法规律 】 (1) 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2) 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n ＝ k 成立，推证 n ＝ k ＋ 1 时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差 ( 求商 ) 比较法、放缩法等证明． 有 a 2 ＜ a 3 ，即 n ＝ 1 时 ② 成立． 假设 n ＝ k 时，结论成立，即 a 2 k ＜ a 2 k ＋ 1 . 由 ① 及 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1] 上为减函数，得 a 2 k ＋ 1 ＝ f ( a 2 k ) ＞ f ( a 2 k ＋ 1 ) ＝ a 2 k ＋ 2 ， a 2( k ＋ 1) ＝ f ( a 2 k ＋ 1 ) ＜ f ( a 2 k ＋ 2 ) ＝ a 2( k ＋ 1) ＋ 1 . 这就是说，当 n ＝ k ＋ 1 时 ② 成立， 所以 ② 对一切 n ∈ N * 成立． 【 方法规律 】 (1) 利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” ，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2) “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的基本步骤是 “ 试验 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” ． 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题． 跟踪训练 3 (1) (2015· 江苏 ) 已知集合 X ＝ {1 ， 2 ， 3} ， Y n ＝ {1 ， 2 ， 3 ， … ， n }( n ∈ N * ) ，设 S n ＝ {( a ， b )| a 整除 b 或 b 整除 a ， a ∈ X ， b ∈ Y n } ，令 f ( n ) 表示集合 S n 所含元素的个数． ① 写出 f (6) 的值； ② 当 n ≥ 6 时，写出 f ( n ) 的表达式，并用数学归纳法证明． (2) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且方程 x 2 － a n x － a n ＝ 0 有一根为 S n － 1( n ∈ N * ) ． ① 求 a 1 ， a 2 ； ② 猜想数列 { S n } 的通项公式，并给出证明． 【 解析 】 (1) ① Y 6 ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， S 6 中的元素 ( a ， b ) 满足：若 a ＝ 1 ，则 b ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ；若 a ＝ 2 ，则 b ＝ 1 ， 2 ， 4 ， 6 ；若 a ＝ 3 ，则 b ＝ 1 ， 3 ， 6. 所以 f (6) ＝ 13. ② 当 n ≥ 6 时， 答题模板系列 9 归纳 — 猜想 — 证明问题 【 典例 】 (12 分 ) 数列 { a n } 满足 S n ＝ 2 n － a n ( n ∈ N * ) ． (1) 计算 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ，并由此猜想通项公式 a n ； (2) 证明 (1) 中的猜想． 【 思维点拨 】 (1) 由 S 1 ＝ a 1 算出 a 1 ；由 a n ＝ S n － S n － 1 算出 a 2 ， a 3 ， a 4 观察所得数值的特征猜出通项公式． (2) 用数学归纳法证明． 【 答题模板 】 归纳 — 猜想 — 证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论． 第二步：验证一般结论对第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) 成立． 第三步：假设 n ＝ k ( k ≥ n 0 ) 时结论成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意 n ≥ n 0 ， n ∈ N * 成立． 【 温馨提醒 】 解决数学归纳法中 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1) 归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难． (2) 证明 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法． (3) 不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题 . ► 方法与技巧 1 ．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2 ．归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1) 归纳假设就是已知条件； (2) 在推证 n ＝ k ＋ 1 时，必须用上归纳假设． 3 ．利用归纳假设的技巧 在推证 n ＝ k ＋ 1 时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握 n ＝ k 与 n ＝ k ＋ 1 之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． ► 失误与防范 1 ．数学归纳法证题时初始值 n 0 不一定是 1 ； 2 ．推证 n ＝ k ＋ 1 时一定要用上 n ＝ k 时的假设，否则不是数学归纳法 .