高考数学专题复习课件：7-1 不等关系与不等式 47页

§7.1 　不等关系与不等式 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2. 了解不等式 ( 组 ) 的实际背景； 3. 掌握不等式的性质及应用． 2 ．不等式的基本性质 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 【 答案 】 B A ． ①② B ． ②③ C ． ①④ D ． ①③ 【 答案 】 D 3 ．若 a ， b ∈ R ，若 a ＋ | b | ＜ 0 ，则下列不等式中正确的是 ( 　　 ) A ． a － b ＞ 0 B ． a 3 ＋ b 3 ＞ 0 C ． a 2 － b 2 ＜ 0 D ． a ＋ b ＜ 0 【 解析 】 由 a ＋ | b | ＜ 0 知， a ＜ 0 ，且 | a | ＞ | b | ， 当 b ≥ 0 时， a ＋ b ＜ 0 成立， 当 b ＜ 0 时， a ＋ b ＜ 0 成立， ∴ a ＋ b ＜ 0 成立． 【 答案 】 D 4 ． ( 教材改编 ) 下列各组代数式的关系正确的是 ________ ． ① x 2 ＋ 5 x ＋ 6 ＜ 2 x 2 ＋ 5 x ＋ 9 ； ② ( x － 3) 2 ＜ ( x － 2)( x － 4) ； ③ 当 x ＞ 1 时， x 3 ＞ x 2 － x ＋ 1 ； ④ x 2 ＋ y 2 ＋ 1 ＞ 2( x ＋ y － 1) ． 【 解析 】 ① 2 x 2 ＋ 5 x ＋ 9 － ( x 2 ＋ 5 x ＋ 6) ＝ x 2 ＋ 3 ＞ 0 ， 即 x 2 ＋ 5 x ＋ 6 ＜ 2 x 2 ＋ 5 x ＋ 9. ② ( x － 2)( x － 4) － ( x － 3) 2 ＝ x 2 － 6 x ＋ 8 － ( x 2 － 6 x ＋ 9) ＝－ 1 ＜ 0 ， 即 ( x － 2)( x － 4) ＜ ( x － 3) 2 . ③ 当 x ＞ 1 时， x 3 － x 2 ＋ x － 1 ＝ x 2 ( x － 1) ＋ ( x － 1) ＝ ( x － 1)( x 2 ＋ 1) ＞ 0 ， 即 x 3 ＞ x 2 － x ＋ 1. ④ x 2 ＋ y 2 ＋ 1 － 2( x ＋ y － 1) ＝ ( x 2 － 2 x ＋ 1) ＋ ( y 2 － 2 y ＋ 1) ＋ 1 ＝ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ 1 ＞ 0 ， 即 x 2 ＋ y 2 ＋ 1 ＞ 2( x ＋ y － 1) ． 【 答案 】 ①③④ 题型一　比较两个数 ( 式 ) 的大小 【 例 1 】 (1) (2016· 长春模拟 ) 已知实数 a ， b ， c 满足 b ＋ c ＝ 6 － 4 a ＋ 3 a 2 ， c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( 　　 ) A ． c ≥ b ＞ a 　　　　　　　 B ． a ＞ c ≥ b C ． c ＞ b ＞ a D ． a ＞ c ＞ b 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 【 方法规律 】 比较大小的常用方法 (1) 作差法： 一般步骤： ① 作差； ② 变形； ③ 定号； ④ 结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2) 作商法： 一般步骤： ① 作商； ② 变形； ③ 判断商与 1 的大小； ④ 结论． (3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． (2) 若 a ＝ 18 16 ， b ＝ 16 18 ，则 a 与 b 的大小关系为 ________ ． 【 答案 】 (1)B 　 (2) a ＜ b 【 解析 】 只有在 a ＞ b ＞ 0 时， A 才有意义， A 错； B 选项需要 a ， b 同正或同负， B 错； C 只有 a ＞ 0 时正确；因为 a ≠ b ，所以 D 正确． 【 答案 】 D 【 方法规律 】 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 【 答案 】 C 题型三　不等式性质的应用 【 例 3 】 已知－ 1 ＜ x ＜ 4 ， 2 ＜ y ＜ 3 ，则 x － y 的取值范围是 ________ ， 3 x ＋ 2 y 的取值范围是 ________ ． 【 解析 】 ∵ － 1 ＜ x ＜ 4 ， 2 ＜ y ＜ 3. ∴ － 3 ＜－ y ＜－ 2 ， ∴ － 4 ＜ x － y ＜ 2. 由－ 1 ＜ x ＜ 4 ， 2 ＜ y ＜ 3 ，得－ 3 ＜ 3 x ＜ 12 ， 4 ＜ 2 y ＜ 6 ， ∴ 1 ＜ 3 x ＋ 2 y ＜ 18. 【 答案 】 ( － 4 ， 2) 　 (1 ， 18) 探究 1 　 将本例条件改为－ 1 ＜ x ＜ y ＜ 3 ，求 x － y 的取值范围． 【 解析 】 ∵ － 1 ＜ x ＜ 3 ，－ 1 ＜ y ＜ 3 ， ∴ － 3 ＜－ y ＜ 1 ， ∴ － 4 ＜ x － y ＜ 4. ① 又 ∵ x ＜ y ， ∴ x － y ＜ 0 ， ② 由 ①② 得－ 4 ＜ x － y ＜ 0. 故 x － y 的取值范围为 ( － 4 ， 0) ． 探究 2 　 若将本例条件改为 “ － 1 ＜ x ＋ y ＜ 4 ， 2 ＜ x － y ＜ 3 ” ，求 3 x ＋ 2 y 的取值范围． 【 方法规律 】 由 a ＜ f ( x ， y ) ＜ b ， c ＜ g ( x ， y ) ＜ d ，求 F ( x ， y ) 的取值范围，可利用待定系数法解决，即设 F ( x ， y ) ＝ mf ( x ， y ) ＋ ng ( x ， y )( 或其他形式 ) ，通过恒等变形求得 m ， n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F ( x ， y ) 的取值范围． 构造函数 y ＝ x c ， ∵ c ＜ 0 ， ∴ y ＝ x c 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， 又 a ＞ b ＞ 1 ， ∴ a c ＜ b c ，知 ② 正确； ∵ a ＞ b ＞ 1 ， c ＜ 0 ， ∴ a － c ＞ b － c ＞ 1 ， ∴ log b ( a － c ) ＞ log a ( a － c ) ＞ log a ( b － c ) ，知 ③ 正确． 【 答案 】 (1)C 　 (2)D 易错警示系列 8 不等式变形中扩大变量范围致误 【 典例 】 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ，若 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2 ， 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，则 f ( － 2) 的取值范围是 ________ ． 【 易错分析 】 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出 a ， b 的范围，再求 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b 的范围，导致变量范围扩大． 【 答案 】 [5 ， 10] 【 温馨提醒 】 (1) 此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过 “ 一次性 ” 使用不等式的运算求得整体范围． (2) 求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围 .