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  • 2021-06-30 发布

2013天津卷(理)数学试题

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‎2013·天津卷(理科数学)‎ ‎                   ‎ ‎1. 已知集合A={x∈||x|≤2},B={x∈|x≤1},则A∩B=(  )‎ A.(-∞,2] B.[1,2]‎ C.[-2,2] D.[-2,1]‎ ‎1.D [解析] A∩B={x∈|-2≤x≤2}∩{x∈|x≤1}={x∈|-2≤x≤1}.‎ ‎2. 设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为(  )‎ A.-7 B.-4 C.1 D.2‎ ‎2.A [解析] 作出可行域,如图阴影部分.‎ 联立解得(5,3),当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值z=3-2×5=-7.‎ ‎3. 阅读如图1-1所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为(  )‎ 图1-1‎ A.64 B.73 C.512 D.585‎ ‎3.B [解析] 当x=1时,S=0+1=1;当x=2时,S=1+23=9;当x=4时,S=9+43=73满足题意输出.‎ ‎4. 已知下列三个命题:‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;‎ ‎③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.‎ 其中真命题的序号是(  )‎ A.①②③ B.①②‎ C.①③ D.②③‎ ‎4.C [解析] 由球的体积公式V=πR3知体积与半径是立方关系,①正确.平均数反映数据的所有信息,标准差反映数据的离散程度,②不正确.圆心到直线的距离为==r,即直线与圆相切,③正确.‎ ‎5., 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ ‎5.C [解析] 双曲线的离心率e===2,解得=,联立得y=.又因为S△OAB=×=,将=代入解得p=2.‎ ‎6. 在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=(  )‎ A. B. C. D. ‎6.C [解析] 由余弦定理得AC2=2+9-2×3××=5,即AC=,由正弦定理得=,‎ 解得sin ∠BAC=.‎ ‎7. 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.B [解析] f(x)=2x|log0.5 x|-1== ‎∵f(x)=-2xlog2x-1在(0,1]上递减且x接近于0时,f(x)接近于正无穷大,f(1)=-1<0,∴f(x)在(0,1]上有一零点;又∵f(x)=2xlog2x-1在(1,+∞)上递增,且f(2)=22×log2 2-1=3>0,∴f(x)在(1,+∞)上有一零点.故f(x)共有2个零点.‎ ‎8. 已知函数f(x)=x(1+a|x|),设关于x的不等式f(x+a)f(x+a)可解得-0,则当a=________时,+取得最小值.‎ ‎14.-2 [解析] +=+=++≥+2 ≥-+1=,当且仅当=时,等号成立.联立a+b=2,b>0,a<0.可解得a=-2.‎ ‎15., 已知函数f(x)=-sin2x++6sin xcos x-2cos2 x+1,x∈‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间0,上的最大值和最小值.‎ ‎15.解:(1)f(x)=-sin 2x·cos-cos 2x·sin+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2 sin2x-.‎ 所以,f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间0,上是增函数,在区间,上是减函数.又f(0)=-2,f=2 ,‎ f=2,故函数f(x)在区间0,上的最大值为2 ,最小值为-2.‎ ‎16., 一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;‎ ‎(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎16.解:设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==.‎ 所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.‎ ‎17.,, 如图1-3所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明:B1C1⊥CE;‎ ‎(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;‎ ‎(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长.‎ 图1-1‎ ‎17.解:方法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).‎ ‎(1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.‎ ‎(2)=(1,-2,-1),‎ 设平面B1CE的法向量=(x,y,z),‎ 则即消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为=(-3,-2,1).‎ 由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.‎ 于是cos〈,〉===-,从而sin〈,〉=.‎ 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.‎ ‎(3)=(0,1,0),=(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.‎ 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则 sin θ=|cos〈,〉|==‎ =.‎ 于是=,解得λ=(负值舍去),所以AM=.‎ 方法二:(1)证明:因为侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1,‎ B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1C+EC,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E.又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以 B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.‎ ‎(2)过B1 作B1G⊥CE于点G,联结C1G.由(1),B1C1⊥CE.故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin∠B1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.‎ ‎(3)联结D1E, 过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,联结AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.‎ 设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=x,AH=x.在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得x2=1+x2+x.‎ 整理得5x2-2 x-6=0,解得x=(负值舍去),所以线段AM的长为.‎ ‎18., 设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若·+·=8,求k的值.‎ ‎18.解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,‎ 代入椭圆的方程有+=1,解得y=±.于是=,解得b=.‎ 又a2-c2=b2,从而a=,c=1,‎ 所以所求椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).‎ 由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,‎ 可得x1+x2=-,x1x2=.‎ 因为A(-,0),B(,0),‎ 所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2‎ ‎=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=6+.‎ 由已知得6+=8,解得k=±.‎ ‎19. 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=Sn-(n∈*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ ‎19.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2==.又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-,故等比数列{an}的通项公式为an=×-n-1=(-1)n-1·.‎ ‎(2)由(1)得Sn=1--n= 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1Sn-≥S2-=-=-.‎ 综上,对于n∈*,总有-≤Sn-≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.‎ ‎20. 已知函数f(x)=x2ln x.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);‎ ‎(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t).证明:当t>e2时,有<<.‎ ‎20.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f′(x)=0,得x=.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎0, ,+∞‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极小值  所以函数f(x)的单调递减区间是0,,单调递增区间是,+∞.‎ ‎(2)证明:当00,‎ 令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).‎ 由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.h(1)=-t<0,h(et)=e2tln et-t=t(e2t-1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.‎ ‎(3)证明:因为s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,从而====,‎ 其中u=ln s.‎ 要使<<成立,只需0e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.‎ 所以s>e,即u>1,从而ln u>0成立.‎ 另一方面,令F(u)=ln u-,u>1.F′(u)=-,令F′(u)=0,得u=2.当10;当u>2时.F′(u)<0,故对u>1,F(u)≤F(2)<0,因此ln u<成立.‎ 综上,当t>e2时,有<<.‎