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- 2021-06-30 发布
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2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线
一、选择题
.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知直线和直线,抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 ( )
A. B. C. D.
.(2013北京东城高三二模数学理科)过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 ( )
A. B. C. D.
.(2013北京西城高三二模数学理科)已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 ( )
A. B. C. D.
.(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 ( )
A. B.1 C. D.2
.(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件 ( )
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
.(2013届北京海滨一模理科)抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最
小值是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
.(北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷(解析))在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为
,那么_______.
.(2013北京房山二模数学理科试题及答案)抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线
上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为______.
.(2013届北京西城区一模理科)在直角坐标系中,点与点关于原点对称.点在抛物线上,且直线与的斜率之积等于,则______.
三、解答题
.(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分13分)已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆上,为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值.
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.
.(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,已知抛物线的焦点为.过点
的直线交抛物线于,
两点,直线,分别与抛物线交于点,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为.证明:为定值.
.(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求△面积的最大值.
.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线交于两点(不同于点),直线分别交直线于点.
(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;
(Ⅱ)已知为原点,求证:为定值.
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线参考答案
一、选择题
,【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为,所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为,
所以,其中为焦点到直线的距离,所以,所以距离之和最小值是2,选B.
D
B;
A
A
B
二、填空题
答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以.
1
;
三、解答题
解:(I)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为, 则所以椭圆的方程为……5分
(II)当直线斜率存在时,设直线方程为,
则由
消去得,, …………………6分
, ①…………7分
设点的坐标分别为,则:
,…………8分
由于点在椭圆上,所以 . ……… 9分
从而,化简得,经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为:
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,
从而点的坐标为,直线的方程为,所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
解:(I)
由已知则
(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴),
记的坐标分别为,其中
并设直线的斜率为
B
A
C
D
O
y
x
则有①
又因为在抛物线上,故有
代入①式得
②
因为
即
所以
所以将②代入可得:
即,
得
正方形的边长为
易知, 所以
所以正方形ABCD面积的最小值为.
(Ⅰ)解:依题意,设直线的方程为. ………………1分
将其代入,消去,整理得 . ………………4分
从而. ………………5分
(Ⅱ)证明:设,.
则 . ………………7分
设直线的方程为,将其代入,消去,
整理得 . ………………9分
所以 . ………………10分
同理可得 . ………………11分
故. ………………13分
由(Ⅰ)得 ,为定值. ………………14分
解:(Ⅰ)设圆心坐标为,那么,化简得
(Ⅱ)解法一:设
设直线PQ的方程为,代入曲线C的方程得,
所以
因为,所以
所以,
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减,得
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(),所以点M到直线PQ的距离为
当时, ,此时的面积的取最大值
解法二: 设,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减得,
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(,)
设PQ中点为C,则C的坐标为(,),所以MC平行于y轴,所以
设点M到直线PQ的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) .
又因为,所以,
即,.
所以 (当且仅当时等号成立) .
因此,,
所以的面积的最大值为.
解:(Ⅰ)将代入,得
所以抛物线方程为,焦点坐标为 ………………3分
(Ⅱ)设,,,
法一:
因为直线不经过点,所以直线一定有斜率
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ,消去,得:
则由韦达定理得:
………………6分
直线的方程为:,即,
令,得 ………………9分
同理可得: ………………10分
又 ,
所以
………………13分
所以,即为定值 ………………14分
法二:
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ,消去,得:
则由韦达定理得:
………………6分
直线的方程为:,即,
令,得 ………………9分
同理可得: ………………10分
又 ,
………………12分
所以,即为定值 ………………13分
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