2014届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离（教师版） 41页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离 一、选择题 ．（2009高考(北京理)）若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为 （　　）‎ A． B．1 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. ‎ 属于基础知识、基本运算的考查.依题意,,,故选 D．‎ ．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是 （　　）‎ A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【答案】A 二、解答题 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）A B C D E N M 如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）求证： // 平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）连结，则.‎ 由已知平面，‎ 因为F A B C D E N M y x z ，‎ 所以平面.……………………2分 又因为平面，‎ 所以.……………………4分 ‎（Ⅱ）与交于，连结.‎ 由已知可得四边形是平行四边形，‎ 所以是的中点.‎ 因为是的中点，‎ 所以.…………………………7分 又平面，‎ 平面，‎ 所以平面. ……………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，, ，‎ ‎.‎ ‎，.…………………………………………10分 设平面的法向量为.‎ 则 ‎ 所以 ‎ 令.‎ 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量，‎ 所以.‎ 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分 ．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；‎ ‎（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;‎ ‎（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值.‎ ‎.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,‎ ‎∴BC∥AD.‎ ‎∵BCË平面AMD,AD平面AMD,‎ ‎∴BC∥平面AMD.‎ ‎∵NB∥MD,‎ ‎∵NBË平面AMD,MD平面AMD,‎ ‎∴NB∥平面AMD.‎ ‎∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,‎ ‎∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分 ‎∵AM平面AMD,‎ ‎∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分 ‎(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)‎ ‎（Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分 则，，,.‎ ‎, ………………………………………6分 ‎，,‎ 设平面MNC的法向量,‎ 则，令，则 … 7分 设AN与平面MNC所成角为,‎ ‎. ……9分 ‎（Ⅲ）设，，，‎ 又，‎ E点的坐标为， …………………………………………………………………11分 面MDC,，‎ 欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，‎ ‎，，‎ ‎ . ………………………………………………………………………………14分 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直, 分别是的中点,,,.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;‎ ‎(3)求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】解:(1)分别是的中点 ‎ ‎ // ‎ 又平面 ‎ ‎//平面 ‎ ‎ ‎ ‎(2) 在中,//, ‎ 平面平面, ‎ 平面,平面 ‎ ‎ ‎ 平面 ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ 所以无论在的何处,都有 ‎ ‎(3) 由(2)平面 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ 是二面角的平面角 ‎ 在中 ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为 ‎ 法二: ‎ ‎(2) 是的中点, ‎ 又平面平面 ‎ 平面 ‎ 同理可得平面 ‎ 在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,, ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ ‎,设,则, ‎ 恒成立,所以无论在的何处,都有 ‎ ‎(3)由(2)知平面的法向量为= ‎ 设平面的法向量为 ‎ 则, ‎ 即 令,则, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为 ‎ ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;‎ ‎（Ⅱ）求证：ABPE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小. ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ） D、E分别为AB、AC中点，‎ ‎_‎ E ‎_‎ D ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ P ‎ DE//BC ．‎ DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，‎ DE//平面PBC ．…………………………4分 ‎（Ⅱ）连结PD，‎ PA=PB，‎ ‎ PD AB． …………………………….5分 ‎，BC AB，‎ ‎ DE AB． .... .......................................................................................................6分 又 ，‎ AB平面PDE．......................................................................................................8分 PEÌ平面PDE，‎ ABPE ． ..........................................................................................................9分 ‎（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，‎ ‎ PD平面ABC．................................................................................................10分 如图,以D为原点建立空间直角坐标系 ‎_‎ E ‎_‎ D ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ P z y x ‎ B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,‎ ‎=(1,0, )，=(0, , ）． ‎ 设平面PBE的法向量，‎ 令 得． ............................11分 DE平面PAB，‎ 平面PAB的法向量为．………………….......................................12分 设二面角的大小为，‎ 由图知，，‎ 所以即二面角的大小为． ..........................................14分[‎ ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图, 是正方形, 平面,‎ ‎,.‎ ‎(Ⅰ) 求证:;‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明: 因为平面, ‎ 所以 ‎ 因为是正方形, ‎ 所以, ‎ 所以平面, ‎ 从而 ‎ ‎(Ⅱ)解:因为两两垂直, ‎ 所以建立空间直角坐标系如图所示 ‎ ‎ ‎ 设,可知 ‎ 则 ,,,,,, ‎ 所以,, ‎ 设平面的法向量为,则,即, ‎ 令,则 ‎ 因为平面,所以为平面的法向量, , ‎ 所以 ‎ 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 ‎ ‎(Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设. ‎ 则,因为平面,所以, ‎ 即,解得 ‎ 此时,点坐标为,,符合题意 ‎ ．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；‎ ‎（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．‎ ‎【答案】证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。‎ 连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。‎ 因为平面，平面，所以平面。‎ ‎（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：‎ ‎，，，.‎ 则，，设平面的法向量为。‎ 由，得到，令，则，，所以.‎ 又，得。‎ 所以 设与平面所成角为，则。‎ 所以与平面所成角的正弦值为。‎ ．（2013届北京市延庆县一模数学理）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.‎ ‎(Ⅰ)设的中点为，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求斜线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱上存在一点，使得二面角 的大小为，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，‎ 因为侧面底面，侧面底面，侧面，‎ 所以平面. ………3分（Ⅱ）连结，设，建立空间直角坐标系， ‎ 则，，，，，………5分 ‎,平面的法向量，‎ 设斜线与平面所成角的为，‎ 则. ………8分 ‎（Ⅲ）设，则，‎ ‎，， ………10分 设平面的法向量为，则，‎ ‎，‎ 取，得，又平面的法向量………12分 所以，所以，‎ 解得（舍去）或.所以，此时. ………14分 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，‎ 为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：// 平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．‎ 因为四边形为正方形，所以为中点．‎ 因为 为棱中点． ‎ 所以 ． ………………3分 因为 平面，平面， ‎ 所以直线//平面． ………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………5分 因为四边形为正方形，所以， ‎ 所以平面． ………………7分 ‎ 所以平面平面． ………………8分 ‎ ‎（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．‎ 因为平面平面，所以平面．‎ 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． …………9分 设，则． ‎ 所以 ，． ‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………11分 ‎ 易知平面的法向量为． ………………12分 ‎ 所以 ． ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角， ‎ 所以二面角的余弦值为． ………………14分 解法二：取中点，中点，连结，．‎ 因为为正方形，所以．‎ 由（Ⅱ）可得平面．‎ 因为，所以．‎ 由两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系． ………………9分 设，则． ‎ 所以 ，． ‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………11分 ‎ 易知平面的法向量为． ………………12分 ‎ 所以． ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角， ‎ 所以二面角的余弦值为． ………………14分 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形是正方形,平面,,,,, 分别为,,的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.‎ A D B C P E F G H ‎【答案】(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以. ‎ 又平面,平面, 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)因为平面,, ‎ 所以平面, 所以,. ‎ 又因为四边形是正方形, 所以. ‎ 如图,建立空间直角坐标系, 因为, ‎ A D B C P E F G H z y x ‎ ‎ 所以,,, ‎ ‎,,. ‎ 因为,, 分别为,,的中点, ‎ 所以,,. 所以,. ‎ 设为平面的一个法向量,则,即, ‎ 再令,得.,. ‎ 设为平面的一个法向量,则, ‎ 即,令,得.所以==. ‎ 所以平面与平面所成锐二面角的大小为 ‎ ‎(Ⅲ)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. ‎ 依题意可设,其中.由,则. ‎ 又因为,,所以. ‎ 因为直线与直线所成角为,, ‎ 所以=,即,解得. ‎ 所以,. ‎ 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时 ‎ ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥AM；‎ ‎（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：‎ CN //平面AB‎1M；‎ ‎（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．‎ ‎【答案】证明：‎ ‎（Ⅰ）因为　三棱柱ABC-A1B‎1C1中CC1⊥平面ABC，‎ 所以　 CC1⊥BC． ……………………1分 因为　AC=BC=2，， ‎ 所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………2分 又因为AC∩CC1=C，‎ 所以　BC⊥平面ACC‎1A1． ……………………3分 因为　AM平面ACC‎1A1，‎ 所以　BC⊥AM． ……………………4分 ‎ （Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则 NP∥CC1，且∽． ……………5分 于是有． ‎ 由已知，有．‎ 因为　BB1=CC1．‎ 所以　NP=CM．‎ 所以　四边形MCNP是平行四边形． ……………………6分 所以　CN//MP． ……………………7分 因为　CN平面AB‎1M，MP平面AB‎1M， 　 ……………………8分 所以　CN //平面AB‎1 M．　　　　 ……………………9分 ‎（Ⅲ）因为 BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，‎ 所以 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…………………10分 因为 ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，． 　　　　　　　　　　　 ……………………11分 设平面的法向量，则，．‎ 即 ‎ 令，则，即． ……………………12分 又平面MB‎1C的一个法向量是， ‎ 所以 ． ……………………13分 由图可知二面角A-MB1-C为锐角，‎ 所以 二面角A-MB1-C的大小为． ……………………14分 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体中，，，为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：连接 ‎∵是长方体，‎ ‎∴平面， ‎ 又平面 ‎∴ ………………1分 在长方形中，‎ ‎∴ ………………2分 又 ‎∴平面， ………………3分 而平面 ‎∴ ………………4分 ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则 ‎,‎ 设平面的法向量为，则 ‎ 令，则 ………………7分 ‎ ………………9分 所以 与平面所成角的正弦值为 ………………10分 ‎（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.‎ 设的坐标为，则 因为 ∥平面 所以 ， 即， ，解得， ………………13分 所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.……14分 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)求证:平面;‎ ‎(III)若二面角的大小为,求的长.‎ ‎【答案】(I)证明:在长方体中, ‎ 因为平面,所以. ‎ 因为,所以四边形为正方形, ‎ 因此,又,所以平面. ‎ 又,且,所以四边形为平行四边形. ‎ 又在上,所以平面 ‎ ‎(II)取的中点为,连接. ‎ 因为为的中点,所以且, ‎ 因为为的中点,所以,而,且, ‎ 所以,且,因此四边形为平行四边形, ‎ 所以,而平面,所以平面 ‎ ‎(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设, ‎ x y z ‎ ‎ 则, ‎ 故. ‎ 由(I)可知平面, ‎ 所以是平面的一个法向量. ‎ 设平面的一个法向量为, ‎ 则, ‎ 所以 ‎ 令,则, ‎ 所以. ‎ 设与所成的角为,则. ‎ 因为二面角的大小为,所以,即, ‎ 解得,即的长为1 ‎ ．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：因为，，‎ 在△中，由余弦定理可得 ，‎ 所以 ． ………………2分 又因为 ， ‎ 所以平面． ………………4分 ‎（Ⅱ）解：因为平面，所以．‎ 因为，所以平面． ………………5分 所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系． ………………6分在等腰梯形中，可得 ． ‎ 设，所以．‎ 所以 ，，．‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………8分 设与平面所成的角为，则 ，‎ 所以 与平面所成角的正弦值为． ………………9分 ‎（Ⅲ）解：线段上不存在点，使平面平面．证明如下： ………………10分 假设线段上存在点，设 ，所以． ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎ 所以 取 ，得． ………………12分 要使平面平面，只需， ………………13分 即 ， 此方程无解．‎ 所以线段上不存在点，使平面平面． ………………14分 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体中，，点在棱 上，且．‎ A1‎ B1‎ E C B D1‎ C1‎ A D ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？ ‎ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； ‎ ‎（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的 长．‎ ‎【答案】A1‎ B1‎ E C B D1‎ C1‎ A D 证明：（Ⅰ）在长方体中，‎ 因为面， ‎ 所以． ……………………2分 在矩形中，因为，‎ 所以． ‎ 所以面． ………………………4分 ‎（Ⅱ）A1‎ B1‎ C B D1‎ C1‎ A D x y E z 如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系．‎ 依题意可知，， ‎ ‎，‎ 设的长为，则，‎ ‎．‎ 假设在棱上存在点，使得∥平面．‎ 设点，则，‎ ‎．‎ 易知．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即．………………………………………………7分 令得，，所以．‎ 因为∥平面，等价于且平面．‎ 得，所以．‎ 所以，，所以的长为．………………………………9分 ‎（Ⅲ）因为∥，且点，‎ 所以平面、平面与面是同一个平面．‎ 由（Ⅰ）可知，面，‎ 所以是平面的一个法向量． ………………………………11分 由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．‎ 因为二面角的余弦值为，‎ 所以，解得．‎ 故的长为． …………………………………………………………14分 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1,在直角梯形中,,,,‎ ‎. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. ‎ ‎(I) 求证:平面平面;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.‎ 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是．‎ ‎12．图2是一个有....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................层的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 ‎ 第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第层 ‎ 每边有个点，则这个点阵的点数共有个．‎ ‎13．已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，‎ ‎ 则该展开式中的系数为．‎ ‎(二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)‎ ‎14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的参数方程为 (参数)，‎ ‎ 圆的参数方程为 (参数)，‎ 则直线被圆所截得的弦长为．‎ ‎15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆的两条弦 和相交于点，，为的中点， ，则弦的长度为．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知，．‎ ‎ (1) 求值；‎ ‎(2) 求的值．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图4，在直角梯形中，°．°，，把沿对角线折起后如图5所示 (点记为点)．点在平面上的正投影落在线段上，连接．‎ ‎ (1) 求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎(2) 求二面角的大小的余弦值．‎ ‎【答案】解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 ‎ 所以平面,所以 ‎ 因为在直角梯形中,,, ‎ ‎, ‎ 所以,,所以是等边三角形, ‎ 所以是中点, ‎ 所以 ‎ 同理可证 ‎ 又 ‎ 所以平面 ‎ ‎(II)在平面内过作的垂线 ‎ 如图建立空间直角坐标系, ‎ ‎ ‎ 则,, ‎ 因为, ‎ 设平面的法向量为 ‎ 因为, ‎ 所以有,即, ‎ 令则 所以 ‎ ‎ ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎ ‎(III)存在,事实上记点为即可 ‎ 因为在直角三角形中,, ‎ 在直角三角形中,点 ‎ 所以点到四个点的距离相等 ‎ ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分分)‎ 已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点.‎ ‎(Ⅰ)证明://平面;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的正弦值 ‎【答案】(本小题满分分) ‎ 解: (Ⅰ) ‎ 证明:连结BD交AC于点O,连结EO ‎ O为BD中点,E为PD中点, ‎ ‎∴EO//P B ‎ EO平面AEC,PB平面AEC, ‎ ‎∴ PB//平面AE C. ‎ ‎(Ⅱ)证明: ‎ PA⊥平面ABC D. ‎ 平面ABCD, ‎ ‎∴ ‎ 又在正方形ABCD中且, ‎ ‎∴CD平面PA D ‎ 又平面PCD, ‎ ‎∴平面平面 ‎ ‎(Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空 ‎ 间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 ‎ A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), ‎ D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ‎ PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2). ‎ 设平面AEC的法向量为, , ‎ 则 即 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 令,则 ‎ ‎∴, ‎ 二面角的正弦值为 ‎ ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱中，，‎ 是中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若棱上存在一点，满足，求的长；‎ ‎（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(I) 连接交于点，连接 因为为正方形，所以为中点，‎ 又为中点，所以为的中位线，‎ 所以 ………………2分 又平面，平面 所以平面 ………………4分 ‎（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系 所以 设，所以，‎ 因为，所以 ，解得，所以 ………………8分 ‎（Ⅲ）因为，‎ 设平面的法向量为，‎ 则有，得，‎ 令则，所以可以取， ………………10分 因为平面,取平面的法向量为 ………………11分 所以 ………………13分 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ………………14分 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.‎ 又,且,点分别为的中点.‎ ‎(I) 求证:‎ ‎(Ⅱ) 求二面角值.‎ ‎【答案】(I)因为在正三角形中,为中点, ‎ 所以 ‎ 又平面平面,且平面平面, ‎ 所以平面,所以 ‎ 在中, ‎ 所以,所以, ‎ 即,又 ‎ 所以平面,所以 ‎ ‎(Ⅱ)以为坐标原点,所在直线为坐标轴建立坐标系, ‎ 则, ‎ 由(I)得平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 因为 ‎ 所以解得,取 ‎ 所以, ‎ 所以二面角的值为. ‎ ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)). ‎ ‎(Ⅰ)求证:PBDE;‎ ‎(Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.‎ ‎ 图(1) 图(2)‎ ‎【答案】x y z 解: (Ⅰ),,DEPE, ‎ ‎, DE平面PEB, , BP DE; ‎ ‎(Ⅱ)PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图), ‎ 设PE=,则B(0,4- ,0),D(,0,0),C(2,2-,0),P(0,0, ), ‎ ‎,, ‎ 设面PBC的法向量, ‎ 令, , ‎ ‎, ‎ BC与平面PCD所成角为30°, ‎ ‎ ‎ ‎ , 解得:=,或=4(舍),所以,PE的长为 ‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图,△是等边三角形, ,,将△沿折叠到△的位置,使得.‎ ‎(Ⅰ)求证:; ‎ ‎(Ⅱ)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(共14分) ‎ ‎(Ⅰ)证明:因为 ‎ 所以, ‎ 又因为,且, ‎ 所以 平面, ‎ 因为平面, ‎ 所以 . ‎ ‎(Ⅱ)因为△是等边三角形, ‎ ‎,, ‎ 不防设,则 , ‎ 又因为,分别为,的中点, ‎ 由此以为原点,,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ‎ ‎ ‎ 则有,,,,,. ‎ 所以,. ‎ 设平面的法向量为. ‎ 则即令,则.所以. ‎ 又平面的一个法向量为. ‎ 所以 . ‎ 所以二面角的余弦值为 ‎ ．（2011年高考（北京理））如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,‎ A B C D P ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)若,求与所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.‎ ‎【答案】【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线线垂直、线面垂直的转化,会利用空间直角坐标计算空间角和空间距离. ‎ ‎【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以, ‎ 又因为PA平面ABCD,所以, ‎ 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)设.因为, PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=. ‎ 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系, ‎ 则,所以. ‎ 设与所成的角为,则 ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知.设,则. ‎ 设平面的法向量,则, ‎ 所以 ‎ 令,则,,所以 ‎ 同理,平面PDC的法向量, ‎ 因为平面平面,所以,即,解得. ‎ 所以 ‎ ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）如图所示,在棱锥中, 平面,底面为直角梯形,且//,,‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=, ‎ 取AB中点E,连接CE, ‎ 则四边形AECD为正方形, ‎ AE=CE=2,又BE=, ‎ 则为等腰直角三角形, ‎ ‎, ‎ 又平面ABCD,平面, ‎ ‎,由得平面PAC, ‎ 平面PAC,所以 ‎ ‎(Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为轴, ‎ 建立如图所示的坐标系.则,B(0,4,0), ‎ C(2,2,0), ‎ ‎ ‎ 由(Ⅰ)知即为平面PAC的一个法向量, ‎ ‎, ‎ 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 ‎ ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证: //平面;‎ ‎(Ⅱ) 求证:面平面; ‎ ‎(Ⅲ) 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点, ‎ 为中点.∴在中,// ‎ 且平面,平面 ∴ ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为平面平面, 平面面 ‎ 为正方形,,平面 ‎ 所以平面. ‎ ‎∴ ‎ 又,所以是等腰直角三角形, ‎ 且 即 ‎ ‎,且、面 ‎ 面 ‎ 又面, ‎ ‎∴面面 ‎ ‎(Ⅲ) 如图,取的中点, 连结,. ‎ ‎∵, ∴. ‎ ‎∵侧面底面, ‎ ‎, ∴, ‎ 而分别为的中点,∴,又是正方形,故. ‎ ‎∵,∴,. ‎ 以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, ‎ ‎ ‎ 则有,,,. ‎ 若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结 ‎ 设. ‎ 由(Ⅱ)知平面的法向量为. ‎ 设平面的法向量为.∵, ‎ ‎∴由可得,令,则, ‎ 故∴,解得,. ‎ 所以,在线段上存在点,使得二面角的余弦值为 ‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值． ‎ A B C D E 图1‎ 图2‎ A1‎ B C D E ‎【答案】（Ⅰ）证明： 在△中，‎ ‎.又.‎ 由 ‎. …………………………4分 A1‎ B C D E x z y ‎（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系． ……………………5分 ‎． ‎ 设为平面的一个法向量，‎ 因为 所以， 令，得. ‎ 所以为平面的一个法向量． ……………………7分 设与平面所成角为．‎ 则．‎ 所以与平面所成角的正弦值为． …………………9分 ‎（Ⅲ）设,则 ‎ …………………12分 当时, 的最小值是． ‎ 即为中点时, 的长度最小,最小值为． …………………14分 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求证： ‎ ‎(Ⅱ) 求证：‎ ‎（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。‎ 的中位线 // ……2分 又 ‎ ……4分 ‎（II） 正方形中, ‎ 由已知可得：， …….6分 ‎, …….7分 ‎ …….8分 ‎（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ ‎………9分 ‎ 设 ‎ ……10分 设平面的法向量为 则 ‎ 得 ……11分 取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 ……12分 要使二面角的大小为 ‎ 而 ‎ 解得：‎ 当=时，二面角的大小为 13分 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）‎ 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面ABCD,AD =1,AB=,BC =4.‎ ‎(I)求证:BD⊥PC;‎ ‎(II)求直线AB与平面PDC所成的角;‎ ‎(Ⅲ)设点E在棱PC上,,若DE∥平面PAB,求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎