2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-5离散型随机变量及其分布列课件新人教B版 30页

第五节　 离散型随机变量及其分布列 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 离散型随机变量分布列 (1) 定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i (i=1 ， 2 ， … ， n) 的概率 P(X=x i )=p i ，则表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列， 有时也用等式 _________________________ 表示 X 的分布列 . (2) 性质： ①____________________ ； ② =1. P(X=x i )=p i ， i=1 ， 2 ， … ， n p i ≥0(i=1 ， 2 ， … ， n) 2. 常见的两类分布列 (1) 两点分布： 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P ____ p 1-p 其中 p= _______ 称为成功概率 . P(X=1) (2) 超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X=k)= ， k=0 ， 1 ， 2 ， … ， m ，其中 m=min{M ， n} ，且 n≤N ， M≤N ， n ， M ， N∈N * . X 0 1 … m P … 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 . 【常用结论】 1. 离散型随机变量在指定范围的概率等于本范围内所有随机变量取值的概率和 . 2. 利用 p 1 +p 2 + … +p n =1 可检验所求分布列是否正确 . 3. 若 X 是离散型随机变量，则 Y=aX+b(a ， b∈R) 也是离散型随机变量，且 P(Y=y i )=P(X=x i ) ，其中 y i =ax i +b. 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 抛掷均匀硬币一次 , 出现正面的次数是随机变量 . ( 　　 ) (2) 小明住在石家庄 , 工作在北京 , 已知石家庄到北京的高铁每 20 分钟一班 , 则小 明到达石家庄高铁车站需要等候的时间 X 是离散型随机变量 . ( 　　 ) (3) 某人射击时命中的概率为 0.5, 此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布 . ( 　　 ) (4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名 , 其中女演员的人数 X 服从超几何分布 . ( 　　 ) (5) 离散型随机变量的分布列中 , 随机变量取各个值的概率之和可以小于 1. ( 　　 ) (6) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 正面向上的次数为 0,1, 所以是随机变量 . (2)×. 等候时间 X 不是离散型随机变量 , 因为 X 可以是 [0,20] 内的任何一个实数 . (3)×. 命中的次数 X 的取值是 0,1,2,3, 有 4 个数 , 而两点分布只有 0,1, 所以 X 不服从两点分布 . (4)√.X 的值为 0,1,2,3, 符合超几何分布的特征 . (5)×. 取各个值的概率之和为 1. (6)√. 取各个值时的事件两两互斥 , 它们的并集是必然事件 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 辨别离散型随机变量时出错 考点一、 T1 2 应用分布列的性质时出错 考点一、 T2 3 求分布列、超几何分布等计算概率出错 考点一、 T4 考点二、例 2 4 两点分布的概念理解错误 考点二、例 1 5 交汇问题中计算出错 考点三、 角度 1 ， 2 ， 3 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-3P44 练习 AT2 改编 ) 抛掷两枚质地均匀的硬币，则正面向上的个数 X 的分布列为 ( 　　 ) 【解析】 选 C. 因为 P(X=1)= ，所以 A ， B 不正确； 又因为 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1. 所以 D 不正确，故选 C. 2.( 选修 2-3 P43 例 3 改编 ) 设 X 是一个离散型随机变量 , 其分布列为 : 则 q 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 X -1 0 1 P 2q 2 【解析】 选 B. 由分布列的性质知 2q 2 + -3q+ =1, 解得 q=1 或 q= , 又因为 2q 2 <1,0< <1, 所以舍去 q=1, 所以 q= . 3.( 选修 2-3 P47 习题 2-1BT2 改编 ) 设随机变量 X 的概率分布列为 则 P(|X-3|=1)=________.  X 1 2 3 4 P m 【解析】 由 解得 m= ,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4) = 答案 : 4.( 选修 2-3 P44 练习 BT1 改编 ) 某项大型赛事 , 需要从高校选拔青年志愿者 , 某大学学生实践中心积极参与 , 从 8 名学生会干部 ( 其中男生 5 名 , 女生 3 名 ) 中选 3 名参加志愿者服务活动 . 若所选 3 名学生中的女生人数为 X, 求 X 的分布列 . 【解析】 因为 8 名学生会干部中有 5 名男生 ,3 名女生 , 所以 X 的分布列服从参数为 N=8,M=3,n=3 的超几何分布 . X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 其中 P(X=i)= (i=0,1,2,3), 则 P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = . 所以 X 的分布 列为 X 0 1 2 3 P 思想方法　离散型随机变量及其分布列中的分类与整合思想   【典例】 在一个盒子中 , 放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片 , 现从这个盒子中 , 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y, 记 X=|x-2|+|y-x|. (1) 求随机变量 X 的最大值 , 并求事件“ X 取得最大值”的概率 . (2) 求随机变量 X 的分布列 . 【解析】 (1) 由题意知 ,x,y 可能的取值为 1,2,3, 则 |x-2|≤1,|y-x|≤2, 所以 X≤3, 且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时 ,X=3. 因此 , 随机变量 X 的最大值为 3. 有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9( 种 ), 所以 P(X=3)= , 故随机变量 X 的最大值为 3, 事件“ X 取得最大值”的概率 为 . (2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 当 X=0 时 , 只有 x=2,y=2 这一种情况 ; 当 X=1 时 , 有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况 ; 当 X=2 时 , 有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况 ; 当 X=3 时 , 有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况 . 所以 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , P(X=3)= . 所以 X 的分布列为 : X 0 1 2 3 P 【思想方法指导】 分类与整合思想是将较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题 , 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 . 解决有关离散型随机变量的分布列问题时 , 要注意以下几点 : (1) 仔细审题 , 明确随机变量的所有可能取值及其对应事件 , 做到不重不漏、分类互斥 . (2) 求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的应用 . 【迁移应用】 自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来 , 我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系 . 某公司为了扩大生产规模 , 欲在海上丝绸之路经济带 ( 南线 ): 泉州 — 福州 — 广州 — 海口 — 北海 ( 广西 ) — 河内 — 吉隆坡 — 雅加达 — 科伦坡 — 加尔各答 — 内罗毕 — 雅典 — 威尼斯的 13 个城市中选择 3 个城市建设自己的工业厂房 , 根据这 13 个城市的需求量生产产品 , 并将其销往这 13 个城市 . (1) 求所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率 . (2) 已知每间工业厂房的月产量为 10 万件 , 若一间厂房正常生产 , 则每月可获得 利润 100 万 ; 若一间厂房闲置 , 则该厂房每月亏损 50 万 . 该公司为了确定建设工 业厂房的数目 n, 统计了近 5 年来这 13 个城市中该产品的月需求量数据 , 得如下 频数分布表 : 月需求量 ( 单位 : 万件 ) 100 110 120 130 月份数 6 24 18 12 若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率 , 设该产品每月的总利润为 Y, 分别求出该公司建设工业厂房的数目 n=11,n=12,n=13 时 ,Y 的分布列 . 【解析】 (1) 记事件 A 为“该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内” , 则 P(A)= , 所以该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率 为 . (2)① 当 n=11 时 , 月需求量为 100 万件时 , 月产量为 10×11 万件 , 所以只需要 10 间厂房正常生产 , 每月获利 10×100 万 =1 000 万 , 另外一间闲置 , 亏损 50 万 , 所以月总利润为 1 000-50=950 万 , 此时对应的概率为 =0.1, 同理 P(Y=1 100)=0.9. Y 的分布列为 : Y 950 1 100 P 0.1 0.9 ② 当 n=12 时 ,Y 的分布列为 : ③ 当 n=13 时 ,Y 的分布列为 : Y 900 1 050 1 200 P 0.1 0.4 0.5 Y 850 1 000 1 150 1 300 P 0.1 0.4 0.3 0.2