全国高中数学联赛模拟试题（七） 4页

全国高中数学联赛模拟试题（七）‎ 一、选择题 ‎1、 设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为 ‎（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2‎ ‎2、 整数的末尾两位数字是 ‎（A）10 （B）01 （C）00 （D）20‎ ‎3、 设x=0.820.5，y=sin1，z=log3则x、y、z的大小关系是 ‎（A）x＜y＜z （B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x ‎4、 已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)‎ 成立的m的最大值是 ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎5、 已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=‎ ‎（A）-x2+2x-3 （B）x2+2x-3 （C）-x2-2x+3 （D）x2-2x+3‎ ‎6、 a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有 ‎（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条 二、填空题 ‎7、 设F1、F2是双曲线x2-y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是 ．‎ ‎8、若f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2+6x+1，则f(-1)= ．‎ ‎9、 给定数列{xn}，x1=1，且，则x1999-x601= ．‎ ‎10、 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是 ．‎ ‎11、 在坐标平面上，由条件所限定的平面区域的面积是 ．‎ ‎12、 12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．‎ 三、解答题 ‎13、‎ 设K为△ABC的内心，点C1、B1分别为边AB、AC的中点，直线AC与C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求∠CAB．‎ ‎14、‎ 已知椭圆过定点A(1,0)，且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足，求实数m的取值范围．‎ ‎15、‎ 在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．‎ ‎16、‎ ‎ 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，满足 ‎ （i）a、b、c、d均大于0；‎ ‎ （ii）对于任一个x∈{-2, -1,0,1,2}，f(x)为整数；‎ ‎ （iii）f(1)=1,f(5)=70．‎ ‎ 试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数．‎ ‎17、‎ ‎ 设，f(x)=(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)．‎ ‎ 求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．‎ ‎18、‎ ‎ a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．‎ 证明：≤＜2．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 C ‎2、 C ‎3、 B ‎4、 C ‎5、 A ‎6、 D 二、填空题 ‎7、 x2+y2=4；‎ ‎8、 4‎ ‎9、 0‎ ‎10、 ‎ ‎11、 16‎ ‎12、 5‎ 三、解答题 ‎13、60°；‎ ‎14、．‎ ‎15、100．‎ ‎ ‎ ‎16、是．‎ ‎17、证略．‎ ‎18、证略．‎