宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试卷 含答案 16页

www.ks5u.com 数学试卷（理科）‎ 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，－1] B． [1，＋∞) C． [－1,1] D． (－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ ‎2.下列命题错误的是(　　)‎ A． 命题“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”。‎ B． 对于命题p：∃x0∈R，使得＋x0＋1＜0，则p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0。‎ C． 命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，‎ 则m ≤0”。‎ D． “x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件。‎ ‎3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)‎ A． 2 B． 2 C． 12 D．‎ ‎4.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)‎ A．－ B． C．1 D．‎ ‎5．已知m,n是两条不同直线，α,β是两个不同平面．以下命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β , 则α∥β; ‎ ‎②若m∥α, m∥β , 则α∥β; ③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β．‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎6.函数的图像大致是（ ）‎ A． ‎ ‎ B． C． D．‎ ‎7.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在各棱长均相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎9.已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C . D.‎ ‎10.设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin(2x＋)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)‎ A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数 B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数 C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数 D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数 ‎11.双曲线的左、右焦点分别|为、，点P在C 上，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的偶函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则正实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.计算＝________.‎ ‎14．已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点 和点，且（为原点），则双曲线的离心率为_________.‎ ‎16．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为_______.‎ 三、解答题：（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每题必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ （一） 必考题：共60分，每题12分 ‎17.已知圆C的方程为，求：‎ ‎（1）过定点且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（2）‎ ‎18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎20.设椭圆的离心率为，直线过点、，且与椭圆C相切于点P．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线m与椭圆C相交于不同两点M、N，使得成立？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求a,b的值；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ （一） 选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角).‎ ‎(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；‎ ‎(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围.‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.‎ 数学试卷（理科）答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A B D B D C C A B D A ‎1.【答案】C ‎【解析】P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝Pa∈[－1,1]，故选C.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】命题的否定是否定命题的结论，故A不正确；B选项是一个特称命题的否定，变化正确；C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C正确；D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出x＝1，故D正确，故选A.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】|a＋2b|＝＝＝＝2，故选B.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】由题意可知该函数的周期为，‎ ‎∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，∴f＝tan＝.‎ 5. ‎【答案】B 6. ‎【答案】D ‎7.【答案】C ‎【解析】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，‎ 于，，，可得，，‎ ‎，解得，，所以所求椭圆方程为，故选C．‎ ‎8.【解析】各棱长均相等的直三棱柱中，棱长为2，‎ 以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 设异面直线与所成角为，则，‎ ‎∴．∴异面直线与所成角的正切值为．故选C．‎ ‎9.【答案】A（互换了答案）‎ ‎【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性 ‎10.【答案】B ‎【解析】f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，‎ ‎∵其图象关于x＝0对称，‎ ‎∴f(x)是偶函数，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.‎ 又∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）‎ 又|PF1|+|PF2|＝3b，所以，‎ 两式相乘得．‎ 结合c2＝a2+b2，得，故e．故选D ‎12.【答案】A ‎【解析】由得函数是周期函数且周期为2，这样由的解析式可求得的解析式，再由偶函数可得时的解析式，从而再由周期性可得函数解析式和图象。作出函数图象，及直线，由图象可得它们有三个交点的情况。‎ ‎【详解】‎ 有三个零点，则函数的图象与直线有三个交点。‎ ‎∵，∴函数是周期函数且周期为2，‎ ‎∴时，，‎ ‎，‎ 又是偶函数，∴时，，‎ 同理，时，，‎ 利用周期性作出的图象，再作直线，如图，‎ 当直线与的图象相切时，由得 ‎，，（舍去），此时切线横坐标为，‎ 当直线与的图象相切时，由得 ‎，，（舍去），此时切线横坐标为，又，直线过点时，，‎ ‎∴的取值范围是。‎ 故选：A。‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】＝＝＝＝.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【详解】‎ 对命题，因为，‎ 所以，解得；‎ 命题，因为幂函数在是减函数，‎ 所以，解得；‎ 因为“”为真命题，“”为假命题，‎ 所以一真一假，‎ 若真假，可得且或，解得；‎ 若假真，可得 ，且，解得；‎ 实数的取值范围是，‎ ‎15.【解析】抛物线的准线的方程为，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 则有，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴.‎ ‎16.【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，‎ ‎，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即 解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，‎ 又，，‎ 中，由余弦定理可得，‎ 作于，‎ ‎，为的中点，，，‎ ‎，，‎ 又，两两垂直，‎ ‎，，‎ ‎17.【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（l）当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，‎ 则圆心到该直线的距离，解得，‎ 切线方程为，即，‎ 当切线的斜率不存在时，直线也是圆的切线，‎ 综上所述：所求切线方程为或．‎ ‎（2）‎ ‎18.【答案】(1)∵acosC＋asinC－b－c＝0，‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，‎ ‎∴sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，‎ ‎∴sinA－cosA＝1，∴sin(A－30°)＝，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.‎ ‎(2)由题意，b＞0，c＞0，b＋c＞a＝7，‎ ‎∴由余弦定理49＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2(当且仅当b＝c时取等号)，‎ ‎∴b＋c≤14，‎ ‎∵b＋c＞7，∴7＜b＋c≤14，‎ ‎∴△ABC的周长的取值范围为(14,21]．‎ ‎19.【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】（1）由题得过两点，直线的方程为．‎ 因为，所以，．‎ 设椭圆方程为，由，‎ 消去得，．‎ 又因为直线与椭圆相切，所以，解得．‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）已知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由，消去，整理得，‎ 由题意知，解得，‎ 设，，则．‎ 又直线与椭圆相切，‎ 由解得，所以，则．‎ 所以．‎ 又 ‎．‎ 所以，解得，经检验成立．‎ 所以直线的方程为．‎ ‎21.（1）由题意可知，定义域为 ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（2），‎ 设，，‎ 由，在上单调递增，‎ ‎∴，在上单调递增，．‎ ‎∴． ‎ ‎（3）设,，，‎ 由（2）中知，，‎ ‎∴， ‎ 当即时，，‎ 所以 在单调递增，，成立．‎ ‎②当即时， ‎ ‎，令，得，‎ 当时，单调递减，则，‎ 所以在上单调递减，所以，不成立．‎ 综上，．‎ ‎22.【答案】(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线l的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.‎ ‎(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得t2＋2(cosα＋sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cosα＋sinα)2－12≥0，则sin2(α＋)≥，即sin(α＋)≥或sin(α＋)≤－.‎ 又0≤α＜π，故只能sin(α＋)≥，即≤α＋≤，即≤α≤.故α的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎23.【答案】(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝‎ 当x<－1时，由－2x<4，得－21时，由2x<4，得1