【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第三讲　椭　圆作业 10页

第三讲　椭　圆 ‎1.[2020湖南岳阳入学调研考试]已知定点M(1,0)和椭圆x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1上两个动点P,Q满足MP⊥MQ,则MP·QP取得最小值时点P的横坐标为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.‎‎5‎‎2‎ ‎2.[2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=2‎2‎,B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为‎7‎,则椭圆的长轴长为(　　)‎ A.4　 B.8 C.‎1+‎‎33‎‎2‎ D.1+‎‎33‎ ‎3.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知F1,F2分别为椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.2-‎2‎ B.‎3‎-‎2‎ C.‎2‎-1 D.‎‎6‎‎-‎‎3‎ ‎4.[2020福建省三明市模拟]已知P是椭圆x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2面积为(　　)‎ A.3‎3‎ B.2‎3‎ C.‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎5.[2019唐山市高三摸底考试]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)和双曲线E:x2-y2=1有相同的焦点F1,F2,且椭圆C与双曲线E的离心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则△F1PF2为(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎6.[2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C1:x‎2‎a‎1‎‎2‎‎+‎y‎2‎b‎1‎‎2‎=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x‎2‎a‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎‎2‎=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,e1,e2分别是C1和C2的离心率,若PF1⊥PF2,则4e‎1‎‎2‎‎+‎e‎2‎‎2‎的最小值为　　　　　. ‎ ‎7.[双空题]已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为‎2-‎‎3‎‎2‎,则椭圆的方程为　　　　;若点P为椭圆上的任意一点,则‎1‎‎|PF‎1‎|‎‎+‎‎1‎‎|PF‎2‎|‎的取值范围是　　　　. ‎ ‎8.[2020陕西省百校第一次联考]已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为‎3‎+1和‎3‎-1.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若AC·DB‎+‎AD·CB=10,求k的值.‎ ‎9.[2019湖北十堰调研]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,F是椭圆C的一个焦点,点M(0,2),直线MF的斜率为‎6‎‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为N,且|AB|=|MN|,求直线l的方程.‎ ‎ ‎ ‎10.[2020四川五校联考]设椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为‎5‎‎3‎,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎11.[2019江西南昌模拟]已知F1,F2为椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2,S‎△F‎1‎AF‎2‎=2,则椭圆C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎6‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1 D.x‎2‎‎20‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1‎ ‎12.[2019蓉城名校高三联考]已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P是椭圆上一点,|PF2|=|F1F2|=2c,若∠PF2F1∈(π‎3‎,π),则该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)‎ A.(0,‎1‎‎2‎)　 B.(0,‎1‎‎3‎)　 C.(‎1‎‎2‎,1)　 D.(‎1‎‎3‎,‎1‎‎2‎) ‎ ‎13.[2019江西名校高三质检]如图9-3-1所示,‎ 图9-3-1‎ A1,A2是椭圆C:x‎2‎‎18‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与A1,A2重合,点N满足NA1⊥MA1,NA2⊥MA2,则S‎△MA‎1‎A‎2‎S‎△NA‎1‎A‎2‎=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.‎‎5‎‎2‎ ‎14.[新情境题]有一个高为12 cm,底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯,杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计),当玻璃杯倾斜时,杯中水面的形状为椭圆,则在杯中的水不溢出的前提下,该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A.(0,‎5‎‎5‎]　　B.[‎5‎‎5‎,1)　　C.(0,‎2‎‎5‎‎5‎]　　D.[‎2‎‎5‎‎5‎,1)‎ ‎15.[2020广东七校联考]已知椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),焦距为2c,直线l :y=‎2‎‎4‎x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为　　　　. ‎ ‎16.[2020南昌市测试]已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2‎3‎的等边三角形的三个顶点.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设直线y=kx+m与圆O :x2+y2=‎2‎b‎2‎‎3‎相切且交椭圆E于M,N两点,求|MN|的最大值.‎ ‎17.[交汇题]2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图9-3-2所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星 图9-3-2‎ 在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则(　　)‎ A.e1>e2 　　　　B.e10),则|PF2|=2a- m,|QF2|=2m- 2a,|QF1|=4a- 2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形,所以|QF1|=‎2‎|PF1|,故m=4a- 2‎2‎a.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a- 2‎2‎a)2+[2a- (4a- 2‎2‎a)]2=4c2,整理得4×(ca)2=36- 24‎2‎,即ca‎=‎9- 6‎‎2‎=‎6‎-‎‎3‎,故选D.‎ ‎【解题关键】　求解本题的关键是利用题设条件构建关于a,c的一个方程.‎ ‎ 4.A　 解法一　由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=a‎2‎‎- ‎b‎2‎=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10　①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t‎1‎‎2‎‎+‎t‎2‎‎2‎- t1t2=64　②.把①两边平方得t‎1‎‎2‎‎+t‎2‎‎2‎+‎2t1t2=100　③.由③- ②可得t1t2=12,所以S‎△F‎1‎PF‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎t1t2sin∠F1PF2=3‎3‎.故选A.‎ 解法二　由椭圆焦点三角形的面积公式,得S‎△F‎1‎PF‎2‎=b2tanθ‎2‎=9tan‎60°‎‎2‎=3‎3‎.故选A.‎ ‎5.B　由题意可知,ca‎×‎‎2‎=1,即c=‎2‎‎2‎a.因为c=‎2‎,所以a=2,b2=a2- c2=2.不妨设点P与点F2在y轴右侧,则‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4,‎‎|PF‎1‎|- |PF‎2‎|=2,‎解得‎|PF‎1‎|=3,‎‎|PF‎2‎|=1,‎即|PF1|2=‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎2‎‎+‎‎|PF‎2‎|‎‎2‎,所以△F1PF2为直角三角形,故选B.‎ ‎6.‎9‎‎2‎　设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点,由椭圆及双曲线的定义可得‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=2a‎1‎,‎‎|PF‎1‎|- |PF‎2‎|=2a‎2‎,‎解得‎|PF‎1‎|=a‎1‎+a‎2‎,‎‎|PF‎2‎|=a‎1‎- a‎2‎.‎设|F1F2|=2c,因为PF1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1- a2)2=4c2,整理得a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎=2c2,两边同时除以c2,得‎1‎e‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎e‎2‎‎2‎=2.所以4e‎1‎‎2‎‎+e‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎(4e‎1‎‎2‎‎+‎e‎2‎‎2‎)(‎1‎e‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎e‎2‎‎2‎)=‎1‎‎2‎(5‎+‎4‎e‎1‎‎2‎e‎2‎‎2‎+‎e‎2‎‎2‎e‎1‎‎2‎)≥‎1‎‎2‎×(5+2×2)=‎9‎‎2‎,当且仅当‎4‎e‎1‎‎2‎e‎2‎‎2‎‎=‎e‎2‎‎2‎e‎1‎‎2‎,且‎1‎e‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎e‎2‎‎2‎=2时取“=”,即当e1=‎3‎‎2‎,e2=‎6‎‎2‎时取“=”,故4e‎1‎‎2‎‎+‎e‎2‎‎2‎的最小值为‎9‎‎2‎.‎ ‎7.x‎2‎‎4‎‎+‎y2=1　[1,4]　由已知得2b=2,故b=1,∴a2- c2=b2=1　①.∵△F1AB的面积为‎2- ‎‎3‎‎2‎,∴‎1‎‎2‎(a- c)b=‎2- ‎‎3‎‎2‎,∴a- c=2- ‎3‎　②,联立①②解得a=2,c=‎3‎,则椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y2=1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴‎1‎‎|PF‎1‎|‎‎+‎1‎‎|PF‎2‎|‎=‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎||PF‎2‎|‎=‎4‎‎|PF‎1‎|(4- |PF‎1‎|)‎=‎‎4‎‎- |PF‎1‎‎|‎‎2‎+4|PF‎1‎|‎,又2- ‎3‎≤|PF1|≤2‎+‎‎3‎,∴1≤- |PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤‎1‎‎|PF‎1‎|‎‎+‎‎1‎‎|PF‎2‎|‎≤4.即‎1‎‎|PF‎1‎|‎‎+‎‎1‎‎|PF‎2‎|‎的取值范围为[1,4].‎ ‎8. (1)由题意知,a+c=‎3‎‎+‎1,a- c=‎3‎- 1.‎ 又a2=b2+c2,所以可得b=‎2‎,c=1,a=‎3‎,‎ 所以椭圆的方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)由(1)可知F(- 1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1),‎ 由y=k(x+1),‎x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎ 消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2- 6=0.‎ Δ=36k4- 4(2+3k2)(3k2- 6)=48k2+48>0.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=- ‎6‎k‎2‎‎2+3‎k‎2‎,x1x2=‎3k‎2‎- 6‎‎2+3‎k‎2‎.‎ 又A(- ‎3‎,0),B(‎3‎,0),‎ 所以AC·DB‎+‎AD·‎CB ‎=(x1‎+‎‎3‎,y1)·(‎3‎- x2,- y2)+(x2‎+‎‎3‎,y2)·(‎3‎- x1,- y1)‎ ‎=6- 2x1x2- 2y1y2‎ ‎=6- 2x1x2- 2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6- (2+2k2)x1x2- 2k2(x1+x2)- 2k2‎ ‎=6‎‎+‎‎2k‎2‎+12‎‎2+3‎k‎2‎ ‎=10,‎ 解得k=±‎10‎‎5‎.‎ ‎9.(1)由题意可得ca‎=‎3‎‎2‎,‎‎2‎c‎=‎6‎‎3‎,‎解得a=2‎2‎,‎c=‎6‎,‎ 则b2=a2- c2=2.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=2‎2‎,|MN|=2,|AB|≠|MN|,不合题意,所以直线l的斜率存在.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,‎ 由y=kx+2,‎x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎消去y并整理,得(1+4k2)x2+16kx+8=0.‎ Δ=(16k)2- 32(1+4k2)=128k2- 32>0,即k2>‎1‎‎4‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2=- ‎16k‎1+4‎k‎2‎,x1x2=‎8‎‎1+4‎k‎2‎,则x0=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=- ‎8k‎1+4‎k‎2‎.‎ 因为|AB|=|MN|,‎ 所以‎1+‎k‎2‎|x1- x2|=‎1+‎k‎2‎|x0- 0|,‎ 则‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎- 4‎x‎1‎x‎2‎=|x0|,即‎4‎‎2‎‎4k‎2‎- 1‎‎1+4‎k‎2‎=|‎8k‎1+4‎k‎2‎|,‎ 整理得k2=‎1‎‎2‎‎>‎‎1‎‎4‎,解得k=±‎2‎‎2‎.‎ 于是直线l的方程为y=±‎2‎‎2‎x+2.‎ ‎10.B　解法一　由题意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca‎=‎‎5‎‎3‎得c=‎5‎‎3‎a,所以|F1F2|=‎2‎‎5‎‎3‎a.因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点,故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=‎8‎‎9‎a2,所以|PF1|=‎4‎‎3‎a,|PF2|=‎2‎‎3‎a,所以直线PF1的斜率kPF‎1‎=tan∠PF1F2=‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎‎=‎‎1‎‎2‎.故选B.‎ 解法二　因为e=ca‎=‎‎5‎‎3‎,故可设a=3,c=‎5‎,则b=2,S‎△PF‎1‎F‎2‎=b2tan‎∠F‎1‎PF‎2‎‎2‎=b2tan 45°=‎1‎‎2‎|PF1|·|PF2|=4.因为点P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线PF1的斜率kPF‎1‎=tan∠PF1F2=‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎‎=‎‎1‎‎2‎.故选B.‎ ‎11.A　因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1||AF2|=4a2- 4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S‎△AF‎1‎F‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎|AF1||AF2|=b2=2.因为△AF1F2是直角三角形,‎ ‎∠F1AF2=90°,且O为F1F2的中点,所以|OA|=‎1‎‎2‎|F1F2|=c.不妨设点A在第一象限,则∠AOF2=30°,所以A(‎3‎‎2‎c,‎1‎‎2‎c),所以S‎△AF‎1‎F‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎|F1F2|·‎1‎‎2‎c=‎1‎‎2‎c2=2,即c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆C的方程为x‎2‎‎6‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,故选A.‎ ‎12.D　根据题意知,|PF2|=|F1F2|=2c,则|PF1|=2a- 2c.在△PF1F2中,cos∠PF2F1=‎4c‎2‎+4c‎2‎- (2a- 2c‎)‎‎2‎‎2×4‎c‎2‎‎=c‎2‎‎- a‎2‎+2ac‎2‎c‎2‎=‎1‎‎2‎+‎2ac- ‎a‎2‎‎2‎c‎2‎=‎1‎‎2‎+‎1‎e-‎‎1‎‎2‎(‎1‎e)2.因为∠PF2F1∈(π‎3‎,π),所以cos∠PF2F1∈(- 1,‎1‎‎2‎),所以- 1<‎1‎‎2‎‎+‎1‎e-‎‎1‎‎2‎(‎1‎e)2<‎1‎‎2‎.‎ 所以‎3+‎2‎e- (‎1‎e‎)‎‎2‎>0,‎‎1‎e‎- ‎1‎‎2‎(‎1‎e‎)‎‎2‎<0,‎即‎(‎1‎e‎)‎‎2‎- ‎2‎e- 3<0,‎‎(‎1‎e‎)‎‎2‎- ‎2‎e>0,‎ 即‎(‎1‎e- 3)(‎1‎e+1)<0,‎‎(‎1‎e- 2)‎1‎e>0,‎又e>0,解得2<‎1‎e<3,‎1‎‎3‎0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=- ‎6km‎1+3‎k‎2‎,x1·x2=‎3(m‎2‎- 3)‎‎1+3‎k‎2‎.‎ 由弦长公式得|MN|=‎1+‎k‎2‎·|x1- x2|=‎1+‎k‎2‎·‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎- 4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎1+‎k‎2‎·‎12(9k‎2‎+3- m‎2‎)‎‎1+3‎k‎2‎,‎ 将m2=2(1+k2)代入上式得,‎ ‎|MN|=‎1+‎k‎2‎·‎‎12(9k‎2‎+3- 2k‎2‎- 2)‎‎1+3‎k‎2‎ ‎=‎6‎·‎‎(2+2k‎2‎)(7k‎2‎+1)‎‎1+3‎k‎2‎ ‎≤‎6‎·‎‎(2+2k‎2‎)+(7k‎2‎+1)‎‎2‎‎1+3‎k‎2‎ ‎=‎3‎‎6‎‎2‎,‎ 当且仅当2+2k2=7k2+1,即k2=‎1‎‎5‎时等号成立,故|MN|的最大值为‎3‎‎6‎‎2‎.‎ ‎17.A　设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1>a2>0,c1>c2>0,且a1- c1=a2- c2.令a1- c1=a2- c2=t,t>0,∴a1=t+c1,a2=t+c2.‎ ‎∴‎1‎e‎1‎‎=a‎1‎c‎1‎=‎c‎1‎‎+tc‎1‎=1‎+‎tc‎1‎,‎1‎e‎2‎‎=a‎2‎c‎2‎=‎c‎2‎‎+tc‎2‎=1‎+‎tc‎2‎.‎ ‎∵c1>c2>0,t>0,∴tc‎1‎‎<‎tc‎2‎,∴‎1‎e‎1‎‎<‎‎1‎e‎2‎,∴e1>e2.故选A.‎ ‎18.ABC　由题意易知曲线为椭圆,故A正确.‎ 画出轴截面的示意图如图D 9- 3- 7所示,A,B为截面与圆锥的两条母线的交点.‎ 图D 9- 3- 7‎ 因为∠AMO=∠BMO=30°,MA⊥AB,MO=1,‎ 所以AO=‎1‎‎2‎MO=‎1‎‎2‎,∠OMB=∠OBM=30°,‎ 所以BO=MO=1,所以AOBO‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB,‎ 所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点,故B正确.‎ 因为AB=AO+OB=‎1‎‎2‎‎+‎1=‎3‎‎2‎,‎ 所以该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为‎3‎‎2‎,故C正确.‎ 因为曲线是一个封闭的曲线,所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离,故D错误.选ABC.‎