高考数学一轮复习精品学案：第33讲 圆锥曲线方程及性质 15页

‎2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第33讲 圆锥曲线方程及性质 一．课标要求：‎ ‎1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；‎ ‎2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；‎ ‎3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。‎ 二．命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。‎ 对于本讲内容来讲，预测2013年：‎ ‎（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；‎ ‎（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。‎ 三．要点精讲 ‎1．椭圆 ‎（1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。‎ 椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。‎ 注：①以上方程中的大小，其中；‎ ‎②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。‎ ‎（2）椭圆的性质 ‎①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；‎ ‎②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。‎ 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；‎ ‎③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。‎ 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。‎ 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。‎ 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；‎ ‎④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。‎ ‎2．双曲线 ‎（1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。‎ 注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。‎ 椭圆和双曲线比较：‎ 椭 圆 双 曲 线 定义 方程 焦点 注意：如何有方程确定焦点的位置！‎ ‎（2）双曲线的性质 ‎①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。‎ ‎②对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。‎ ‎③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。‎ 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。‎ ‎1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。‎ ‎2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。‎ ‎④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。‎ ‎⑤等轴双曲线：‎ ‎1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；‎ ‎2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。‎ 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。‎ ‎3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。‎ ‎⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。‎ ‎3．抛物线 ‎（1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。‎ 方程叫做抛物线的标准方程。‎ 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；‎ ‎（2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：‎ 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。‎ 四．典例解析 题型1：椭圆的概念及标准方程 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；‎ ‎（2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；‎ ‎（3）焦点在轴上，，；‎ ‎（4）焦点在轴上，，且过点；‎ ‎（5）焦距为，；‎ ‎（6）椭圆经过两点，。‎ 解析：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），‎ ‎∵，，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎，‎ ‎∴，又∵，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（3）∵，∴，①‎ 又由代入①得，‎ ‎∴，∴，又∵焦点在轴上，‎ 所以，椭圆的标准方程为。‎ ‎（4）设椭圆方程为，‎ ‎ ∴，∴，‎ ‎ 又∵，∴，‎ 所以，椭圆的标准方程为．‎ ‎（5）∵焦距为，∴，‎ ‎ ∴，又∵，∴，，‎ 所以，椭圆的标准方程为或．‎ ‎（6）设椭圆方程为（），‎ ‎ 由得，‎ 所以，椭圆方程为．‎ 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。‎ 例2．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。‎ ‎（2）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点 的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：（1）已知为所求；‎ ‎（2）椭圆的中心为点它的一个焦点为 ‎∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ‎ ‎∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D。‎ 点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。‎ 题型2：椭圆的性质 例3．（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（2）设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。‎ 解析：（1）不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B。‎ ‎（2）；解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，‎ ‎∴，∴，∴，即e=。‎ 点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。‎ 例4．（1）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎（2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）‎ A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=，准线方程为x=±，‎ ‎∴椭圆中心到准线距离为．‎ ‎（2）A；不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。‎ 点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。‎ 题型3：双曲线的方程 例5．（1）已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；‎ ‎（3）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。‎ 解析：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 ‎，‎ ‎∵，∴，∴。‎ 所以所求双曲线的方程为；‎ ‎（2）椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。‎ 又∵过点，∴。‎ 综上得，，所以。‎ 点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。‎ ‎（3）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；‎ ‎∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。‎ 将分别代入方程①中，得方程组：‎ 将和看着整体，解得，‎ ‎∴即双曲线的标准方程为。‎ 点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。‎ 例6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.‎ 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是；‎ 点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。‎ 题型4：双曲线的性质 例7．（1）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)‎ ‎（2）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎（3）已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（ ）‎ A.2 B. C. D. 解析：（1）双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C。‎ ‎（2）过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若 与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，‎ ‎∴ ，x1+x2=2x1x2，‎ 又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，‎ ‎∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A。‎ ‎（3）双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D。‎ 点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现三元素之间的关系。‎ 例8．（1）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）‎ A. 6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎（2）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 A． B． C． D．‎ ‎（3）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）‎ A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．‎ 解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。‎ ‎（2）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A。‎ ‎（3）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，‎ ‎∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C。‎ 点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。‎ 题型5：抛物线方程 例9．（1）)焦点到准线的距离是2；‎ ‎（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程。‎ 解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；‎ 方程是x=8y。‎ 点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。‎ 题型6：抛物线的性质 例10．（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）抛物线的准线方程是（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（3）抛物线的焦点坐标为( )‎ ‎（A）. （B）. （C）. （D）‎ 解析：（1）椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D；‎ ‎（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；‎ ‎（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 。应选B。‎ 点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。‎ 例11．（1）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：‎ ‎①焦点在y轴上；‎ ‎②焦点在x轴上；‎ ‎③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；‎ ‎④抛物线的通径的长为5；‎ ‎⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。‎ ‎（3）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）‎ A.（－∞，0） B.（－∞，‎2‎ C.［0，2］ D.（0，2）‎ 能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）‎ 解析：（1）设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A；‎ ‎（2）答案：②，⑤‎ 解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。‎ ‎（3）答案：B 解析：设点Q的坐标为（，y0），‎ 由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.‎ 整理，得：y02（y02+16－‎8a）≥0，‎ ‎∵y02≥0，∴y02+16－‎8a≥0.‎ 即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.‎ ‎∴a≤2.选B。‎ 点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。‎ 五．思维总结 在复习过程中抓住以下几点：‎ ‎（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；‎ ‎（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；‎ ‎（3）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：‎