北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题 含解析 16页

清华附中高三2019年10月月考试卷数学 一、选择题 ‎1.已知集合，B＝，则A∩B=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 又 所以 故答案选 考点：集合间的运算．‎ ‎2.若角的终边过点，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用任意角三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值 详解：角的终边过点，‎ 则 故选 点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。‎ ‎3.已知函数的图像如图所示,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由图象，得在上单调递增，即，在上单调递增，且增加得越来越慢，即，则.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数与1的大小，若时，幂函数在上单调递增，要与常见函数、、的图象对照确定.‎ ‎4.已知函数的定义域为，则“”是“是奇函数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：满足，但不是奇函数，因此充分性不成立；若是奇函数，又定义域为，因此，必要性成立，因此选B.‎ 考点：充要关系 ‎【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 ‎（1）命题判断法：‎ 设“若p，则q”为原命题，那么：‎ ‎①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；‎ ‎②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；‎ ‎③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；‎ ‎④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎（2）集合判断法：‎ 从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：‎ ‎①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．‎ ‎（3）等价转化法：‎ p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．‎ ‎5.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，所以 ‎，故选D．‎ 考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．‎ ‎6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，‎ 解得a1=3．‎ 故选：B．‎ ‎7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得分,负者得分,平局两人各得分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．‎ 详解：对于A，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A不正确．‎ 对于B，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B不正确．‎ 对于C，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C正确．‎ 对于D，由于7大于6，故人数不是最少．所以D不正确．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．‎ ‎8.已知定义在R上的的数若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，或解得，即有两个不相等的实数根，所以去掉B,C,D,选A.‎ 二、填空题 ‎9.已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．‎ ‎【详解】由图象，得当时， ，当且时， ， ，即函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．‎ ‎10.，，三个数中最大数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，，，所以最大.‎ ‎11.在中,,则______________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 因为，所以且，又因为，所以，即，解得，因为，所以或.‎ ‎12.去年某地的月平均气温与月份（月）近似地满足函数.（为常数,）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为____________________________‎ ‎.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 由题意，得当时，，又因为，所以，即，，即，则，即，即，当时，.‎ ‎13.在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在等腰梯形ABCD中,由,得,‎ ‎,,所以 ‎.考点：平面向量的数量积.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点．设=，的面积为．则的定义域为 ；的零点是 ．‎ ‎【答案】（2，4）（2分），3（3分）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意知，,,‎ 的三边关系 如图，三角形的周长是一个定值，故其面积可用海伦公式表示出来 即 令 故答案为；‎ 考点：函数的实际应用．‎ 三、解答题 ‎15.已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.‎ ‎（1）求函数解析式.‎ ‎（2）若，的值域是，求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A，再利用周期公式求出参数，最后根据三角函数值求出的值即可.（2）由题意求出的取值范围，然后再根据余弦函数的性质求解即可.‎ 试题解析：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为，所以=3.可得，又因为函数的图象过点（0，），所以，而，所以，‎ 故.‎ ‎（2）由，可知，因为，且cos=－1，，由余弦曲线的性质的，，得，即.‎ 考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用.‎ ‎16.数列的前项和记为，若数列是首项为9，公差为的等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，且数列的前项和记为，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)149.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用等差数列的通项公式可得，再由数列的递推式，可得所求通项公式；‎ ‎（2）求得，讨论当时，时结合等差数列求和公式，可得所求和．‎ ‎【详解】解：（1）数列是首项为9，公差为的等差数列，‎ ‎，即，①‎ 时，，②‎ ‎①②可得，‎ 又当时，，满足上式，‎ ‎；‎ ‎（2）由题意，，‎ 当时，；‎ 时，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎17.已知的内角所对的边分别为，，且角为锐角.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，的面积为2，求边长.‎ ‎【答案】(1)；(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角函数的诱导公式进行转化，结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可．‎ ‎（2）结合三角形的面积公式求出的值，利用余弦定理进行转化求解即可．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ 角为锐角，‎ ‎，‎ 即．‎ ‎（2）的面积为2，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合同角关系式，三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键．‎ ‎18.已知函数 ‎（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）递增,在递减；（Ⅱ）时,时,.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（‎ Ⅱ）求导，通过讨论的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时,‎ 令解得:‎ 令解得:‎ 在递增,在递减;‎ ‎（Ⅱ）由得:‎ ‎,‎ 令解得 ‎①时,即时,对恒成立,‎ 递增,;‎ ‎②当时,即时,在上的情况如下:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 综上,时,时,.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清，如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.‎ ‎19.已知函数，函数.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点处有公共切线，求的值；‎ ‎(2)若存在实数使不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 5或﹣27；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出切点坐标，利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点，列出方程组，解出切点坐标和的值．‎ ‎（2）构造函数，把不等式转化为的图象在直线的下方的部分对应点的横坐标，利用导数分析出函数的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合得到符合题意的的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1），，‎ 设与的交点坐标为，，则，‎ 解得：或，‎ 的值为5或；‎ ‎（2）令，则的图象在直线的下方的部分对应点的横坐标，‎ ‎，令，得：或3，‎ 列表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 0‎ ‎ ‎ ‎ 增 ‎ 极大值 ‎ 减 ‎ 极小值 增 的极大值为，极小值为（3），‎ 又当时，，当时，，‎ 如图所示：‎ 当或时，满足题意，‎ 实数的取值范围为： ．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数画出函数的大致图象，做题时注意数形结合，是中档题．‎ ‎20.设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.‎ ‎(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；‎ ‎(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；‎ ‎(3)记阶“期待数列”的前项和为，试证：.‎ ‎【答案】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列；(2)；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列．‎ ‎（2）设该2013阶“期待数列”的公差为，由于，可得，，对分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（3）当时，显然成立；当时，根据条件①得：，即，再利用绝对值不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）数列，0，为三阶期待数列，‎ 数列，，，为四阶期待数列．‎ ‎（2）设该2013阶“期待数列”的公差为，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 当时，与期待数列的条件①②矛盾，‎ 当时，据期待数列的条件①②可得，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ 当时，同理可得，，．‎ ‎（3）当时，显然成立；‎ 当时，根据条件①得：，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，2，，．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，推理能力与计算能力，属于中档题．‎