天津市滨海新区七所重点学校2018届高三毕业班联考数学（文）试卷 答案 10页

‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 ‎ 数学试卷（文科） ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。‎ 参考公式： 圆柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高 ‎ 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高 第I卷（选择题，共40分）‎ 一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）‎ ‎1.已知全集,集合,集合,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.实数满足不等式组 则目标函数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是（ ）‎ A.1 B. ‎2 C. 4 D.7‎ ‎4.若，,则的大小关系是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 ( ) ‎ A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称 ‎7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于,两点, 为坐标原点. 若双曲线的离心率为,的面积为, 则抛物线的焦点为( )‎ A. () B.（） C. D. ‎ ‎8.已知函数,若存在，使得关于的函数 有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上.‎ ‎9.已知是虚数单位，则 ． ‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． ‎ ‎11.等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则= ．‎ ‎12.设直线与圆相交于两点,若,则 ．‎ ‎13.已知正实数满足且,则的最小值为___________.‎ ‎14.已知菱形的边长为2,,点、分别在边上,，,若, 则的最小值 ．‎ 三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本题满分13分）从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间,且成绩在区间的学生人数是人,‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果；‎ ②设选取的人中,成绩都在内为事件,求事件发生的概率.‎ ‎16．（本题满分13分）锐角中,分别为角的对边,，‎ ‎（1）若求的面积；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎17.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形，,,且.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）求证:平面平面;‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18．(本题满分13分)已知,椭圆的离心率,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于,两点,当的面积最大时,求直线的方程.‎ ‎19. (本题满分14分)已知数列的前项和为,满足(),数列满足(),且 ‎（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;‎ ‎（2）若,求数列的前项和;‎ ‎（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.‎ ‎20． (本题满分14分)已知函数（其中,）.‎ ‎（1）当时,求函数在点处的切线方程;‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;‎ ‎（3）求证:对于任意大于1的正整数,都有.‎ ‎2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（文科）评分标准 一、选择题：C B C D A B D B 二、填空题：‎ ‎9. 10. 11. ‎ ‎12. 13. 14. ‎ 三、解答题：‎ ‎15.（本题满分13分）从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间,且成绩在区间的学生人数是人,‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果；‎ ②设选取的人中,成绩都在内为事件, 求事件发生的概率.‎ 解：(1)由直方图可得成绩分布在区间的频率为 ‎............. 2分 样本容量 ............ 4分 ‎(2) ①成绩在区间共有人记为 成绩在区间共有人记为 ............ 5分 则从中随机选取人所有可能的抽取结果共有种情况；‎ ‎ ............ 9分 ② “从上述5人中任选人，都来自分数段”为事件A; ‎ 则事件A包含的基本事件有 ............ 11分 故所求概率 ............ 13分 ‎16．（本题满分13分）锐角中,分别为角的对边,，‎ ‎（1）若求的面积；‎ ‎（2）求的值. ‎ 解：(1) ……………1分 ‎……………2分 ‎……………3分 ‎ 是锐角 ……………4分 ‎……………5分 由余弦定理 ，‎ 得，‎ ‎ ∴，……………6分 ‎ 则……………7分 ‎（2），……………9分 ‎……………11分 ‎…13分 ‎17.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形，,,且.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）求证:平面平面;‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 证明：（1） ……………………1分 ‎ ……………………2分 ‎ ……………………3分 ‎(2) …………………4分 ‎ …………………5分 ‎ …………………6分 ‎(3)取的中点,连接,,,‎ ‎ …………………7分 ‎ ……………………8分 ‎ ……………………9分 ‎……………………10分 在等腰， 是中点 ……………………11分 在 ‎ ‎ ……………………12分 ‎ ……………………13分 ‎18．(本题满分13分) 已知,椭圆的离心率，是椭圆 的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程。‎ 解：(Ⅰ)设，由条件知，，……………1分 又，……………3分 故椭圆的方程为；……………4分 ‎ (Ⅱ)当轴时，不合题意，故可设， ‎ ‎，……………5分 ‎，……………6分 设，，‎ ‎，……………7分 ‎……………8分 又点到直线的距离，……………9分 ‎∴△OPQ的面积，……………10分 设，则， ∴，……………11分 当且仅当，即时等号成立，……………12分 满足，∴当时，△OPQ的面积取得最大值2，此时直线的方程为或.……………13分 ‎19. (本题满分14分)已知数列的前项和为,满足(),数列满足 ‎(),且 ‎（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;‎ ‎（2）若，求数列的前项和;‎ ‎（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由两边同除以，‎ 得，………………………………………1分 从而数列为首项，公差的等差数列，所以， ‎ 数列的通项公式为．…………………2分 当时， ，所以．……………3分 当时， ， ，‎ 两式相减得，又，所以，‎ 从而数列为首项，公比的等比数列，‎ 从而数列的通项公式为．……………4分 ‎ (2) …………5分 ‎…………6分 ‎=…………7分 ‎…………8分 ‎（3）由（1）得，…………9分 ‎，‎ 所以，‎ 两式相减得 所以，…………11分 由（1）得， ‎ 因为对 ，都有，即恒成立，‎ 所以恒成立，…………12分 记，所以， ‎ 因为 ，从而数列为递增数列……… …13分 所以当时， 取最小值，于是． …………14分 ‎20． (本题满分14分)已知函数（其中,）.‎ ‎（1）当时,求函数在点处的切线方程;‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;‎ ‎（3）求证:对于任意大于1的正整数,都有.‎ 解（1），‎ ‎ ……………………1分 ‎ ……………………2分 ‎ ……………………3分 ‎……………………4分 ‎（2），‎ ‎……………………5分 函数在上为增函数， ‎ 对任意恒成立. ……………………6分 对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立. ……………………7分 时，， ‎ ‎，即所求正实数的取值范围是. ……………………8分 ‎（3）当时，，，‎ 当时，，‎ 故在上是增函数. ……………………9分 当时，令，则当时，. ……………………10分 所以，……………………11分 所以，，……………………12分 所以，……………………13分 即，‎ 所以，‎ 即对于任意大于1的正整数，都有.……………………14分