2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节第2课时利用导数研究函数的极值最值课件新人教A版 24页

第二课时　利用导数研究函数的极值、最值 A. 函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B. 函数 f ( x ) 有极大值 f ( － 2) 和极小值 f (1) C. 函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f ( － 2) D. 函数 f ( x ) 有极大值 f ( － 2) 和极小值 f (2) 考点一　利用导数求函数的极值　 多维探究 角度 1 　根据函数图象判断极值 【例 1 － 1 】 设函数 f ( x ) 在 R 上可导，其导函数为 f ′( x ) ，且函数 y ＝ (1 － x ) f ′( x ) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( 　　 ) 解析　 由题图可知，当 x < － 2 时， f ′( x )>0 ； 当－ 2< x <1 时， f ′( x )<0 ；当 1< x <2 时， f ′( x )<0 ； 当 x >2 时， f ′( x )>0. 由此可以得到函数 f ( x ) 在 x ＝－ 2 处取得极大值， 在 x ＝ 2 处取得极小值 . 答案　 D 规律方法　 由图象判断函数 y ＝ f ( x ) 的极值，要抓住两点： (1) 由 y ＝ f ′( x ) 的图象与 x 轴的交点，可得函数 y ＝ f ( x ) 的可能极值点； (2) 由导函数 y ＝ f ′( x ) 的图象可以看出 y ＝ f ′( x ) 的值的正负，从而可得函数 y ＝ f ( x ) 的单调性 . 两者结合可得极值点 . 角度 2 　已知函数求极值 【例 1 － 2 】 已知函数 f ( x ) ＝ ln x － ax ( a ∈ R ). 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 2 ， 于是当 x 变化时， f ′( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表 . x (0 ， 2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － f ( x )  ln 2 － 1  故 f ( x ) 在定义域上的极大值为 f ( x ) 极大值 ＝ f (2) ＝ ln 2 － 1 ，无极小值 . 当 a ≤ 0 时， f ′( x )>0 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 则函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 综上可知，当 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 无极值点， 规律方法　 运用导数求导函数 f ( x ) 极值的一般步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 求导数 f ′( x ) ； (3) 解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，求出函数定义域内的所有根； (4) 列表检验 f ′( x ) 在 f ′( x ) ＝ 0 的根 x 0 左右两侧值的符号； (5) 求出极值 . 【训练 1 】 (1) ( 角度 1) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ( a ， b ) ，导函数 f ′( x ) 在 ( a ， b ) 上的图象如图所示，则函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上的极大值点的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　 由函数极值的定义和导函数的图象可知， f ′( x ) 在 ( a ， b ) 上与 x 轴的交点个数为 4 ，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x ＝ 0 不是函数 f ( x ) 的极值点 . 其余的 3 个交点都是极值点，其中有 2 个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2 个 . 答案　 B (2) ( 角度 2)(2019· 江苏卷节选 ) 设函数 f ( x ) ＝ ( x － a )( x － b )( x － c ) ， a ， b ， c ∈ R ， f ′( x ) 为 f ( x ) 的导函数 . ① 若 a ＝ b ＝ c ， f (4) ＝ 8 ，求 a 的值； ② 若 a ≠ b ， b ＝ c ，且 f ( x ) 和 f ′( x ) 的零点均在集合 { － 3 ， 1 ， 3} 中，求 f ( x ) 的极小值 . 解　 ① 因为 a ＝ b ＝ c ， 所以 f ( x ) ＝ ( x － a )( x － b )( x － c ) ＝ ( x － a ) 3 . 因为 f (4) ＝ 8 ，所以 (4 － a ) 3 ＝ 8 ，解得 a ＝ 2. 此时， f ( x ) ＝ ( x － 3)( x ＋ 3) 2 ， f ′( x ) ＝ 3( x ＋ 3)( x － 1). 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝－ 3 或 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′( x ) 变化如下表： x ( － ∞ ，－ 3) － 3 ( － 3 ， 1) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x )  极大值  极小值  所以 f ( x ) 的极小值为 f (1) ＝ (1 － 3)(1 ＋ 3) 2 ＝－ 32. 考点二　已知函数的极值求参数 【例 2 】 (2018· 北京卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ [ ax 2 － (4 a ＋ 1) x ＋ 4 a ＋ 3]e x . (1) 若曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线与 x 轴平行，求 a ； (2) 若 f ( x ) 在 x ＝ 2 处取得极小值，求 a 的取值范围 . 解　 (1) 因为 f ( x ) ＝ [ ax 2 － (4 a ＋ 1) x ＋ 4 a ＋ 3]e x ， 所以 f ′( x ) ＝ [ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2]e x . f ′(1) ＝ (1 － a )e. 由题设知 f ′(1) ＝ 0 ，即 (1 － a )e ＝ 0 ，解得 a ＝ 1. 此时 f (1) ＝ 3e ≠ 0. 所以 a 的值为 1. (2) f ′( x ) ＝ [ ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2]e x ＝ ( ax － 1)( x － 2)e x . 当 x ∈ (2 ，＋ ∞ ) 时， f ′( x )>0. 所以 f ( x ) 在 x ＝ 2 处取得极小值 . 规律方法　 1. 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 . 2. 导数值为 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验 . 【训练 2 】 (2020· 肇庆模拟 ) 已知 x ＝ 1 是 f ( x ) ＝ [ x 2 － ( a ＋ 3) x ＋ 2 a ＋ 3]e x 的极小值点，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(1 ，＋ ∞ ) B.( － 1 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 1) D.( － ∞ ， 1) 解析　 f ′( x ) ＝ [ x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a ]e x ＝ ( x － a )( x － 1)e x . 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 ( x － a )( x － 1)e x ＝ 0. 设 g ( x ) ＝ ( x － 1)( x － a ). (1) 当 a ＝ 1 时， g ( x ) ≥ 0 ， f ′( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 没有极值 . (2) 当 a >1 时，若 x > a 或 x <1 时， g ( x )>0 ， f ′( x )>0 ； 若 1< x < a 时， g ( x )<0 ，则 f ′( x )<0. ∴ x ＝ 1 是函数 f ( x ) 的极大值点，不合题意 . (3) 当 a <1 时，若 x >1 或 x < a ， f ′( x )>0 ， 若 a < x <1 时， f ′( x )<0. 所以 x ＝ 1 是 f ( x ) 的极小值点，满足题意 . 综上所述，实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 1). 答案　 D 考点三　利用导数求函数的最值　 典例迁移 【例 3 】 (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － ax 2 ＋ 2. (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) ( 经典母题 ) 当 0< a <3 时，记 f ( x ) 在区间 [0 ， 1] 的最大值为 M ，最小值为 m ，求 M － m 的取值范围 . 解　 (1) f ( x ) 的定义域为 R ， f ′( x ) ＝ 6 x 2 － 2 ax ＝ 2 x (3 x － a ). 【迁移】 把本例 (2) 改为 “ 是否存在正实数 a ，使得 f ( x ) 在 [0 ， 1] 上的最小值为－ 2 ，且最大值为 2 ？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由 . ” 解　 假设存在正实数 a ，使得 f ( x ) min ＝－ 2 ， 且 f ( x ) max ＝ 2. ① 若 a ≥ 3 时，由例题 (1) 知 ， f ( x ) 在 [0 ， 1] 上是减函数， 当 x ∈ [0 ， 1] 时 ， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 2 ， f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 4 － a . 由题意，必有 4 － a ＝－ 2 ， 则 a ＝ 6. 综上，存在正数 a ＝ 6 时， f ( x ) 在 [0 ， 1] 的最小值为－ 2 ，最大值为 2. 规律方法　 1. 利用导数求函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最值的一般步骤： (1) 求函数在 ( a ， b ) 内的极值； (2) 求函数在区间端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ； (3) 将函数 f ( x ) 的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中较大的一个为最大值，较小的一个为最小值 . 2. 研究含参数的最值，必要时要进行分类讨论 . 如本例迁移中，分类讨论的标准是单调区间的端点与 0 ， 1 的大小关系，从而确定函数在 [0 ， 1] 上的最值 . 【训练 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ ax ＋ ln x ，其中 a 为常数 . (1) 当 a ＝－ 1 时，求 f ( x ) 的最大值； (2) 若 f ( x ) 在区间 (0 ， e] 上的最大值为－ 3 ，求 a 的值 . 解　 (1) 易知 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 当 0< x <1 时， f ′( x )>0 ；当 x >1 时， f ′( x )<0. ∴ f ( x ) 在 (0 ， 1) 上是增函数，在 (1 ，＋ ∞ ) 上是减函数 . ∴ f ( x ) max ＝ f (1) ＝－ 1. ∴ 当 a ＝－ 1 时，函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上的最大值为－ 1.