山东省聊城市第一中学（东校区）2013届高三一轮复习综合检测数学（理）试题 13页

山东省聊城市第一中学（东校区）2013届高三一轮总复习理科数学综合检测 一、选择题 ‎1．函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是（ ）‎ A. B C D ‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别 赋值求出代入求出检验即得 ‎2．曲线f(x)=xln x在点P(1，0)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )‎ ‎ A．(x+)2+(y+)2=‎ ‎ B．(x+)2+(y-)2=‎ ‎ C．(x-)2+(y+)2=‎ ‎ D．(x-)2+(y-)2=‎ ‎【解题关键点】因为=ln x+1，在点P(1，0)处的切线的斜率k==1，故在点P(1，0)处的切线方程为y=x一1，与坐标轴的两交点为(1，0)，(0．一1)，故所围成三角形的外接圆的圆心坐标为(，一)，半径为，所以外接圆方程为(x一)2+(y+)2=‎ ‎【答案】C ‎【结束】‎ ‎3．函数的值域是 ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎4设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于( )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【解题关键点】设该数列的公差为，则，解得，‎ 所以，所以当时，取最小值。‎ ‎【答案】A ‎【结束】‎ ‎5．设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=pk·(1－p)1－k(k=0，1),则Eξ、Dξ的值分别是（　　）‎ A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和(1－p)p ‎【答案】D ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】B ‎【结束】‎ ‎7．若和都是奇函数，且，在（0，＋∞）上有最大值8，则在（－∞，0）上有（ ）‎ A.最小值－8 B.最大值－8 C.最小值－6 D.最小值－4‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎8．若lg2=a,lg3=b,则log418= ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎9．在等比数列{ an }中，若a 4 =8，q=一2，则a 7的值为( )‎ ‎ A．一64 B．64 C．一48 D．48‎ ‎【解题关键点】依题意得==8×(一2)3=一64，选A．‎ ‎【答案】A ‎【结束】‎ 二、填空题 ‎10．已知，若函数在R上是减函数，则实数的取值范围是____________‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】‎ ‎【结束】‎ ‎11．经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程为___________________________‎ ‎【答案】2x+3y-2=0;‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎12． 的展开式中的常数项为_________.‎ ‎【解题关键点】‎ 的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15=-5‎ ‎【答案】‎ ‎【结束】‎ ‎13．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。‎ ‎【解题关键点】‎ 如图，,‎ 作轴于点D1,则由，得 ‎,所以,‎ 即,由椭圆的第二定义得 又由,得,整理得.‎ 两边都除以,得,解得.‎ ‎【答案】‎ ‎【结束】‎ ‎14． .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ 三、解答题 ‎15．为了让学生了解更多“社会法律”知识，某中学举行了一次“社会法律知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：‎ 分组 频数 频率 ‎60.5~70.5‎ ‎①‎ ‎0.16‎ ‎70.5~80.5‎ ‎10‎ ‎②‎ ‎80.5~90.5‎ ‎18‎ ‎0.36‎ ‎90.5~100.5[来源:Zxxk.Com]‎ ‎③‎ ‎④‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号 ；（2）填充频率分布表的空格① ② ③ ④ 并作出频率分布直方图；‎ ‎（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约有多少人？‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】解：（1）编号为016 ‎ ‎（2） ① 8 ② 0.20 ③14 ④ 0.28‎ ‎（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人， 占样本的比例是， ‎ 所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人．‎ 答：获二等奖的大约有256人． ‎ ‎【结束】‎ ‎16．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，‎ ‎（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（1） ，‎ ‎，‎ ‎ 于是，所求“果圆”方程为 ‎ ‎ ， ‎ ‎（2）由题意，得 ，即．‎ ‎ ，，得． ‎ ‎ 又． ． ‎ ‎（3）‎ 设“果圆”的方程为，．‎ ‎ 记平行弦的斜率为．‎ 当时，直线与半椭圆的交点是 ‎，与半椭圆的交点是．‎ ‎ 的中点满足 得 ． ‎ ‎ ， ．‎ ‎ 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． ‎ ‎ 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是． [来源:学#科#网]‎ 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，‎ 即不在某一椭圆上．‎ ‎ 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎17．已知函数．‎ ‎⑴ 若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎⑵ 若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎⑶ 设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】解:⑴当时，函数，．，曲线 在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．‎ ‎⑶∵在上是减函数，∴时，；时，，即，‎ ‎①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数．故当时，在上单调递减，不合题意；‎ ‎②当时，由，所以．又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；‎ ‎③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得，所以实数的取值范围是．‎ ‎【结束】‎ ‎18．已知函数对任意的，恒有。‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】（I）易知 令 ‎ (1)‎ 故在 ‎（2）‎ ‎（3）‎ 综上所述，当a=0时，‎ ‎（II）存在a,使数列{}是等比数列。‎ 事实上，由（2）知，若对任意的n,都有，则。即数列{}是首项为a，公比为3的等比数列，且=‎ ‎【结束】‎ ‎19．已知函数对任意，满足条件， 且，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为R上的增函数，证明：存在唯一的实数，使得对任意，‎ 都有成立。‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【答案】解：(1)令，得，令，得；‎ ‎ （2）,则，‎ 由，且是R上的增函数，则，‎ 故恒成立。又在（0，1）上单减，故，‎ 所以，则，即存在唯一实数满足条件。‎ ‎【结束】‎ ‎20． ‎ 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．‎ ‎（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，‎ 直线的方程为，与联立得消去得．‎ 由韦达定理得，．‎ 于是．‎ ‎，[来源:Zxxk.Com]‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，‎ 则，点的坐标为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线方程代入得，‎ 则．‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，‎ 则有．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎