2014龙岩5月份质检理数（一级校）试卷 9页

‎2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试 数学（理科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），‎ 全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 参考公式：‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎1．复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于 输入 结束 输出 被整除 是 否 开始 ‎（第4题图）‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设集合，，‎ 集合中所有元素之和为7，则实数的取值集合为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3．已知命题，命题，则 A. 命题是假命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是假命题 ‎4．阅读程序框图，若输入，则输出分别是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是 ‎（第5题图）‎ 正视图 侧视图 俯视图 A．2 B. C. D. 3‎ ‎6．数列满足，，其前项积为，‎ 则=‎ A． B． C． D．‎ ‎7．有四个函数分别是：①；②；③；‎ ‎④ ．对于满足：对定义域内的任意，都有的函数有（ ）个.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线 右支上一点，且在以线段为直径的圆的圆周上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎（第10题图）‎ ‎9．已知非零向量的夹角为，，，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10. 如图二次函数的图像过点，‎ 且与轴相交于两点，若，则的取值为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．定积分的值为 . ‎ ‎12．已知的展开式中的系数是35，则= .‎ ‎13．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数的值是 . [‎ ‎14．代数式（“”表示无限重复）是一个固定的值，可以令原式，由解得. 用类似的方法可得= .‎ ‎15．已知不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知为锐角，且．若 ，，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的首项， ，求数列的前项和.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.规定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2 1 4‎ ‎ 4‎ ‎9‎ ‎2 4‎ ‎8‎ PM 2.5日均值（微克/立方米）‎ ‎（第17题图）‎ 某市环保局从过去一年的市区PM2．5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶). 10个数据中有两个数据模糊，无法确认，但知道这10个数据的中位数为45.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）从这10个数据中抽取3天的数据，求至少有 ‎1天空气质量超标的概率；‎ ‎（Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况，‎ 记表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求 的分布列及数学期望.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 甲 乙 ‎（第18题图）‎ 如图所示的平面四边形中，是以为直角顶点的等腰直角三角形，为正三角形，且，与交于点（如图甲）.现沿将平面四边形折成三棱锥，使得折起后∠（如图乙）.‎ ‎（Ⅰ）证明：不论在内为何值，均有；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积为时，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ ‎（第19题图）‎ 已知椭圆的短轴端点分别为（如图）．直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：所在直线与轴交点的位置与无关．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知,设函数.‎ ‎（Ⅰ）若在上无极值，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得是在上的最值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，若（为自然对数的底数）对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按照所做的前两题计分.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 ‎ 设矩阵，若存在一矩阵使得.‎ 试求（Ⅰ）矩阵； （Ⅱ）．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系内，点在曲线（为参数）上运动.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，点在曲线上移动，求面积的最大值.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式.‎ ‎（Ⅰ）当时，求此不等式的解集； ‎ ‎（Ⅱ）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）参考答案及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.‎ ‎1-5 DDCAD 6-10 ABAAB 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分 ‎11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ） ,, ‎ ‎ ………………………………4分 由 ‎ 是锐角， ‎ ‎ . ………………………7分 ‎（Ⅱ），， ………………………9分 ‎, , ‎ 是首项为，公比的等比数列,…11分 ‎. …………………………………13分 ‎17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）由题意可知解得. ……………………3分 ‎（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为 至少有一天空气质量超标的概率为. …………………7分 ‎（Ⅲ） ………………………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 P ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望 . …………13分 ‎18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）由可知既是等腰也是等边的角平分线，也是高，所以⊥，⊥ …………………………2分 由于在平面图形中，⊥，⊥，折起后这种关系不变，且 所以折起后⊥平面， ……………………………4分 又平面，故⊥，‎ 即不论内为何值，均有. …………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面，又平面，所以平面⊥平面 ‎ 过点作⊥于点，因为平面平面，‎ 所以⊥平面，即是三棱锥的高， ‎ 在中，， ‎ 故三棱锥的体积为，‎ 当三棱锥的体积为时，，此时点E与点O重合.…9分 解法一：‎ 由上面证明易得⊥平面，过点作⊥于点，连接，‎ 因为平面，所以⊥，又=，‎ 所以⊥平面，‎ 所以⊥，则∠就是二面角的平面角. ………11分 在中，=，=，所以=，‎ 所以 所以二面角的余弦值为. …………………………13分 解法二：‎ 根据上面的证明过程可知、、两两垂直，‎ 则分别以、、所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则（，0，0），（0，2，0），（0，0，2），，‎ 设平面的法向量为则 ‎（第18题图）‎ ‎. …………11分 又平面的一个法向量，‎ 所以 显然所求角是锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为. ………13分 ‎19．‎ 本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ），. ………2分 又即 ，解得. ……5分 ‎（Ⅱ）直线的斜率为，直线斜率为.‎ 直线的方程为，直线的方程为.…6分 由得，.‎ ‎ ……………………………………8分 由得，‎ ‎ ……………………10分 据已知，.‎ 直线的斜率 ‎ 直线的方程为. ………12分 令，得与轴交点的位置与无关. …………13分 ‎20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ），又在无极值 ‎ …………………………………………3分 ‎（Ⅱ）①当时，在单调递减，在单调递增，在的最小值为 ‎②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 或 由得：在时无解 ‎ ‎ ‎③当时，不合题意；‎ ‎④当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 或 即或 或（舍去）‎ ‎⑤当时，在单调递增，在单调递减，‎ ‎ ‎ 综上：时，存在，使得是在上的最值. …………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）当时，若对任意恒成立 即对任意恒成立 ‎，‎ 即对任意恒成立 令，‎ ‎,若，即 则 ‎，，. ……………………14分 ‎21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分．‎ ‎（Ⅰ）设矩阵则由 得 即整理得 解得，即 ………………4分 ‎（Ⅱ）由（1）知 所以. ……………………7分 ‎（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分．‎ 解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为：‎ 直线的直角坐标方程：. ……………………3分 ‎ （Ⅱ）圆心（1，0）到直线的距离，‎ 则圆上的点到直线的最大距离为= ，‎ 所以面积的最大值为.……7分 ‎（3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分． ‎ 解：（Ⅰ）当时,得, 即, 解得, ‎ ‎ ∴不等式的解集为． ……………… 3分 ‎（Ⅱ）∵ ∴原不等式解集为R等价于 ∴‎ ‎∵，∴ ∴实数的取值范围为． …………… 7分