辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版） 14页

辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知i是虚数单位，复数z=‎‎1-i‎|i|‎，下列说法正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. z的虚部为‎-i B. z对应的点在第一象限 C. z的实部为‎-1‎ D. z的共复数为‎1+i ‎【答案】D ‎【解析】解：‎∵z=‎1-i‎|i|‎=1-i， ‎∴z的虚部为‎-1‎；z对应的点的坐标为‎(1,-1)‎，在第四象限； z的实部为1；z的共复数为‎1+i． 故选：D． 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． ‎ 2. 若集合A={x|1≤x<2}‎，B={x|x>b}‎，且A∩B=A.‎则实数b的范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. b≥2‎ B. ‎10‎“ D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ‎2‎)‎，P(ξ≤3)=0.72‎，则P(ξ≤-1)═0.28‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：A.‎当m=0‎时，若“‎|a|<|b|‎”，则”‎|am|<|bm|‎”不成立，即充分性不成立，故A错误， B.若‎￢(p∨q)‎为真命题，则p∨q为假命题，则p，q都是假命题，故B正确， C.命题“‎∀x∈R，ax+b≤0‎”的否定是“‎∃x∈R，ax+b>0‎“正确，故C正确， D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ‎2‎)‎，P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>-1)‎， 则P(ξ≤-1)═1-P(ξ>-1)=1-0.72=0.28‎，故D正确， 故错误的是A， 故选：A． A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断 B.根据复合命题真假关系进行判断 C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断 D.根据正态分布的性质进行判断 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大． ‎ 2. 已知cosα=‎‎3‎‎5‎，α∈(-π‎2‎,0)‎，则sin2α‎1-cos2α的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎-‎‎4‎‎3‎ B. ‎4‎‎3‎ C. ‎-‎‎3‎‎4‎ D. ‎‎3‎‎4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由cosα=‎‎3‎‎5‎，α∈(-π‎2‎,0)‎， 得sinα=-‎1-cos‎2‎α=-‎‎4‎‎5‎， ‎∴sin2α‎1-cos2α=‎2sinαcosα‎2sin‎2‎α=cosαsinα=‎3‎‎5‎‎-‎‎4‎‎5‎=-‎‎3‎‎4‎． 故选：C． 由已知求得sinα 第13页，共14页 ‎，再由倍角公式求解sin2α‎1-cos2α的值． 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题． ‎ 1. 将函数f(x)=sin(2x-π‎6‎)‎图象上的所有点向左平移t(t>0)‎个单位长度，到的函数g(x)‎是奇函数‎.‎则下列结论正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. t的最小值是π‎6‎，g(x)‎的对称中心为是‎(kπ‎2‎+π‎12‎,0)‎，k∈Z B. t的最小值为π‎6‎，g(x)‎的对称轴为x=kπ‎2‎+‎π‎3‎，k∈Z C. t的最小值为π‎12‎，g(x)‎的单调增区间为‎(kπ-π‎4‎,kπ+π‎4‎)‎，k∈Z D. t的最小值为π‎12‎，g(x)‎的周期为π ‎【答案】D ‎【解析】解：函数f(x)=sin(2x-π‎6‎)‎图象上的所有点向左平移t(t>0)‎个单位长度，得到 g(x)=sin(2x+2t-π‎6‎)‎， 由于函数g(x)‎是奇函数． 所以：‎2t-π‎6‎=kπ(k∈Z)‎， 解得：t=kπ‎2‎+‎π‎12‎， 由于t>0‎， 所以：当k=0‎时，t的最小值为π‎12‎， 且函数的最小正周期为π． 故选：D． 首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． ‎ 2. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是‎(‎　　‎)‎ ‎ 第13页，共14页 A. n≤6‎？ B. n>6‎？ C. n≤5‎？ D. n>5‎？‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：第一次，s=2‎，a=4‎，不满足条件‎.n=2‎， 第二次，s=2+4=6‎，a=6‎，不满足条件‎.n=3‎， 第三次，s=6+6=12‎，a=8‎，不满足条件‎.n=4‎， 第四次，s=12+8=20‎，a=10‎，不满足条件‎.n=5‎， 第五次，s=20+10=30‎，a=12‎，不满足条件‎.n=6‎， 第六次，s=30+12=42‎，a=14‎，满足条件． 输出S=42‎， 即n=6‎满足条件‎.‎，n=5‎不满足条件． 则条件应该为n>5‎？， 故选：D． 根据程序框图进行模拟运算即可得到结论． 本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键． ‎ 1. 设F‎1‎，F‎2‎是双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(s>0,b>0)‎的两个焦点，P是C上一点，若‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4a，且‎△PF‎1‎F‎2‎的最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎，则C的离心率为‎(‎　　‎‎)‎ A. 2 B. 3 C. ‎2‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：因为F‎1‎、F‎2‎是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=4a， 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|=2a， 所以‎|F‎1‎F‎2‎|=2c，‎|PF‎1‎|=3a，‎|PF‎2‎|=a， ‎△PF‎1‎F‎2‎的最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎，其余弦值为‎2‎‎2‎‎3‎， 由余弦定理，可得‎|PF‎2‎‎|‎‎2‎=|F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎+|PF‎1‎‎|‎‎2‎-2|F‎1‎F‎2‎||PF‎1‎|cos∠PF‎1‎F‎2‎， 即a‎2‎‎=4c‎2‎+9a‎2‎-2×2c×3a×‎‎2‎‎2‎‎3‎， c‎2‎‎-2‎2‎ca+2a‎2‎=0‎， 即c=‎2‎a， 所以e=ca=‎‎2‎． 故选：C． 利用双曲线的定义求出‎|PF‎1‎|‎，‎|F‎1‎F‎2‎|‎，‎‎|PF‎2‎|‎ 第13页，共14页 ‎，然后利用最小内角的正弦值为‎1‎‎3‎，其余弦值为‎2‎‎2‎‎3‎，结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题． ‎ 1. 函数f(x)=e‎|x|‎-2|x|-1‎的图象大致为‎(‎　　‎‎)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：函数f(x)=e‎|x|‎-2|x|-1‎是偶函数，排除选项B， 当x>0‎时，函数f(x)=ex-2x-1‎，可得f'(x)=ex-2‎， 当x∈(0,ln2)‎时，f'(x)<0‎，函数是减函数，当x>ln2‎时，函数是增函数， 排除选项A，D， 故选：C． 判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题． ‎ 2. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对‎(x,y)‎；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对‎(x,y)‎的个数m；第三步，估计π的值‎.‎若n=100‎，m=31‎，则估计π的值‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎100‎‎31‎ B. ‎81‎‎25‎ C. ‎78‎‎25‎ D. ‎‎31‎‎25‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对‎(x,y)‎满足‎01‎， 则不等式组表示图形的面积为π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎． 则：π‎4‎‎-‎1‎‎2‎≈‎31‎‎100‎.‎解得π=‎‎81‎‎25‎． 故选：B． 两个数能与1构成钝角三角形的数对‎(x,y)‎满足x‎2‎‎+y‎2‎-1<0‎，且‎01‎，从而不等式组表示图形的面积为π‎4‎‎-‎1‎‎2‎.‎由此能估计π的值． 本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． ‎ 1. 若两个非零向量a，b满足‎|a+b|=|a|=|b|‎，则向量b与a‎-‎b的夹角是‎(‎　　‎‎)‎ A. π‎6‎ B. π‎3‎ C. ‎2π‎3‎ D. ‎‎5π‎6‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：‎∵|a+b|=|a|=|b|‎； ‎∴(a+b‎)‎‎2‎=a‎2‎+2a⋅b+a‎2‎=‎a‎2‎； ‎∴a⋅b=-‎‎1‎‎2‎a‎2‎； ‎∴(a-b‎)‎‎2‎=a‎2‎+a‎2‎+a‎2‎=3‎a‎2‎； ‎∴|a-b|=‎3‎|a|‎，且b‎⋅(a-b)=-‎1‎‎2‎a‎2‎-a‎2‎=-‎‎3‎‎2‎a‎2‎； ‎∴cos=b‎⋅(a-b)‎‎|b||a-b|‎=‎-‎‎3‎‎2‎a‎2‎‎3‎a‎2‎=-‎‎3‎‎2‎； 又‎0≤≤π； ‎∴‎b与a‎-‎b的夹角是：‎5π‎6‎． 故选：D． 根据‎|a+b|=|a|=|b|‎即可得出a‎⋅b=-‎‎1‎‎2‎a‎2‎，从而得出‎|a-b|=‎3‎|a|‎，b‎⋅(a-b)=-‎‎3‎‎2‎a‎2‎，从而可求出cos=-‎‎3‎‎2‎，根据向量夹角的范围即可求出b与a‎-‎b的夹角． 考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围． ‎ 2. 斜率为‎4‎‎3‎且过抛物线C：y‎2‎‎=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若AF‎=λFB(λ>1)‎，则实数λ为‎(‎　　‎‎)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：抛物线C：y‎2‎‎=4x焦点F(1,0)‎，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，y‎1‎‎>0‎，B(x‎2‎,y‎2‎).‎ 直线方程为：y=‎4‎‎3‎(x-1)‎，联立y=‎4‎‎3‎(x-1)‎y‎2‎‎=4x，化为：y‎2‎‎-3y-4=0‎， 解得y‎1‎‎=4‎，y‎2‎‎=-1‎． ‎∵AF=λFB(λ>1)‎，‎∴4=-λ×(-1)‎，解得λ=4‎． 故选：C． 抛物线 第13页，共14页 C：y‎2‎‎=4x焦点F(1,0)‎，设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，y‎1‎‎>0‎，B(x‎2‎,y‎2‎).‎直线方程为：y=‎4‎‎3‎(x-1)‎，与抛物线方程联立解出坐标，再根据AF‎=λFB(λ>1)‎，利用向量坐标相等得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中x‎2‎的系数为0，则正实数a的值是______．‎ ‎【答案】‎‎2‎‎5‎ ‎【解析】解：‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎中，‎(ax+1‎‎)‎‎6‎中x‎2‎的系数为：C‎6‎‎4‎a‎2‎，x项的系数为：C‎6‎‎5‎a， ‎(x-1)(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中含x‎2‎项的系数为0，可得：‎-C‎6‎‎4‎a‎2‎+C‎6‎‎5‎a=0‎，则‎15a=6‎， 所以a=‎‎2‎‎5‎， 故答案为：‎2‎‎5‎． 求出‎(ax+1‎‎)‎‎6‎展开式中含x‎2‎项的系数以及x项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． ‎ 2. 正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．‎ ‎【答案】‎‎3‎‎2‎ ‎【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎． 故答案为：‎3‎‎2‎． 利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可． 本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查． ‎ 3. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎△ABC的面积为b‎2‎‎3sinB，若‎6cosA⋅cosC=1‎，b=3‎，则‎∠ABC=‎______．‎ ‎【答案】‎π‎3‎ ‎【解析】解：‎∵△ABC的面积为b‎2‎‎3sinB‎=‎1‎‎2‎acsinB，b‎2‎‎=‎3‎‎2‎acsin‎2‎B， ‎∴‎由正弦定理可得：sin‎2‎B=‎3‎‎2‎sinAsinCsin‎2‎B， ‎∴‎可得：sinAsinC=‎‎2‎‎3‎， ‎∵6cosA⋅cosC=1‎，可得：cosAcosC=‎‎1‎‎6‎， ‎∴cos∠ABC=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=‎2‎‎3‎-‎1‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎， ‎∵∠ABC∈(0,π)‎， ‎∴∠ABC=‎π‎3‎． 故答案为：π‎3‎． ‎ 第13页，共14页 由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC=‎‎2‎‎3‎，又由‎6cosA⋅cosC=1‎，可得cosAcosC=‎‎1‎‎6‎，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，结合范围‎∠ABC∈(0,π)‎，即可得解‎∠ABC=‎π‎3‎． 本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． ‎ 1. 若直线y=x+1‎是曲线f(x)=x+‎1‎x-alnx(a∈R)‎的切线，则a的值是______．‎ ‎【答案】‎‎-1‎ ‎【解析】解：设切点的横坐标为x‎0‎，f'(x)=1-‎1‎x‎2‎-ax=x‎2‎‎-ax-1‎x‎2‎=1⇒x‎0‎=-‎1‎a⇒-a=‎‎1‎x‎0‎， 则有：f(x‎0‎)=x‎0‎+‎1‎x‎0‎-alnx‎0‎=x‎0‎+1⇒lnx‎0‎-x‎0‎+1=0‎， 令h(x)=lnx-x+1⇒h'(x)=‎1‎x-1=0⇒x=1‎， 则h(x)‎在‎(0,1)‎上单调递增，在‎(1,+∞)‎上单调递减， 又因为h(1)=0‎，所以x‎0‎‎=1⇒a=-1‎； 故答案为：‎-1‎． 设切点的横坐标为x‎0‎，求出导函数，利用直线y=x+1‎与曲线y=f(x)‎相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法‎.‎考查转化思想以及计算能力． ‎ 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）‎ 2. 已知数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=‎n‎2‎． ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式； ‎(2)‎设bn‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎an，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=‎n‎2‎． 当n=1‎时，a‎1‎‎=S‎1‎=1‎， 当n≥2‎时，an‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1(‎首项符合通项‎)‎， 故：an‎=2n-1‎． ‎(2)‎由于an‎=2n-1‎， 所以：bn‎=(‎1‎‎2‎‎)‎an=(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎， 则：bn+1‎bn‎=‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n+1‎‎(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎=‎‎1‎‎4‎， 所以：数列‎{bn}‎是以首项为‎1‎‎2‎，公比为‎1‎‎4‎的等比数列． 故：Tn‎=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎4‎n)‎‎1-‎‎1‎‎4‎=‎2‎‎3‎(1-‎1‎‎4‎n)‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎首先求出数列的通项公式， ‎(2)‎利用‎(1)‎的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． ‎ 1. 从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计‎(‎两眼视力不同，取较低者统计‎)‎，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在‎[4.1,4.3)‎的概率为‎1‎‎10‎． ‎(1)‎求a，b的值； ‎(2)‎若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于‎4.9‎，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于‎5.0‎，已知在‎[4.9,5.1)‎中有‎1‎‎3‎的学生裸眼视力不低于‎5.0‎． 现用分层抽样的方法从‎[4.9,5.1)‎和‎[5.1,5.3)‎中抽取4名同学，4人中有资格‎(‎仅考虑视力‎)‎考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)‎由频率分布直方图的性质得： b×0.2=‎‎1‎‎10‎‎(b+0.75+1.75+a+0.75+0.25)×0.2=1‎， 解得b=0.5‎，a=1‎． ‎(2)‎在‎[4.9,5.1)‎中，共有15人，其中5人不低于‎5.0‎，在这15人中，抽取3人， 在‎[5.1,5.3]‎中共有5人，抽取1人， 随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)=C‎10‎‎3‎C‎5‎‎0‎C‎15‎‎3‎=‎‎24‎‎91‎， P(ξ=2)=C‎10‎‎2‎C‎5‎‎1‎C‎15‎‎3‎=‎‎45‎‎91‎， P(ξ=3)=C‎10‎‎4‎C‎5‎‎2‎C‎15‎‎3‎=‎‎20‎‎91‎， P(ξ=4)=C‎10‎‎0‎C‎5‎‎3‎C‎15‎‎3‎=‎‎2‎‎91‎， ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ‎ξ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎‎24‎‎91‎ ‎ ‎‎45‎‎91‎ ‎ ‎‎20‎‎91‎ ‎ ‎‎2‎‎91‎ E(ξ)=1×‎24‎‎91‎+2×‎45‎‎91‎+3×‎20‎‎91‎+4×‎2‎‎91‎=2‎‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b． ‎(2)‎在‎[4.9,5.1)‎中，共有15人，其中5人不低于‎5.0‎，在这15人中，抽取3人，在‎[5.1,5.3]‎中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)‎． 本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． ‎ 1. 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎3‎‎2‎，F‎1‎，F‎2‎分别为椭圆C的左、右焦点，点P(‎2‎‎6‎‎3‎,‎3‎‎3‎)‎满足PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=0‎． ‎(1)‎求椭圆C的方程； ‎(2)‎直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为k‎1‎，k，k‎2‎，且k‎1‎，k，k‎2‎成等比数列，求k‎1‎‎⋅‎k‎2‎的值．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)‎依题意F‎1‎‎(-c,0)‎， ‎∴PF‎1‎⋅PF‎2‎=-c‎2‎+3=0‎，即c=‎‎3‎ ‎∵e=ca=‎‎3‎‎2‎， ‎∴a=2‎， ‎∴b‎2‎=a‎2‎-c‎2‎=1‎， ‎∴‎椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎， ‎(2)‎设直线l的方程为y=k(x-‎3‎)‎，M(x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2‎,y‎2‎)‎， 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎y=k(x-‎3‎)‎，得‎(1+4k‎2‎)x‎2‎+8‎3‎k‎2‎x+4(3k‎2‎-1)=0‎， 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎8‎‎3‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎12k‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎， ‎∵‎k‎1‎，k，k‎2‎成等比数列， ‎∴k‎1‎⋅k‎2‎=k‎2‎=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=‎k‎2‎‎(x‎1‎-‎3‎)(x‎2‎-‎3‎)‎x‎1‎x‎2‎， 则‎3‎‎(x‎1‎+x‎2‎)=3‎， 即‎8‎‎3‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎‎=‎‎3‎， 解得k‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎ 故k‎1‎‎⋅k‎2‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎依题意F‎1‎‎(-c,0)‎，由PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=-c‎2‎+3=0‎，即c=‎‎3‎，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程 ‎(2)‎设直线l的方程为y=k(x-‎3‎)‎，M(x‎1‎,y‎1‎)‎，N(x‎2‎,y‎2‎)‎，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可． 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题． ‎ 1. 已知在四棱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2‎，AB=1‎，PA⊥‎平面ABCD，F是线段BC的中点． ‎(1)‎求证：PF⊥FD； ‎(2)‎若直线PB与平面ABCD所成的角为‎45‎‎∘‎，求二面角A-PD-F的余弦值； ‎(3)‎画出平面PAB与平面PDF的交线l.(‎不写画法‎)‎ ‎ ‎【答案】‎(1)‎证明：‎∵PA⊥‎平面ABCD，且四边形ABCD为矩形， 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设‎|PA|=h， ‎∴P(0,‎0，h)‎，B(1,‎0，‎0)‎，D(0,‎2，‎0)‎，C(1,‎2，‎0)‎，F(1,‎1，‎0)‎，E(‎1‎‎2‎,‎0，‎0)‎， ‎∴PF=(1,1,-h)‎，FD‎=(-1,1,0)‎， ‎∴PF⋅FD=0‎，则PF⊥FD； ‎(2)‎解：‎∵PA⊥‎底面ABCD，‎∴PB在底面ABCD的投影为BA， ‎∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角，即‎∠PBA=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴△PBA为等腰直角三角形，则‎|AP|=|AB|=1‎，即h=1‎． ‎∴‎平面PFD的法向量为n‎=(1,1,2)‎，平面APD为yOz平面， ‎∴‎平面APD的法向量为m‎=(0,1,0)‎， 设二面角A-PD-F的平面角为θ，可知θ为锐角， ‎∴cosθ=|cos|=‎1‎‎6‎=‎‎6‎‎6‎； ‎(3)‎解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG， 则PG即为所求直线l．‎ ‎【解析】‎(1)‎以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设‎|PA|=h，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明PF‎⋅FD=0‎，则PF⊥FD； ‎(2)‎由PA⊥‎底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到‎∠PBA为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为n‎=(1,1,2)‎，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为 第13页，共14页 m‎=(0,1,0)‎‎，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值； ‎(3)‎延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l． 本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． ‎ 1. 已知函数f(x)=lnx-ax+‎‎1‎x． ‎(1)‎若1是函数f(x)‎的一个极值点，求实数a的值； ‎(2)‎讨论函数f(x)‎的单调性； ‎(3)‎在‎(1)‎的条件下证明：f(x)≤xex-x+‎1‎x-1‎．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)f'(x)=‎1‎x-a-‎‎1‎x‎2‎，‎(x>0)‎， f'(1)=1-a-1=0‎，故a=0‎， ‎(2)f'(x)=‎‎-ax‎2‎+x-1‎x‎2‎， 方程‎-ax‎2‎+x-1=0‎的判别式‎△=1-4a， ‎①‎当a≥‎‎1‎‎4‎时，‎△≤0‎，f'(x)≤0‎， f(x)‎在‎(0,+∞)‎递减， ‎②‎当‎00‎，x‎2‎‎=‎1+‎‎1-4a‎2a>0‎， 故f(x)‎在‎(0,x‎1‎)‎递减，在‎(x‎1‎,x‎2‎)‎递增，在‎(x‎2‎,+∞)‎递减， ‎③‎当a=0‎时，f'(x)=‎x-1‎x‎2‎， f(x)‎在‎(0,1)‎递减，在‎(1,+∞)‎递增， ‎④‎当a<0‎时， 方程‎-ax‎2‎+x-1=0‎的根为x=‎‎1±‎‎1-4a‎2a， 且x‎1‎‎=‎1-‎‎1-4a‎2a>0‎，x‎2‎‎=‎1+‎‎1-4a‎2a<0‎， 故f(x)‎在‎(0,x‎1‎)‎递减，在‎(x‎1‎,+∞)‎递增； ‎(3)‎在‎(1)‎的条件下f(x)≤xex-x+‎1‎x-1‎， xex-lnx-x-1≥0‎， g'(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎， 令h(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎， h'(x)=(x+2)ex+‎1‎x‎2‎>0‎，‎(x>0)‎， 故h(x)‎在‎(0,+∞)‎递增， 又h(‎1‎‎2‎)<0‎，h(e)>0‎， 故‎∃x‎0‎∈(‎1‎‎2‎,e)‎，使得h(x‎0‎)=0‎，即x‎0‎ex‎0‎‎=1‎， g(x)‎在‎(0,x‎0‎)‎递减，在‎(x‎0‎,+∞)‎递增， 故g(x‎)‎min=g(x‎0‎)=x‎0‎ex‎0‎-ln‎1‎ex‎0‎-x‎0‎-1=0‎， 故f(x))≤xex-x+‎1‎x-1‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎求出函数的导数，计算f'(1)=0‎，得到关于a的方程，解出即可； ‎(2)‎求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； ‎(3)‎求出函数的导数，令h(x)=(x+1)ex-‎1‎x-1‎，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． ‎ 1. 在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为π‎4‎；曲线C‎1‎的参数方程x=‎3‎‎3‎cosαy=sinα‎(α为参数‎)‎；曲线C‎2‎的参数方程为x=3+‎13‎cosαy=2+‎13‎sinα‎(α为参数‎)‎． ‎(1)‎求直线1的极坐标方程，曲线C‎1‎和曲线C‎2‎的普通方程； ‎(2)‎若直线1与曲线C‎1‎和曲线C‎2‎在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎直线l的极坐标方程为θ=‎π‎4‎，‎(ρ∈R)‎； 曲线C‎1‎ 的普通方程为x‎2‎‎1‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎； 曲线C‎2‎的普通方程为‎(x-3‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=13‎． ‎(2)‎曲线C‎1‎的极坐标方程为ρ‎2‎‎=‎‎1‎‎1+2cos‎2‎θ， 曲线C‎2‎的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ， ‎∴|OM|=6cosπ‎4‎+4sinπ‎4‎=5‎‎2‎，‎|ON|=‎1‎‎1+2×(‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎， 可得‎|MN|=|ON|-|OM|=5‎2‎-‎2‎‎2‎=‎‎9‎‎2‎‎2‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎直线l的极坐标方程为θ=‎π‎4‎，‎(ρ∈R)‎；利用sin‎2‎α+cos‎2‎α=1‎可得C‎1‎和C‎2‎的普通方程； ‎(2)‎将C‎1‎，C‎2‎化成极坐标方程后将θ=‎π‎4‎代入可求得‎|OM|‎，‎|ON|‎，再相加． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． ‎ 2. 设函数f=|x+1|-|2x-4|‎． ‎(1)‎求不等式f(x)>2‎的解集； ‎(2)‎若关于x的不等式f(x)>t‎2‎+2t解集非空，求实数t的取值范围．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)|x+1|-|2x-4|>2‎， 等价为x-5>2‎x<-1‎或‎-1≤x≤2‎‎3x-3>2‎或‎-x+5>2‎x>2‎， 可得x∈⌀‎或‎5‎‎3‎‎t‎2‎+2t解集非空， 可得t‎2‎‎+2t