2019届山东省威海市高三上学期期末考试（一模）文科数学试题 13页

‎2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本题共12个小题）‎ ‎1．若集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（2，3） ‎ C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）U（2，3）‎ ‎2．若复数z满足z（1+2i）＝4+3i，则＝（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i ‎3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0”的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0 ‎ C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤0‎ ‎4．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若|PT|＝2|PF|，则∠PTF＝（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎5．如图所示函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎6．已知变量x，y满足不等式组，则2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．48+12 B．60+12 C．72+12 D．84‎ ‎8．已知cos（﹣α）＝，α∈（，π），则sinα﹣cosα＝（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据（x，y）分别为（2，1.5），（3，4.5），（4，5.5），（5，6.5），由最小二乘法得到回归直线方程为＝1.6x+，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（　　）‎ A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 ‎10．公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an，满足aman＝32a12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2‎ ‎12．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，则a1＝　 　．‎ ‎14．已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长介于R与R之间的概率为　 　．‎ ‎15．如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an}，则a100＝　 　．‎ ‎16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，若AB＝2，则BC＝　 　．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．‎ ‎（Ⅰ）求cosC；‎ ‎（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．‎ ‎18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 附：，其中n＝a+b+c+d． ‎ P（K2≥k）‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥EG；‎ ‎（Ⅱ）若三棱锥VE﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．‎ ‎20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ ‎21．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．‎ 四、解答题（共2小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．‎ ‎（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；‎ ‎（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．选：D．‎ ‎2．‎ 选：B．‎ ‎3．‎ 选：B．‎ ‎4．‎ 选：C．‎ ‎5．‎ 选：D．‎ ‎6．‎ 选：B．‎ ‎7．‎ 选：B．‎ ‎8．‎ 选：C．‎ ‎9．‎ 选：C．‎ ‎10．‎ 选：D．‎ ‎11．‎ 选：A．‎ ‎12．‎ 选：C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．‎ 答案为：﹣．‎ ‎14．‎ 答案为：．‎ ‎15．‎ 答案为：5252．‎ ‎16．‎ 答案为：2‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin（A+B）＝4．‎ ‎（Ⅰ）求cosC；‎ ‎（Ⅱ）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．‎ ‎【分析】（I）由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cosC，‎ ‎（II）结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解 解：（I）∵sin（A+B）＝4，‎ ‎∴＝4×，‎ 即+2cosC＝2，‎ ‎∴7cos2C﹣8cosC+1＝0，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴cosC＝1（舍）或cosC＝，‎ ‎（II）b＝7，△ACD的面积为6，舍CD＝m，‎ 结合（1）可得sinC＝，‎ ‎∴＝6，‎ ‎∴m＝CD＝3，‎ 由余弦定理可得，AD2＝9＝52，‎ ‎∴AD＝2，‎ 由正弦定理可得，，‎ ‎∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝‎ ‎18．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 附：，其中n＝a+b+c+d． ‎ P（K2≥k）‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；‎ ‎（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．‎ 解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004）×10＝1，‎ 解得a＝0.016；‎ 计算得分在80分以上的频率为（0.016+0.004）×10＝0.20，‎ 所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20；‎ ‎（Ⅱ）根据题意知，安全意识强的人数有100×0.2＝20，‎ 其中男性为20×＝16（人），女性为4人，‎ 填写列联表如下；‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女性 ‎4‎ ‎46‎ ‎50‎ 合计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ 计算K2＝＝9＞7.879，‎ 所以有超过99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”；‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中[30，40）内有2人，记为A、B，‎ ‎[40，50）内有4人，分别记为c、d、e、f；‎ 从这6人中随机选取2人，基本事件为：‎ AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；‎ 则至少有1人得分低于40分的基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；‎ 故所求的概率为P＝＝．‎ ‎19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥EG；‎ ‎（Ⅱ）若三棱锥VE﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结EO、GO、AC，推导出OG⊥BD，EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥BD，BD⊥平面EOG，由此能证明BD⊥EG．‎ ‎（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长．‎ 解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC，‎ ‎∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，‎ 点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．‎ ‎∴OG⊥BD，EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，‎ ‎∵OE∩OG＝O，∴BD⊥平面EOG，‎ ‎∵EG⊂平面EOG，∴BD⊥EG．‎ ‎（Ⅱ）解：设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AE＝ED＝2EF＝a，‎ 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则E（0，0，），F（，，），B（0，，0），C（﹣2a，，0），‎ ‎＝（，，0），＝（0，，﹣），＝（﹣2a，，﹣），‎ 设平面EFB的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取x＝，得＝（），‎ ‎∴C到平面EFB的距离d＝＝，‎ cos＜＞＝＝＝，‎ ‎∴sin＜＞＝＝，‎ S△BEF＝‎ ‎＝＝．‎ ‎∵三棱锥VE﹣FBC＝，‎ ‎∴VE﹣FBC＝＝×a＝，‎ 解得a＝．‎ ‎∴菱形ABCD的边长为．‎ ‎20．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．若|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知椭圆的c，点F到直线l：x＝（c为椭圆焦距的一半）的距离为4知，a，c 的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意得c＝1，+c＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程：+＝1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（﹣1，0），x＝＝3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my﹣1，A（x，y），B（x'，y'），‎ 联立与椭圆的方程：（3+2m2）y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝m（y+y'）﹣2＝，‎ 所以中点P的坐标（，），所以AB的中垂线方程：y﹣＝﹣m（x+）即：y＝﹣mx﹣，‎ 与直线x＝3联立得：所以Q的坐标（3，﹣），∴|PQ|2＝（3+）2+（）2＝36•，‎ ‎|AB|2＝（）2•|y﹣y'|2＝（1+m2）•[（）2+]＝48•（）2‎ 由题意|PQ|＝2|AB|，∴36＝4•48•（）2，整理得：3m4﹣4m2﹣4＝0，解得：m2＝2，所以m＝，‎ 所以直线AB方程：x＝y﹣1．‎ ‎21．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，‎ ‎（2）结合（1）的讨论及零点判定定理即可求解．‎ 解：（I）∵f（x）＝ex﹣ax﹣1，‎ ‎∴f′（x）＝ex﹣a，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，‎ ‎②a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，若x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 综上可得，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，（﹣∞，lna）上单调递减，‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程ln（ax+a+1）﹣x＝1有唯一的实数解，‎ 即ex+1＝ax﹣a+1＝a（x+1）+1有唯一的实数根，‎ 令t＝x+1，则et＝at+1即et﹣at﹣1＝0有唯一的实数根，‎ 结合（1）的讨论可知，‎ ‎①当a≤0时，f′（t）＞0恒成立，f（t）在R上单调递增，f（0）＝0，结合零点判定定理可知，只有一个零点0，‎ ‎②a＞0时，若，t∈（lna，+∞），f′（x）＞0，f（t）单调递增，若t∈（﹣∞，lna），f′（t）＜0，f（t）单调递减，‎ 若只有1个零点，则f（lna）＝a﹣alna﹣1＝0，‎ 令g（x）＝x﹣xlnx﹣1，则g′（x）＝﹣lnx，‎ 则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝0，‎ ‎∴a＝1‎ 综上可得，a的范围为{a|a≤0或a＝1}‎ 四、解答题（共2小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．‎ ‎（Ⅰ）设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；‎ ‎（Ⅱ）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长．‎ ‎（Ⅱ）利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：4x+3y＝0，‎ 曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ，转换为直角坐标方程为（x﹣5）2+y2＝25．‎ 所以圆心（5，0）到直线4x﹣3y＝0的d＝，‎ 所以：|MN|＝2．‎ ‎（Ⅱ）圆的直角坐标方程转换为参数方程为（θ为参数），‎ 所以y＝|x+＝|＝，‎ 当时，ymax＝15，‎ 当时，ymin＝0，‎ 所以|x+y﹣10|的取值范围为[0，15]．‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得解集；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得f（x）min＜4，由绝对值的性质和绝对值的意义，求得最小值，解不等式可得a的范围．‎ 解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，‎ 当x≥1时，f（x）≥1即2x﹣1+x﹣1≥1，解得x≥1；‎ 当x≤时，f（x）≥1即1﹣2x+1﹣x≥1，解得x≤；‎ 当＜x＜1时，f（x）≥1即2x﹣1+1﹣x≥1，解得x∈∅，‎ 则原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈R满足不等式f（x）＜4，‎ 即为f（x）min＜4，‎ 由f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣|+（|x﹣|+|x﹣1|）‎ ‎≥0+|（x﹣）﹣（x﹣1）|＝|1﹣|，即x＝时f（x）取得最小值|1﹣|，‎ 所以|1﹣|＜4，‎ 解得﹣6＜a＜10．‎