高考数学一轮复习核心素养测评五十六10-8-2圆锥曲线中求值与证明问题文含解析北师大版 3页

核心素养测评五十六　圆锥曲线中求值与证明问题 ‎1.已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8. 世纪金榜导学号 ‎(1)求p的值.‎ ‎(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.‎ ‎【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,‎ 所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为·=·=8,‎ 解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.‎ ‎(2)由(1)可得y2=4x,‎ 设M,所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,‎ 代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,‎ 所以N,‎ ‎①当≠,即y0≠±2时,‎ 直线MN的斜率k==,‎ - 3 -‎ 直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).‎ ‎②当=,‎ 即y0=±2时,直线MN的方程为x=1,‎ 必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0)‎ ‎2.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.‎ ‎(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.‎ ‎(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 世纪金榜导学号 ‎【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),‎ 当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,‎ 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,‎ 设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,‎ 所以圆心(3,0)到直线l的距离为d==,‎ 当直线l与圆相切时,有d=1⇒=1⇒k=±,‎ 所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).‎ ‎(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,‎ 联立方程组⇒x2-14x+1=0,‎ 所以x1+x2=14,x1·x2=1,假设存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=+‎ - 3 -‎ ‎==0‎ ‎⇒y1x2+y2x1-(y1+y2)t=0‎ ‎⇒2x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,‎ 即2-14-(14-2)t=0⇒t=-1,‎ 故存在点M(-1,0)符合条件.‎ 当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使∠AMO=∠BMO.‎ - 3 -‎