高考数学专题复习课件：9-8-1 直线与圆锥曲线的综合问题 53页

§9.8 　直线与圆锥曲线的综合问题 [ 考纲要求 ] 　 1. 掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法 .2. 了解圆锥曲线的简单应用 .3. 理解数形结合的思想． 1 ． 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ， B 不同时为 0) 代入圆锥曲线 C 的方程 F ( x ， y ) ＝ 0 ，消去 y ( 也可以消去 x ) 得到一个关于变量 x ( 或变量 y ) 的一元方程． (1) 当 a ≠ 0 时，设一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的判别式为 Δ ，则 Δ ＞ 0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C_______ ； Δ ＝ 0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C______ ； Δ <0 ⇔ 直线与圆锥曲线 C______ ． 相交 相切 相离 (2) 当 a ＝ 0 ， b ≠ 0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ______ ； 若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是 _______________ ． 平行 平行或重合 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 直线 l 与抛物线 y 2 ＝ 2 px 只有一个公共点，则 l 与抛物线相切． ( 　　 ) (2) 直线 y ＝ kx ( k ≠ 0) 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 一定相交． ( 　　 ) (3) 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) √ A ．相交　　　　　　　　 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 【 解析 】 直线 y ＝ kx － k ＋ 1 ＝ k ( x － 1) ＋ 1 恒过定点 (1 ， 1) ， 又点 (1 ， 1) 在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 【 答案 】 A 【 答案 】 C 3 ．过点 (0 ， 1) 作直线，使它与抛物线 y 2 ＝ 4 x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( 　　 ) A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条 【 解析 】 过 (0 ， 1) 与抛物线 y 2 ＝ 4 x 相切的直线有 2 条，过 (0 ， 1) 与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 【 答案 】 C 【 答案 】 A 5 ．已知倾斜角为 60 ° 的直线 l 通过抛物线 x 2 ＝ 4 y 的焦点，且与抛物线相交于 A 、 B 两点，则弦 AB 的长为 ________ ． 【 答案 】 16 课时 1 　直线与圆锥曲线 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 【 例 1 】 (1) 过抛物线 y 2 ＝ 2 x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A ， B 两点，它们的横坐标之和等于 2 ，则这样的直线 ( 　　 ) A ．有且只有一条　　　　　 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有且只有四条 【 答案 】 B (2) (2017· 四川宜宾模拟 ) 已知过定点 (1 ， 0) 的直线与抛物线 x 2 ＝ y 相交于不同的 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，则 ( x 1 － 1)( x 2 － 1) ＝ ________ ． 【 解析 】 设过定点 (1 ， 0) 的直线的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，代入抛物线方程 x 2 ＝ y 得 x 2 － kx ＋ k ＝ 0 ，故 x 1 ＋ x 2 ＝ k ， x 1 x 2 ＝ k ，因此 ( x 1 － 1)( x 2 － 1) ＝ x 1 · x 2 － ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 ＝ 1. 【 答案 】 1 【 方法规律 】 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 【 答案 】 A 【 方法规律 】 处理弦长问题的 2 个注意点 (1) 利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长； (2) 涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 跟踪训练 2 (2017· 山西大同学情调研 ) 过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ， B ，交其准线 l 于点 C ，若 | BC | ＝ 2| BF | ，且 | AF | ＝ 3 ，则此抛物线的方程为 ________ ． 【 答案 】 y 2 ＝ 3 x 【 答案 】 x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 命题点 2 　由中点弦确定曲线方程 【 例 4 】 (2017· 福州质检 ) 抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线 x － y ＝ 0 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 P (1 ， 1) 为线段 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 ( 　　 ) A ． y ＝ 2 x 2 B ． y 2 ＝ 2 x C ． x 2 ＝ 2 y D ． y 2 ＝－ 2 x 【 答案 】 B 【 解析 】 由双曲线的定义知 2 a ＝ 4 ，得 a ＝ 2 ， 所以抛物线的方程为 y ＝ 2 x 2 . 因为点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在抛物线 y ＝ 2 x 2 上， 所以 y 1 ＝ 2 x ， y 2 ＝ 2 x ， 两式相减得 y 1 － y 2 ＝ 2( x 1 － x 2 )( x 1 ＋ x 2 ) ， 不妨设 x 1 ＜ x 2 ，又 A ， B 关于直线 y ＝ x ＋ m 对称， 【 答案 】 A (2) 根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 提醒 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 【 答案 】 D (2) (2016· 课标全国 Ⅲ ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l 1 ， l 2 分别交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 P ， Q 两点． ① 若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR ∥ FQ ； ② 若 △ PQF 的面积是 △ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． ► 方法与技巧 1 ．有关弦的三个问题 涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解． 2 ．求解与弦有关问题的两种方法 (1) 方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元 ( x 或 y ) 成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系． (2) 点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程． “ 点差法 ” 的常见题型有：求中点弦方程、求 ( 过定点、平行弦 ) 弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是 “ 点差法 ” 具有不等价性，即要考虑判别式 Δ 是否为正数． ► 失误与防范 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 (1) 直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． (2) 直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点 .