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- 2021-07-01 发布
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北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题
数 学(文科)
2012.4
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,那么( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的
值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
3.若,,,则下列结论正确的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是
,,则复数对应的点位于( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为,其三视图
中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.若实数,满足条件 则的最大值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
7.设等比数列的前项和为.则“”是“”的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
8.已知集合,其中,且
.则中所有元素之和是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 已知向量,.若,则实数_____.
10. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒
与秒之间.将测试结果分成组:,,
,,,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为
,那么成绩在的学生人数是_____.
11. 函数的最小正周期为_____.
12. 圆的圆心到直线的距离是_____.
13. 已知函数 则的零点是_____;的值域是_____.
14. 如图,已知抛物线及两点和,其中.过,分别作
轴的垂线,交抛物线于,两点,直线与轴交于点,此时就称,
确定了.依此类推,可由,确定,.记,.
给出下列三个结论:
① 数列是递减数列;
② 对,;
③ 若,,则.
其中,所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△中,已知.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,△的面积是,求.
16.(本小题满分13分)
某校高一年级开设研究性学习课程,()班和()班报名参加的人数分别是和.现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从()班抽取了名同学.
(Ⅰ)求研究性学习小组的人数;
(Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动,每次随机抽取小组中名同学发言.求次发言的学生恰好来自不同班级的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)若,求证:;
(Ⅲ)求四面体体积的最大值.
18.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,一个焦点为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆于,两点,若点,都在以点为圆心
的圆上,求的值.
19.(本小题满分13分)
如图,抛物线与轴交于两点,点在抛物线上(点在第一象限),∥.记,梯形面积为.
(Ⅰ)求面积以为自变量的函数式;
(Ⅱ)若,其中为常数,且,求的最大值.
20.(本小题满分13分)
对于数列,定义“变换”:将数列变换成数列,其中,且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.
(Ⅰ)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(Ⅱ)设,.若,且的各项之和为.
(ⅰ)求,;
(ⅱ)若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小,求的最小值,并说明理由.
数学(文科)参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. C; 2. D ; 3. D; 4. B; 5. A; 6. B; 7. C; 8. C .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ; 13. 和,; 14. ① ② ③.
注:13题第一问2分,第二问3分; 14题少选1个序号给2分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由,得. …………3分
所以原式化为. ………4分
因为,所以 , 所以 . ………6分
因为, 所以 . ……7分
(Ⅱ)解:由余弦定理,
得 . ……9分
因为 ,,
所以 . ……………11分
因为 , 所以 . ……………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:设从()班抽取的人数为,
依题意得 ,所以,
研究性学习小组的人数为. ……5分
(Ⅱ)设研究性学习小组中()班的人为,()班的人为.
次交流活动中,每次随机抽取名同学发言的基本事件为:
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,共种. …9分
次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:
,,,,,,,,,
,,,共种. ………12分
所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为. ……13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为四边形,都是矩形,
所以 ∥∥,.
所以 四边形是平行四边形,……………2分
所以 ∥, ………………3分
因为 平面,
所以 ∥平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:连接,设.
因为平面平面,且,
所以 平面, ……5分
所以 . …………6分
又 , 所以四边形为正方形,所以 . ………………7分
所以 平面, ………………8分
所以 . ………………9分
(Ⅲ)解:设,则,其中.
由(Ⅰ)得平面,
所以四面体的体积为. ………11分
所以 . ……………13分
当且仅当,即时,四面体的体积最大. ………………14分
18.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为,则. ………………1分
由, 得 , 从而………………4分
所以,椭圆的方程为. ……………5分
(Ⅱ)解:设.
将直线的方程代入椭圆的方程,
消去得 . ……………7分
由,得,且. …………9分
设线段的中点为,则,. ……………10分由点,都在以点为圆心的圆上,得, …………11分
即 , 解得 ,符合题意. …………13分
所以 . ……………14分
19.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:依题意,点的横坐标为,点的纵坐标为. ……1分
点的横坐标满足方程,解得,舍去. ……2分
所以. ……4分
由点在第一象限,得.
所以关于的函数式为 ,.…………5分
(Ⅱ)解:由 及,得. ……………6分
记,
则. ………………8分
令,得. ………………9分
① 若,即时,与的变化情况如下:
↗
极大值
↘
所以,当时,取得最大值,且最大值为. …………11分
② 若,即时,恒成立,
所以,的最大值为. …………13分
综上,时,的最大值为;时,的最大值为.
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;….
以下重复出现,所以不会出现所有项均为的情形. ………3分
(Ⅱ)解:(ⅰ)因为的各项之和为,且, 所以为的最大项,
所以最大,即,或. …………5分
当时,可得
由,得,即,故.…7分
当时,同理可得 ,. ………8分
(ⅱ)方法一:由,则经过次“变换”得到的数列分别为:;;;;;.
由此可见,经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列,与数列“结构”完全相同,但最大项减少12.
因为,
所以,数列经过次“变换”后得到的数列为.
接下来经过“变换”后得到的数列分别为:;;;;;
;,……
从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小.
所以经过次“变换”得到的数列各项和最小,的最小值为.
……………13分
方法二:若一个数列有三项,且最小项为,较大两项相差,则称此数列与数列 “结构相同”.
若数列的三项为,则无论其顺序如何,经过“变换”
得到的数列的三项为(不考虑顺序) .
所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同,除外其余各项减少,各项和减少.
因此,数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列.
通过列举,不难发现各项为的数列,无论顺序如何,经过“变换”得到的数列会重复出现,各项和不再减少.
所以,至少通过次“变换”,得到的数列各项和最小,故的最小值为.
……………13分
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